双线性系统和它的延伸系统的能控性和能观性

双线性系统和它的延伸系统的能控性和能观性

0双线性系统的特殊性在文献中，本文描述了伪射非线性管理制度的扩展系统，并讨论了扩展系统的能观测性与原始伪射非线性管理制度的能观测性。在满足一定条件下，伪射非线性网络系统的能观测性以及扩展系统的能观测性。由于线性系统有其自身的特点，文献表明线性系统的能控制性以及扩展系统的能控制性是平等的。线性系统的能观测性以及扩展系统的能观测性是平等的。然而，双向系统是最简单的非线性控制体系。大多数数学模型在化学、物理、经济、生态、生物等过程中描述了许多现象，并具有特定的实践背景。由于二元性的存在及其本质区别，因此本文首先介绍了二元及其延伸系统，并描述了评价二元及其扩展系统的条件。然后，讨论了双线性系统的能控制性、延伸系统的能控制性、双线性系统的能观测性以及扩展系统的能观测性。最后，描述了结果。1bxuy+axuy考虑n维连通解析流形M上的双线性控制系统{˙x=Ax+Bxu‚y=Cx.(1){x˙=Ax+Bxu‚y=Cx.(1)其中x为n维状态向量,u为输入向量,y为q维输出向量,A,B和C分别为n×n,n×n和q×n的常值矩阵.1.1变分系统的生成给定初始状态x(0)=x0,取n维解析流形的包含x0的坐标邻域U(x0).设x(t)(t∈[0,T])是(1)对应于输入u(t)和初始状态x(0)=x0的解,并且x(t)∈U(x0).用y(t)=(y1(t),…,yq(t))表示输出,沿着状态—输入—输出轨道(x(t),u(t),y(t))的变分系统为{˙v=Av+Bvu+BxuV,yV=Cv,(2)其中v(0)=v0∈Rn,uV,yV表示变分系统的输入和输出.系统(1)的延伸系统定义为{˙x=Ax+Bxu,˙v=Av+Bvu+BxuV,y=Cx,yV=Cv,(3)其中u,uV为输入,y,yV为输出,(x,v)为状态.1.2双线性系统的能达性记C(x)=span{X(x)|X(x)∈span{[Xk,[Xk-1,[…,[X2,X1]…]]]∪Ax∪Bx}},其中Xi∈{Ax,Bx},i∈k¯‚[Xi,Xj]为向量场Xi和Xj的李括号.命题1双线性系统(1)为弱能控的充分必要条件是dimC(x)=n.其中n为矩阵A的维数,C(x)称为双线性系统的能达性分布.记dO(x)=span{dH(x)|H∈span{LX1LX2…LXiy∪y}},其中Xi∈{Ax,Bx}‚i∈k¯‚LXiy是输出函数沿着向量场Xi的李导数.命题2双线性系统(1)为能观测的充分必要条件是dimdO(x)=n,其中n为矩阵A的维数,dO称为双线性系统的能观性余分布.2双线性控制系统的能达性下面考虑双线性系统(1)及其延伸系统(3)的弱能控性之间的关系.为此计算延伸系统(3)的能达性分布.设在这里,定义两个线性向量场Px和Qx的李括号,这里P和Q是n阶方阵,那么不难得出[Px,Qx]=[P,Q]x,这里[P,Q]=PQ-QP称为方阵P和Q的交换子,它是n阶方阵集上的一个运算.容易验证,n阶方阵集在普通加法、数乘以及交换子运算下构成一个李代数,这个李代数记作gl(n,R).设H是包含矩阵A,B的位于gl(n,R)的最小子代数,则由上面的计算可得延伸系统(3)的能达性分布CP(x)=span{XP(x)|XP(x)∈HP},而HP=span{(ΜΜ),(0Μ)},其中M∈H.而原双线性系统的能达性分布为C(x)=span{X(x)|X(x)∈H}.由此可得以下结果:定理1双线性控制系统(1)是弱能控的当且仅当其延伸系统(3)是弱能控的.注这个结论说明,双线性控制系统及其延伸系统的能控性是等价的,所以如果要判断某个双线性系统是否能控,而该系统的状态流形的维数比较大,设为2n,如果它可以看成另一双线性系统(此系统的状态流形的维数为n)的延伸系统,那么由定理1知只需要判断维数为n的系统是否能控,而判断维数为n的系统是否能控,只需找n个线性无关的向量场,计算量大大减少.由上面的计算也可以看出,如果矩阵A和B是可交换的,即AB=BA,则此时[f,[f,g1]]=(00)‚[f,[f,g2]]=(00),则可得:定理2如果矩阵A和B是可交换的,且n>3,则双线性控制系统(1)是不能控的,显然延伸系统(3)也是不能控的.3双线性系统的能观性是联系性且能观测的一个假设下面考虑双线性系统(1)及其延伸系统(3)的能观测性之间的关系.为此计算延伸系统(3)的能观性余分布.dLfy=d[(C0)(AxAv)]=CAdx,dLg1y=d[(C0)(BxBv)]=CBdx,dLg2y=d[(C0)(0Bx)]=0‚dLfLfy=CA2dx,dLg1Lg1y=CB2dx,dLg1Lfy=CABdx,dLfLg1y=CBAdx,…,dLfyV=CAdv,dLg1yV=CBdv,dLg2yV=CBdv,dLfyV=CA2dv,dLg1Lg1yV=CB2dv,dLg1LfyV=CABdv,dLfLg1yV=CABdv,…,则可得延伸系统(3)的能观性余分布dOP(x)由如下形式的余向量场构成(C0),(CA0),(CB0),(CA20),(CB20),(CAB0),(CBA0),…,(CAiBj0),(CBkAl0),…,(0C),(0CA),(0CB),(0CA2),(0CB2),(0CAB),(0CBA),…,(0CAiBj),(0CBkAi),….而原双线性系统的能观性余分布dO(x)由如下形式的余向量场构成(C),(CA),(CB),(CA2),(CB2),(CAB),(CBA),…,(CAiBj),(CBkAl),….由此可得:定理3双线性控制系统(1)是能观测的当且仅当其延伸系统(3)是能观测的.注这个结论说明,双线性控制系统及其延伸系统的能观测性是等价的,所以如果要判断某个双线性系统是否能观测,而该系统的状态流形的维数比较大设为2n,如果它可以看成另一双线性系统(此系统的状态流形的维数为n)的延伸系统,那么由定理3知只需要判断维数为n的系统是否能观测,而判断维数为n的系统是否能观测,只需找n个线性无关的向量场,计算量大大减少.4延伸系统是弱能控例1考虑双线性系统{˙x1=-2x2+3x2u,˙x2=-x1+x1u,y=x1,,则A=(0-2-10)‚B=(0310),而dimC(x)=dim(span{Ax,Bx})=2,所以该双线性系统是弱能控的.又因为C=(10),CA=(0-2),CB=(03),而dimdO=2,所以该双线性系统是能观测的.该双线性系统的延伸系统为{˙x1=-2x2+3x2u,˙x2=-x1+x1u,˙v1=-2v2+3v2u+3x2uV,˙v2=-v1+v1u+x1uV,y=x1,yV=v1.可以验证此时dimCP(x)=4,dimdOP=4,所以该延伸系统是弱能控的,也是能观测的.例2考虑双线性系统{˙x1=-2x1+3x1u,˙x2=-x2+x2u,y=x1,则A=(-200-1)‚B=(3001),而dimC(x)=dim(span{Ax,Bx})=2,所以该系统是弱能控的.又因为C=(10),CA=(-20),CB=(30),CAiBj=(*0),CBkAl=(*0),