新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第二周 （含解析）

第二周周一1．(2020·全国Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.解(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝4，,a1q2－a1＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3.))所以{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知log3an＝n－1.故Sn＝eq\f(nn－1,2).由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得，m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)或m＝6.周二2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3BD，cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3).(1)求cos∠ABD；(2)若AD＝4eq\r(2)，CD＝3，求BC.解(1)设BD＝x，则AB＝3x，∵cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠BAD＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2×AB×AD)，即eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(9x2＋AD2－x2,2×3x×AD)，解得AD＝2eq\r(2)x.由余弦定理可得，cos∠ABD＝eq\f(AB2＋BD2－AD2,2AB·BD)＝eq\f(9x2＋x2－8x2,2×3x×x)＝eq\f(1,3).(2)∵AD＝4eq\r(2)＝2eq\r(2)x，∴x＝2.∵cos∠BDC＝cos∠ABD＝eq\f(1,3)，CD＝3，BD＝2，在△BCD中，由余弦定理可得，BC2＝BD2＋DC2－2DB·DC·cos∠BDC＝4＋9－2×2×3×eq\f(1,3)＝9.∴BC＝3.周三3．某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通、社区服务、环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．(1)求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；(2)求“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的分布列及均值．解(1)由题意得，基本事件总数n＝44＝256，恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数m＝Ceq\o\al(2,4)×(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2))＝84，∴恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(84,256)＝eq\f(21,64).(2)“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝eq\f(34,44)＝eq\f(81,256)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·33,44)＝eq\f(108,256)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·32,44)＝eq\f(54,256)＝eq\f(27,128)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·31,44)＝eq\f(12,256)＝eq\f(3,64)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4),44)＝eq\f(1,256)，∴ξ的分布列为ξ01234Peq\f(81,256)eq\f(27,64)eq\f(27,128)eq\f(3,64)eq\f(1,256)E(ξ)＝0×eq\f(81,256)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(27,128)＋3×eq\f(3,64)＋4×eq\f(1,256)＝1.周四4.(2020·福州质检)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝eq\r(5)，BC＝4，O为BC的中点，A1O⊥平面ABC.(1)证明：四边形BB1C1C为矩形；(2)求直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值．(1)证明连接AO，∵O为BC的中点，可得BC⊥AO，∵A1O⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1O⊥BC，又∵AO∩A1O＝O，AO，A1O⊂平面AA1O，∴BC⊥平面AA1O，又AA1⊂平面AA1O，∴BC⊥AA1，∵BB1∥AA1，∴BC⊥BB1，又∵四边形BB1C1C为平行四边形，∴四边形BB1C1C为矩形．(2)解如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(0，－2,0)，在Rt△AOB中，AO＝eq\r(AB2－BO2)＝1，在Rt△AA1O中，A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－AO2)＝2，所以A(1,0,0)，A1(0,0,2)，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0，－2，－2)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，设平面A1B1C的法向量是n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1B1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1C,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＝0，,－2y－2z＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2y，,z＝－y，))可取n＝(2,1，－1)，设直线AA1与平面A1B1C所成角为θ，则θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinθ＝|cos〈eq\o(AA1,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AA1,\s\up6(→))·n|,|\o(AA1,\s\up6(→))|·|n|)＝eq\f(4,\r(5)·\r(6))＝eq\f(2\r(30),15)，∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(\r(105),15)，即直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值为eq\f(\r(105),15).周五5．已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(\r(3),3)))在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为2eq\r(2).(1)求C的方程；(2)设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范围．解(1)由条件知eq\f(4,3a2)＋eq\f(1,3b2)＝1,2a＝2eq\r(2)，所以a＝eq\r(2)，b＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))在线段OM上，且kOM＝eq\f(1,2)，所以x1＋x2＝2(y1＋y2)，又eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1，两式相减得eq\f(x1－x2x1＋x2,2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，易知x1－x2≠0，y1＋y2≠0，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－1，即kAB＝－1.设AB方程为y＝－x＋m(m>0)，代入eq\f(x2,2)＋y2＝1并整理得3x2－4mx＋2m2－2＝0.由Δ＝8(3－m2)>0，解得m2<3，所以0<m<eq\r(3).由根与系数的关系得x1＋x2＝eq\f(4m,3)，x1x2＝eq\f(2m2－1,3)，故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)＝2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(4m2－1,3)－eq\f(4m2,3)＋m2＝m2－eq\f(4,3).又0<m<eq\r(3)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(5,3))).周六6．已知函数f(x)＝2a2lnx－eq\f(1,2)x2－ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，若f(x)在(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2a2·eq\f(1,x)－x－a＝－eq\f(x－ax＋2a,x).由f′(x)＝0得x＝a或x＝－2a.当a＝0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，没有单调递增区间．当a>0时，由f′(x)>0得0<x<a，f(x)为增函数，由f′(x)<0得x>a，f(x)为减函数，∴f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，＋∞)．当a<0时，由f′(x)>0得0<x<－2a，f(x)为增函数，由f′(x)<0得x>－2a，f(x)为减函数，∴f(x)的单调递增区间是(0，－2a)，单调递减区间是(－2a，＋∞)．故当a＝0时，f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，没有单调递增区间．当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，＋∞)，当a<0时，f(x)的单调递增区间是(0，－2a)，单调递减区间是(－2a，＋∞)．(2)由(1)得，当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，＋∞)，f(1)＝－eq\f(1,2)－a<0，当0<a≤1时，f(x)在(1，e)上为减函数，∴f(x)<f(1)<0，∴f(x)无零点，∴a≤1不成立，当1<e≤a时，f(x)在(1，e)为增函数，若f(x)在(1，e)上有零点，则f(e)