新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 大题保分练5(数列、三角、立几、概率)（含解析）

大题保分练5(数列、三角、立几、概率)1．已知{an}是等差数列，且lga1＝0，lga4＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和．解(1)数列{an}是等差数列，设公差为d，且lga1＝0，lga4＝1.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a1＋3d＝10，))解得d＝3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，则aeq\o\al(2,k)＝a1·a6，根据等差数列的通项公式得到ak＝3k－2，代入上式解得k＝2；a1，a2，a6是等比数列{bn}的前3项，a1＝1，a2＝4，所以等比数列{bn}的公比为q＝4.由等比数列的通项公式得到bn＝4n－1.则an＋bn＝3n－2＋4n－1，故Sn＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n－2＋4n－1)＝eq\f(n3n－1,2)＋eq\f(4n－1,4－1)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n＋eq\f(1,3)(4n－1)．2．(2020·天津)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2eq\r(2)，b＝5，c＝eq\r(13).(1)求角C的大小；(2)求sinA的值；(3)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,4)))的值．解(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2eq\r(2)，b＝5，c＝eq\r(13)，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(2),2).又因为C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,4).(2)在△ABC中，由正弦定理及C＝eq\f(π,4)，a＝2eq\r(2)，c＝eq\r(13)，可得sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(2\r(13),13).(3)由a<c及sinA＝eq\f(2\r(13),13)，可得cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(3\r(13),13)，进而sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(12,13)，cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(5,13).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,4)))＝sin2Acoseq\f(π,4)＋cos2Asineq\f(π,4)＝eq\f(12,13)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(5,13)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(17\r(2),26).3．如图，菱形ABCD的边长为2，对角线AC＝2eq\r(3)，现将菱形ABCD沿对角线AC折叠至B′，使B′D＝1.(1)求证：AC⊥B′D；(2)求二面角C－AD－B′平面角的余弦值．(1)证明如图所示，取AC的中点为E，连接DE，B′E，因为AB′＝B′C，AD＝CD，所以B′E⊥AC，DE⊥AC，又B′E∩DE＝E，且B′E，DE⊂平面B′ED，所以AC⊥平面B′ED，又因为B′D⊂平面B′ED，所以AC⊥B′D.(2)解在等腰三角形B′AC中，可求得B′E＝1，同理DE＝1.又因为B′D＝1，所以△B′ED为等边三角形．建立如图所示的空间直角坐标系，则C(eq\r(3)，0,0)，A(－eq\r(3)，0,0)，D(0,1,0)，B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1,0)，eq\o(B′D,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).设平面B′AD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(B′D,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋y＝0，,\f(1,2)y－\f(\r(3),2)z＝0，))不妨取n＝(－1，eq\r(3)，1)，易知平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)，则cos〈m，n〉＝eq\f(1,\r(5)×1)＝eq\f(\r(5),5)，由图易知，二面角C－AD－B′为锐角，所以二面角C－AD－B′平面角的余弦值为eq\f(\r(5),5).4．(2020·济南模拟)网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分．正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计－1分．某商家在试营业期间随机抽取100单交易，调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图①和图②.(1)通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给信息完成下面2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关？好评中评或差评总计物流迅速物流迟缓30总计(2)从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X，该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表(如表)，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率．成交单数363027天数102020(ⅰ)求X的分布列和均值；(ⅱ)平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内(365天)能否获得“诚信商家”称号．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋cb＋da＋bc＋d).P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解(1)由题意可得好评中评或差评总计物流迅速50555物流迟缓301545总计8020100K2的观测值k＝eq\f(50×15－30×52×100,55×45×80×20)＝eq\f(100,11)≈9.091>6.635，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．(2)(ⅰ)由题意可知，X的取值可能是1,0，－1，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8,0.1,0.1，所以X的分布列为X10－1P0.80.10.1所以E(X)＝1×0.8＋0×0.1＋(－1)×0.1＝0.7.(ⅱ)方法一设商家每天的成交量为Y，则Y的取值可能为27,30,36，所以Y的分布列为Y273036P0.40.40.2所以E(Y)＝27×0.4＋30×0.4＋36×0.2＝30，所以商家每天能获得的平均积分为30×0.7＝21，商家一年能获得积分为21×365＝766