电路原理第4章

第四章动态电路(DynamicCircuits)到目前为止,我们已经掌握了电阻电路的分析方法,如果电路中含有动态元件(电容、电感),这就是本章要解决的问题。电路将会出现什么新的现象?应该如何分析?本章内容4.1基本概念和换路定则4.2一阶电路的分析要点1、动态电路的初始值确定2、零输入响应，零状态响应，全响应3、三要素分析法4、二阶电路响应的三种状态5、阶跃响应和冲激响应6、状态和状态变量的概念，以及状态方程的列写4.1

动态电路的基本概念和换路定则4.1.1

动态电路的基本概念问题的引出1.

汽车:实际生活中的物理现象80公里/小时匀速加速过程稳态1稳态2过渡过程为什么会有过渡过程?2.

照相机:闪光灯充电电容充电需要时间利用电容储存电能物体惯性的存在电磁惯性的存在过渡过程为什么电容充电会有过渡过程?从静止状态S未动作前,电路原已稳定i=0,uC

=0i

=0,uC

=Us一、动态电路及过渡过程i+–uCUsRC两种稳态：S接通电源后很长时间达到稳定两种稳态电路之间的过渡过程各物理量是如何变化的?设开关S在t=0时,ab+–uCUsRCi

S(t

=0)ab电容的充电已经完成例---初始稳态---新稳态初始状态过渡过程变化规律新稳态USuct0?含有动态元件（电感或者电容）的电路:动态电路i此过程称为电路的过渡过程当动态电路的结构发生变化时，需要经历一个变化过程才能达到新的稳态:+–uCUsRCi

S(t

=0)ab续只有了解过渡过程,才能全面的了解动态电路的性质。合上(断开)电源、换路元件参数改变、电路结构改变等等。定义换路前后的瞬时,换路为了讨论上的方便,忽略了开关的动作时间综上所述,动态电路会产生过渡过程:1.电路中含有动态(储能)元件L、C3.电磁能量的储存和释放都需要一定的时间来完成

电路结构、元件参数发生变化电磁惯性(内因)(外因)2.换路:过渡过程实质:是电路的能量从一种分布状态到另一种分布状态的变化过程。除非电路中具有无穷大功率。二.动态电路的方程描述方程为微分方程描述方程为代数方程动态电路电阻电路iu3+-UsR1R2R3S(t=0)回顾静态电路+–uCUsRCi

S(t

=0)ab元件KVL换路后，用一阶微分方程描述的电路:一阶电路+–

uCiCL–+RusS(t=0)换路后，用二阶微分方程描述的电路:二阶电路换路后，用n阶微分方程描述的电路:n阶电路动态电路的阶数+–uCUsRCi

S(t

=0)ab含有n个动态元件的电路------n阶电路?思考题1:独立动态元件个数经典法变换域分析法:时域分析法:拉普拉斯变换法状态变量法数值法三.动态电路的分析方法(复频域分析)解微分方程状态方程计算机数值计算本章讨论求解一阶微分方程组齐次解特解双零法零输入响应零状态响应(略)第10章讨论S域中运算t域4.1.2

换路定则与初始值的确定一.初始条件定义设换路在t=0时刻进行,0-

换路前一瞬间0+

换路后一瞬间0-0+0tf(t)电路的初始条件（初始值）：求解微分方程的边界条件:电路变量的初始值如何求初始条件?在t=0点连续:在t=0点不连续:电路的变量（电压或电流）及（n-1）阶导数在t=0+时刻的值。在0点有跃变线性电容所以令t0=0–

，t=0+iCucC

+-uC

(0+)=uC

(0-)换路瞬间，若电容电流为有限值，二.换路定则说明:则有则电容电压换路前后瞬时的值保持不变。若为有限值线性电感令t0=0–

，t=0+iuLL+-LiL(0+)=iL(0-)说明:

换路瞬间，若电感电压为有限值，则有所以则电感电流换路前后瞬时的值保持不变。同理若为有限值

L

(0+)=

L

(0-)qc(0+)=qc

(0-)换路定则换路定则成立的条件:换路瞬间，电感电压为有限值。换路瞬间，电容电流为有限值;uC

(0+)=uC

(0-)iL(0+)=iL(0-)

L=LiLqC=CuC由于可知换路定则推广常数三、换路定则的应用电路初始值的计算举例例1(2)由换路定则uC

(0+)=uC

(0-)=8Vic(0+)+-10Vi+8V-10k0+等效电路(1)由0-电路求uC(0-)+-10V+uC(0-)-10k40kuC(0-)=?(3)由0+等效电路,求iC(0+)iC(0--)iC(0+)电路原已稳定,开关在t=0打开，求iC(0+)。iC(0+)＝0-等效电路解8V注意:+-10ViiC+uC-S10k40kC开路等值电压源替代例2

iL(0+)=iL(0-)=2A电路原已稳定,t=0时闭合开关S,求uL(0+)。iL+uL-L10VS1

4

+uL(0+)-0+电路:10V1

4

2A先求由换路定则解由0_电路:10V1

4

iL(0_)短路等值电流源替代例3iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-uC(0+)=-RIS0+等效电路:iC(0+)uL(0+)+–电路原已稳定,t=0时闭合开关S,求iC(0+),uL(0+)。S(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解+–uC(0-)CLRIS0-等效电路:iL(0-)=ISuC(0-)=RISiL(0-)RiL(0+)+–uC(0+)由换路定则所以练习:初始值计算步骤①换路前电路已稳定:电容开路、电感短路、uC

(0+)=uC

(0-),uC(0-)由0-电路求和iL(0-)；iL(0+)=iL(0-)②由换路定则求③

0+电路C、L的处理uC(0+)iL(0+)电容用等值电压源替代电容短路电感开路电感用等值电流源替代④由0+电路求变量及相应(n-1)阶导数的初值。由上举例可知小结1.动态电路的特点含有动态元件(L、C)用微分方程来描述,方程阶数=电路阶数2.产生过渡过程过渡过程的物理现象换路外因动态元件内因实质在有限功率下,能量分布状态的改变,不能立即完成。电磁惯性3.换路定则有限值条件:uC

(0+)=uC

(0-)iL(0+)=iL(0-)4.初始条件的计算?电路的初始值是求解微分方程的必要条件，给定动态电路,如何列写电路的微分方程并求解?动态电路的分析?练习图示电路原已稳定,求开关打开后的各量初值。S(t=0)R1R2USLCuLuCuR2iLiC解0+电路:?R2uR2(0+)iL(0+)uC(0+)iC(0+)uL(0+)4.2一阶电路的分析换路后，描述电路的方程是一阶（常系数）微分方程。TheFirst-OrderCircuit4.2.1零输入响应分析外加激励(独立电源)为零，仅由储能元件的初始储能(条件)作用于电路产生的响应。Zero-inputResponse1、RC电路的零输入响应－－RC放电电路已知：电路如图,uC

(0-)=U0，求开关闭合后的uC

(t)。解:

iS(t=0)+–uRC+–uCR

uR=Ri特征根设特征方程RCp+1=0则初始值uC

(0+)=uC(0-)=U0A=U0U0it0I0电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积.放电过程中电容电压uC。

可知：电压是连续的，而非突变（跃变）的！在换路瞬间，i

(0－)=0，i

(0+)=U0/R，电流发生了跃变！

tuC0一个重要的参数：时间常数τ令=RC

,称

为一阶电路的时间常数

=RC时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短;

大

,过渡过程时间长;

小,过渡过程时间短.电压初值一定：R大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C大（R不变）w=0.5Cu2

储能大U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上认为,经过3

-5

,过渡过程结束。

——衰减到初始值的36.8%所需的时间t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

tU0uC0

0.368U0（1）用特征根计算:

时间常数τ的求法:R1R2CR3i＋uC－列电路方程:特征方程:特征根:Req=Req（2）用电路参数计算式中Req

为从电容两端看出去的等效电阻。

R1R2CR3次切距的长度t2-t1=

t1时刻(A点)曲线的斜率等于I0tuc0

t1t2按此速率，经过

秒后uc减为零（3）用图解法确定ReqReqδA能量关系C不断释放能量被R吸收,直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量:电阻吸收（消耗）能量:uCR+-C能量守恒2、RL电路的零输入响应－RL放电电路iLS(t=0)L+–uLU0RR0+-t≥0时–+uRuL–+iLRLiL(0+)=iL

(0-)例电路方程：特征方程

LP+R=0特征根p=初始值iL(0+)=I0定积分常数AA=iL(0+)=I0解方程：令iLS(t=0)L+–uLU0RR0+-令

=L/R

,称为一阶RL电路时间常数iL(0)一定：L大,初始能量大

R小,放电过程消耗能量小放电慢

大-RI0uLtI0tiL0例uV

(0+)=－10000Vt=0时,打开开关S，求uv。现象：电压表坏了电压表量程<50V分析iLLR10V措施：加个单向导通元件（二极管）iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10ViL

(0+)=iL(0-)=1A..小结：一阶电路零输入响应的求解y(t)通常是uc(t)和iL(t)——先求的主要电量；齐性是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减至零的指数衰减函数；2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数；4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比。电路的零输入响应响应的初始值时间常数Req例4-2如图

所示电路中，开关S原在位置1，且电路已达稳态。t=0时开关由1合向2，试求t≥0时的uC(t)、i(t)。

解

换路前电路已达稳态，则

uC–+(a)C4ΩR21F4ΩR1S(t=0)2ΩR10V21–+i1FCuC–+R1(b)4Ω4ΩR2iV

SV例4-3已知iL(0+)=150mA，求t>0时的电压u(t)。

先求电感两端的等效电阻Req。外加电压源方法：

(a)0.1u4Ω6Ωu(t)–+iL1/2Hu–+i(b)先计算主要电量：iL(c)u(t)–+50/3ΩL=0.5HiL(t)再计算待电量：u（t）解Ω4.2.2一阶电路的零状态响应储能元件初始状态为零,在输入激励作用下产生的响应.1、RC电路的零状态响应例–+uCCUSuR–+S(t=0)–+Ri一阶线性非齐次微分方程

初始条件：uC

(0+)=uC(0－)=0齐次通解：方程的解：Zero-stateResponse非齐次特解：与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解(稳态分量)。变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=US+A=0

A=-US由起始条件uC

(0+)=0定积分常数

A齐次方程的通解：特解（强制分量）=US：（自由分量，暂态分量）满足满足强制分量(稳态)自由分量(暂态)-USuC"uC'USti0tuc0能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中，充电效率只有50％

。电容储存电源提供能量：电阻消耗RC+-UStiL02、RL电路的零状态响应iLS(t=0)US+–uRL+–uLRiL(0-)=0求:电感电流iL(t).已知一阶线性非齐次微分方程

初始条件：iL

(0+)=iL(0－)=0方程的解：uLUSt0连续跃变练习R1ISR2C1C2S(t=0)+-2×103ii已知R1=6KΩ,R2=2KΩ,

C1=1uF,

C2=2uF,求τ。解1)

求Req:R1R2+-2×103ii+u-2)求Ceq:3)求τ:u1u2uq零状态响应讨论：1)τ的含义，反映过渡过程的快慢；3)

τ计算RC电路（或最终可以化简为Req与C的电路）τ=ReqCRL电路（或最终可以化简为Req与L的电路）τ=L/Req2)零状态响应的比例性当外加激励增大K倍时，则零状态响应也增大K倍:齐性特性4.2.3全响应(CompleteResponse)非零初始状态,且有激励时电路中产生的响应iS(t=0)US+–uRC+–uCR稳态解uC'

=US解为

uC(t)=uC'+uC"uC

(0-)=U0非齐次方程

=RC暂态解1、RC全响应uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A全响应强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0(1)

全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)2、全响应的两种分解方式特点：物理概念清楚iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–

uCiS(t=0)+–uRR(2)

全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应特点：便于叠加计算零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U04.2.4

三要素法其解答一般形式为：三要素在直流激励下的响应:分析一阶电路例1t=0时合上开关,求换路后的uC(t)。解：tuc2(V)0.66701A2

1

3F+-uCS(t=0)响应曲线例2已知：电感无初始储能

t=0时合S1,t=0.2s时合S2

求两次换路后的电感电流i(t)。解

0<t<0.2st>0.2si10V1HS1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

三要素法分析一阶电路过程1、首先分析待求量待求量有很多，在过渡过程求解分析时，电路中各个元件的电压或者电流、以及功率等都可能作为待求量.+-uC1A2

1

3FS(t=0)+-uR1iR2iC如：图中待求量2、在待求量中选取主要矛盾来分析解决众多的待求量中，主要矛盾只有两个：uc和iL。首先选取uc或iL采用三要素分析。3、然后再通过uc或iL求解最终结果。例4-4如图所示电路，开关打开以前电路已达稳态，求t≥0时的uC

、iC

。解：uC的初始值：时间常数：特解：t/suc/v640分析:本题先解决的应该是uc然后,ic则利用与uc的关系求出+-6V+-uc3k

1k

6k

S(t=0)ic10uF例4-5图示t>0电路，已知iL

(0+)=2A，求iL(t)、i1(t)

。

求电感两端的戴维南等效电路，iL

(0+)=2

V等效电路UocReq–+iL3H解：得：最后：先计算iL(t)2i1–+4A4Ωi1iL3H其中Uoc=24V，Req=6Ω。As直流电源作用下的一阶电路求法:1.经典法(列写微分方程)2.等效电路叠加法：全响应=零输入响应+零状态响应3.三要素法例1用三种方法求开关闭合后的uC(t)。解i2iCi1S(t=0)R2+US-CR1uCuC(0-)=U0经典法:uC(0-)=U0等效电路法:Req+UOC-CuC(0+)=U0uC三要素法:R2+US-CR1uCuC(0-)=U