新高考数学二轮复习讲义第二十六讲圆锥曲线（含解析）

第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线【考点梳理】求曲线的轨迹方程直接法、定义法、相关点法椭圆方程椭圆相关计算（1）椭圆标准方程中的三个量SKIPIF1<0的几何意义SKIPIF1<0（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长SKIPIF1<0焦点弦：椭圆过焦点的弦。最短的焦点弦为通经SKIPIF1<0，最长为SKIPIF1<0。（3）最大角:SKIPIF1<0是椭圆上一点，当SKIPIF1<0是椭圆的短轴端点时，SKIPIF1<0为最大角。（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。焦点三角形的面积SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0（注意公式的推导）双曲线（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为SKIPIF1<0．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线内部，等价于SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在双曲线外部，等价于SKIPIF1<0结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数SKIPIF1<0；顶点到两条渐近线的距离为常数SKIPIF1<0;性质2：双曲线上的任意点SKIPIF1<0到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数SKIPIF1<0；（4）双曲线焦点三角形面积为SKIPIF1<0（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作双曲线的切线方程为SKIPIF1<0．若点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0外，则点SKIPIF1<0对应切点弦方程为SKIPIF1<0抛物线（1）、焦半径抛物线上的点SKIPIF1<0与焦点SKIPIF1<0的距离称为焦半径，若SKIPIF1<0，则焦半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）、焦点弦若SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点弦，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有以下结论：（1）SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．（3）焦点弦长公式1：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，焦点弦取最小值SKIPIF1<0，即所有焦点弦中通径最短，其长度为SKIPIF1<0．焦点弦长公式2：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与对称轴的夹角）．（4）SKIPIF1<0的面积公式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与对称轴的夹角）．（3）、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故抛物线的通径长为SKIPIF1<0．（4）、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：SKIPIF1<0（5）、焦点弦的常考性质已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是过抛物线SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0的弦，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是抛物线的准线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足．（1）以SKIPIF1<0为直径的圆必与准线SKIPIF1<0相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（4）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点在一条直线上【典型题型讲解】考点一：椭圆【典例例题】例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆SKIPIF1<0的焦距为6，则实数SKIPIF1<0（

）A．13 B．40 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】．A【详解】解：因为椭圆SKIPIF1<0的焦距为6，可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：A.例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为SKIPIF1<0，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线SKIPIF1<0时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】21．(1)SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（2）当直线斜率存在时，可设SKIPIF1<0代入椭圆方程SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．因为直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直，斜率之积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入，整理化简得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．由直线SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线l经过SKIPIF1<0，与B点重合，舍去，当SKIPIF1<0时，直线l经过定点SKIPIF1<0，当直线斜率不存在时，可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，舍去．综上所述，直线l经过定点SKIPIF1<0，而F在l上的射影H的轨迹为以SKIPIF1<0为直径的圆，其SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0，即为点H的轨迹方程．【方法技巧与总结】标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0图形性质焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0SKIPIF1<0范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对称性关于SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴和原点对称顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴长轴长SKIPIF1<0SKIPIF1<0，短轴长SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0（注：离心率越小越圆，越大越扁）【变式训练】1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，上顶点为B，且SKIPIF1<0，点P在C上，线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于Q，SKIPIF1<0，则（

）A．椭圆C的离心率为SKIPIF1<0 B．椭圆C上存在点K，使得SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】令椭圆半焦距为c，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，对于A，椭圆C的离心率SKIPIF1<0，A正确；对于B，设SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为锐角，B不正确；对于C，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，C正确；对于D，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，点Q到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即点Q到直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，D正确.故选：ACD2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若在椭圆SKIPIF1<0上不存在点P，使得由点P所作的圆SKIPIF1<0的两条切线互相垂直，则椭圆SKIPIF1<0的离心率的取值范围是________.【答案】SKIPIF1<0【详解】设过SKIPIF1<0的两条直线与圆SKIPIF1<0分别切于点SKIPIF1<0，由两条切线相互垂直，知：SKIPIF1<0，又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆C1的离心率SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3.（2022·广东汕尾·高三期末）已知SKIPIF1<0分别是椭圆C：SKIPIF1<0的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，使得SKIPIF1<0，的面积为SKIPIF1<0，则正实数m的取值范围为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】当点P在椭圆C上运动时，SKIPIF1<0，故只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022·广东肇庆·二模）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点A是椭圆上一点，点О为坐标原点，若SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】如图，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．因为直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D．5．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线AB过SKIPIF1<0与该椭圆交于A，B两点，当SKIPIF1<0为正三角形时，该椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设正三角形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，设椭圆的标准方程为：SKIPIF1<0，设左、右焦点分别为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由椭圆的定义可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：B6．（2022·广东中山·高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0,离心率为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0被椭圆截得的弦长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0求椭圆SKIPIF1<0的标准方程SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一点,SKIPIF1<0是坐标原点,过点SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行的直线与椭圆SKIPIF1<0的两个交点为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0设椭圆SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程化为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0由条件知SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0,过SKIPIF1<0与直线平行的直线方程SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0由点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一点,得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时,取等号,SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<07．（2022·广东·金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：SKIPIF1<0的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析，(－5,0).(1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0从而b2＝a2－c2＝3．∴椭圆C的方程SKIPIF1<0；(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).8．（2022·广东潮州·高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线SKIPIF1<0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得SKIPIF1<0为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0(1)解：由离心率为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0；(2)解：假设存在，设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0,消SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，要使上式为定值，即与SKIPIF1<0无关，则应SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为定值，所以在x轴上存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.9．（2022·广东东莞·高三期末）已知点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左顶点，点SKIPIF1<0为右焦点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆上异于点SKIPIF1<0的任意一点，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析(1)由题知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因为右焦点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.(2)设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是锐角，所以SKIPIF1<0.10．（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)证明：SKIPIF1<0为定值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析.(1)∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，并整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.(2)由题意知，直线SKIPIF1<0的斜率存在，不妨设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.11．（2021·广东汕头·高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若动直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有且只有一个公共点，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，试探究：SKIPIF1<0是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0是定值，且SKIPIF1<0.(1)解：由已知可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.(2)解：①当切线SKIPIF1<0的斜率存在且不为SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0和椭圆SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理，得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0和椭圆SKIPIF1<0有且仅有一个公共点，即方程有两个相等的根，SKIPIF1<0，化简并整理，得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0；②当切线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线为SKIPIF1<0，即此时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③当切线SKIPIF1<0的斜率不存在时，直线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线为SKIPIF1<0，即此时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0恒为定值．12．（2022·广东潮州·二模）设椭圆SKIPIF1<0为左右焦点,SKIPIF1<0为短轴端点,长轴长为4,焦距为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.(Ⅰ)求椭圆SKIPIF1<0的方程(Ⅱ)设动直线SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0有且仅有一个公共点SKIPIF1<0,且与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0.试探究:在坐标平面内是否存在定点SKIPIF1<0,使得以SKIPIF1<0为直径的圆恒过点SKIPIF1<0?若存在求出点SKIPIF1<0的坐标,若不存在.请说明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）存在定点P(1,0)【详解】(1)由题意知SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故椭圆C的方程是SKIPIF1<0．(2)由SKIPIF1<0得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－SKIPIF1<0＝－SKIPIF1<0，y0＝kx0＋m＝SKIPIF1<0，所以M(－SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得N(4,4k＋m)．假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．设P(x1,0)，则SKIPIF1<0对满足(*)式的m、k恒成立．因为SKIPIF1<0＝(－SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝(4－x1,4k＋m)，由SKIPIF1<0，得-SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－4x1＋x＋SKIPIF1<0＋3＝0，整理，得(4x1－4)SKIPIF1<0＋x－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以SKIPIF1<0解得x1＝1.故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.考点二：双曲线【典例例题】例1．（2022·广东珠海·高三期末）双曲线SKIPIF1<0的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率e为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设SKIPIF1<0为双曲线左焦点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由平面几何知识可知SKIPIF1<0，根据对称性，四边形SKIPIF1<0为矩形，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据双曲线的定义可知SKIPIF1<0.故选:D．例2．（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.(1)求C的方程；(2)设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线SKIPIF1<0与C交于另一点D，求证：直线SKIPIF1<0过定点.【答案】(1)SKIPIF1<0(1)解：因为双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，则可设双曲线的方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线C的方程为SKIPIF1<0；(2)解：显然直线SKIPIF1<0的斜率不为零，设直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.【方法技巧与总结】1.双曲线的定义：焦点三角形2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线【变式训练】1．（2022·广东潮州·高三期末）SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左、右两支曲线分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】在双曲线SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，由图可知，直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为零，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为直角三角形，可得SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·广东汕尾·高三期末）已知双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【详解】双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0，故选：D．3．（2022·广东清远·高三期末）（多选）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，SKIPIF1<0，则（

）A．双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0B．双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0C．双曲线C的离心率为SKIPIF1<0D．双曲线C的离心率为SKIPIF1<0【答案】AC【详解】如图，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于Q，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0．故选：AC.4.（2022·广东东莞·高三期末）已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一个焦点，则点SKIPIF1<0到双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线的距离为_______.【答案】SKIPIF1<0【详解】双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的渐近线为SKIPIF1<0由双曲线SKIPIF1<0的对称性，不妨取焦点SKIPIF1<0，渐近线为SKIPIF1<0则则点SKIPIF1<0到渐近线的距离为SKIPIF1<0故答案为：45.（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的一个焦点，以SKIPIF1<0为圆心的圆与SKIPIF1<0的两条渐近线交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点，若四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】不妨设点SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右焦点，则SKIPIF1<0，则以SKIPIF1<0为圆心，且过原点SKIPIF1<0的圆的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，不妨设点SKIPIF1<0，由对称性可知点SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6.（2022·广东中山·高三期末）已知点M为双曲线C：SKIPIF1<0在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为___________；若SKIPIF1<0分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．【答案】4

-15【详解】设SKIPIF1<0，如图所示：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，由题知：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.29．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0经过点ASKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的渐近线的距离为SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的方程；(2)过点SKIPIF1<0作斜率不为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于M，N两点，直线SKIPIF1<0分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)以SKIPIF1<0为直径的圆经过定点，定点坐标为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(1)由题意得：SKIPIF1<0因为双曲线C的渐近线方程为SKIPIF1<0，所以有：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0因此，双曲线C的方程为：SKIPIF1<0(2)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则由：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由直线AM方程SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得点SKIPIF1<0由直线AN方程SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得点SKIPIF1<0则以EF为直径的圆的方程为：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，有：SKIPIF1<0将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0即以EF为直径的圆经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，以EF为直径的圆方程为SKIPIF1<0，该圆经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0综合可得，以EF为直径的圆经过定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0考点三：抛物线【典例例题】例1．（2022·广东惠州·一模）若抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上一点P（2，SKIPIF1<0）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（

）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【答案】D【详解】抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴抛物线的标准方程为SKIPIF1<0.故选：D.例2．（2022·广东韶关·一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)若抛物线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0按顺时针方向依次交于四点SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在第一象限）.①求证：直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0点；②设SKIPIF1<0的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.【答案】．(1)SKIPIF1<0（也可写SKIPIF1<0）(2)①证明见解析；②SKIPIF1<0(1)据题意，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0为轨迹SKIPIF1<0的方程；（也可写SKIPIF1<0）(2)如图：由圆与抛物线的对称性，四边形SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0轴为对称轴的等腰梯形不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0（1）据题意，方程（1）有两相异正实根故SKIPIF1<0SKIPIF1<0①证明：依据圆与抛物线的对称性，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的公共点必在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0要证直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0点，只要证：SKIPIF1<0三点共线；只要证：SKIPIF1<0只要证：SKIPIF1<0只要证：SKIPIF1<0只要证：SKIPIF1<0上式显然成立，且各步可逆，故直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0点②解法一：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时抛物线方程为SKIPIF1<0解法二：SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时抛物线方程为SKIPIF1<0【方法技巧与总结】1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.2.抛物线的性质：焦点弦长【变式训练】1．（2022·广东广州·一模）设抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过点SKIPIF1<0的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之比SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】如图，过点B作BD垂直准线SKIPIF1<0于点D，则由抛物线定义可知：SKIPIF1<0，设直线AB为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则直线AB为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0