新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-6 利用导函数研究方程的根（函数的零点）（含解析）

专题3-6利用导函数研究方程的根（函数的零点）目录TOC\o"1-1"\h\u 1题型一：判断（证明）函数零点个数 1题型二：利用函数极值（最值）研究函数的零点 9题型三：已知函数的零点个数求参数的取值范围(或值) 15题型四：利用数形结合法（等价为两个函数图象交点）研究函数的零点（方程的根） 22题型五：以函数零点为背景的含双参不等式的证明 32题型六：导数解决函数隐零点问题 44 50题型一：判断（证明）函数零点个数【典例分析】例题1．（2022·河南·驻马店开发区高级中学高三阶段练习（文））已知函数图象的对称中心为，则的零点个数为（

）A．2 B．1 C．4 D．3【答案】D【详解】因为，所以，即，所以，即，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以图象的对称中心为，则，，故，则，则在上单调递减，因为，，所以在上存在1个零点.因为，，所以在上存在1个零点，因为，，所以在上存在1个零点，当时，，，，所以恒成立，所以函数在上没有零点，故的零点个数为3，故选：D.例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的零点的个数.【答案】答案见解析【详解】由得，设，

则，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减，即当时，g(x)取得极大值即，由，单调递增，可得与x轴只有一个交点，由，单调递减，可得与x轴没有交点，画出的大致图象如图，可得m≤0或m=时，有1个零点；当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点.综上所述，当m≤0或m=时，有1个零点；当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点.例题3．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知函数.(1)若的图象在点处的切线斜率为，求的值；(2)当时，判断在内有几个零点，并证明.【答案】(1)(2)1个，证明见解析【详解】（1）由题，，则，即，解得（2）当时，在内有1个零点，证明如下：由题，令，即，则，设，所以，因为当时，，，所以当时，，即在上单调递减，因为，当时，，所以，所以当时，与在内有一个交点，即当时，在内有1个零点.【提分秘籍】1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等函数零点的个数(或方程根的个数)问题的一般思路:(1)可转化为用导数研究其函数的图象与轴(或直线)在该区间上的交点问题;(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;(3)结合图象求解.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:第一步,利用导数证明该函数在该区间上单调性，第二步,证明端点的导数值异号.【变式演练】1．（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为_________．【答案】2【详解】，令，则．当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以，当；当，如下图所示：所以，使得，使得，故有两个零点．故答案为：2.2．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知函数，．(1)求证：函数有唯一的零点，并求出此零点；(2)求曲线过点的切线方程．【答案】(1)证明见解析，零点为0(2)(1)函数的定义域为，，令，而，故在上单调递减，在单调递增．所以，，即．故在上是单调递增的．又因为，因此，函数有唯一的零点，零点为0．(2)（2）显然，点不在函数图像上，不妨设切点坐标为．又，即，消去得，由（1）知，则，，故所求的切线方程为：．3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数.(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.【答案】(1)；(2)2个零点，理由见解析.（1）由，而，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为：；（2）函数的定义域为，由（1）可知：，当时，单调递增，因为，所以函数在时有唯一零点；当时，单调递增，因为，所以函数在时有唯一零点，所以函数f（x）有个零点.4．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））设函数​为常数).(1)讨论​的单调性；(2)讨论函数​的零点个数.【答案】(1)递减区间，递增区间；(2)答案见解析.（1）当时，由求导得：，显然函数在上单调递增，而，则当时，，当时，，即在上递减，在上递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.（2）由（1）知函数在上递减，在上递增，，令，，求导得，函数在上单调递增，函数在上递减，当时，取值集合为，函数取值集合为，因此函数在上的函数值集合为，当时，函数的取值集合为，函数取值集合为，因此函数在上的函数值集合为，所以当，即时，函数无零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中.(1)求的极值点个数；(2)求函数在区间内的零点个数.【答案】(1)1(2)当时，有一个零点；当时，无零点.【详解】（1）由题得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，无极大值，故的极值点个数为1.（2）由题得，令，得.

令，，则，令，得；令，得.所以在区间内单调递减，区间内单调递增，所以，

所以当，即时，直线与的图像有一个公共点，即有一个零点；

当，即时，直线与的图像无公共点，即无零点.题型二：利用函数极值（最值）研究函数的零点【典例分析】例题1．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数在时取得极值，且在点处的切线的斜率为.(1)求的解析式；(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：因为，则，由题意可得，解得，所以，.当，时，，经检验可知，函数在处取得极值.因此，.(2)解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围.由，得或，由，得，所以在、上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，极小值为，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有个交点，因此，实数的取值范围是.例题2．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若在上有且只有一个零点，求在上的最大值与最小值的和．【答案】(1)答案见解析；(2).(1)，当时，，∴在R上是单调增函数.当，此时，当或时，，时，，在和上单调递增，在上单调递减.当时，，当或，，，，在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在R上是单调增函数，当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，在和上单调递增，在上单调递减.(2)由（1）知，当时，在上单调递增，又，所以此时在内无零点，不满足题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，又在内有且只有一个零点，所以，得，所以,则，当时，，单调递增，当时,，单调递减.则，则，所以在上的最大值与最小值的和为.【提分秘籍】借助导数研究函数的单调性与极值后,通过极值（最值）的正负,函数的单调性判断函数图象的走势,从而判断零点的个数.【变式演练】1．（2022·重庆八中高二阶段练习）已知函数．(1)若，求函数在区间上的最大值；(2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)6(2)(1)当时，．令，得或．所以在或上单调递增，在上单调递减．当时，的极大值为．当时，．所以函数在区间的最大值为6．(2)依题意函数．函数有三个零点，等价于的图象与x轴有三个交点，函数的极值点为：，因为，所以在处取得极大值；函数取得极小值：，解得．则实数a的取值范围为．2．（2022·广东·高二阶段练习）已知函数在与处都取得极值.(1)求实数a，b的值；(2)若函数有三个不同的零点，求c的范围.【答案】(1)(2)(1)，解得，此时.当x∈,时,，单调递增，当x∈时，,单调递减，满足在x=与x=处都取得极值、故(2)由(1)可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增，即的极大值为，极小值为，要使函数有三个不同零点,则，∴为所求.3．（2022·全国·模拟预测（文））设函数，其中，为常数．(1)讨论的单调性；(2)若函数有且仅有3个零点，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)(1)．当时，，或,，,当时，，或,，,当时，，综上，当时，在，上单调递增，上单调递减；当时，在和上单调递增，上单调递减；当时，在上单调递增．(2)由（1）可知，有3个零点，则且，∴，∴．题型三：已知函数的零点个数求参数的取值范围(或值)【典例分析】例题1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若关于的函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图，当时，，在上单调递减，在上单调递增，且当时，；时，；又是R上的奇函数，，其函数图象如下所示：的零点，即的根；数形结合可知，有个根，故只需与的图象有一个交点即可.即满足条件或，解得.故选：A．例题2．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））已知关于的方程有4个不等实数根，则的取值范围是______．【答案】【详解】由得,由于，所以问题转化为和共有4个不同的交点，记，则，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，故，又因此，当时，，当时，，故的图象如图所示，要使为和共有4个不同的交点，则需要且，解得故答案为：例题3．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知函数.(1)当时，求的图像在处的切线方程；(2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，则，切点坐标为，则切线的斜率，则函数的图像在处的切线方程为即.（2），则，，∴由，得.当，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极大值，又，，且，∴在上有两个零点需满足条件，解得故实数的取值范围是.【提分秘籍】转化为用导数研究其函数的图象与轴(或直线)在该区间上的交点问题;【变式演练】1．（2022·北京通州·高三期中）已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数有两个零点，所以函数的图象与函数的图象有两个不同的交点.函数恒过定点,，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.时，，其导函数，当直线与函数相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.综上，要使函数有两个零点，则实数的取值范围是.故选：D.2．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）已知函数，若f（x）在（0，+∞）内有零点，则a的取值范围为___________.【答案】（0，1]【详解】解：，则其中令，则为递增函数，若，于是有，设，显然函数是正实数集上的增函数，，则h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，则，则f（x）在（0，+∞）内无零点，若，有，即，因为函数比函数的递增的速度快得多，所以函数存在大于0的函数值，则此时函数f（x）在（0，+∞）内有零点.故答案为：（0，1]3．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】解：问题等价于关于的方程有且只有一个解，当时，方程显然不成立，所以，所以，问题等价于关于的方程有且只有一个解，令，所以问题转化为直线与的图像有且只有一个公共点.，因为，所以，当或时，；当时，，所以在和上单调递增；在上单调递减，所以的极小值为.所以，图像大致如图所示：所以,当时，直线与函数的图像仅有一个公共点，即有且只有一个零点，所以，的取值范围为故答案为：4．（2022·天津·高三期中）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值.(1)求函数的单调区间；(2)若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见详解(2)或【详解】（1）解：由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，可得，即，解得，

所以，可得，令，解得或．解，得或，即在区间上单调递增，在上单调递增；解，得，即在上单调递减.所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．（2）解：由（1）得，，则，由（1）知，当或时，当或时，，即；当时，，即.所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得有两个零点，则满足或，即或，解得或，所以的取值范围为或．题型四：利用数形结合法（等价为两个函数图象交点）研究函数的零点（方程的根）【典例分析】例题1．（2022·河北石家庄·高二阶段练习）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若方程有三个不同的根，求的取值范围．【答案】(1)(2)(1)当时，函数定义域为，求导得：，则，而，则有，即，所以所求切线方程为：．(2)函数定义域为，求导得：，而方程，则有三个不同的根，即直线与曲线有三个公共点，令，则，当时，，当或时，，即函数在上单调递增，在和上单调递减，因为，，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，观察图象得，直线与曲线有三个公共点时，，所以a的取值范围是．例题2．（2022·重庆市永川北山中学校模拟预测）已知函数，(1)当时，求的极值；(2)若，函数与轴有两个交点，求的取值范围.【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【详解】（1）当时，，则定义域为，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值.（2）令，则，令，与轴有两个交点，则与的图象有两个不同交点，，当时，；当时，；，又，当时，，可得图象如下图所示，由图象可得：，当，即时，与的图象有两个不同交点，即实数的取值范围为.例题3．（2022·山东·宁阳县第四中学高二阶段练习）给定函数.(1)判断函数的单调性，并求出的极值；(2)画出函数的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；(3)求出方程的解的个数.【答案】(1)函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；(2)具体见解析；(3)具体见解析.(1)，时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.(2)作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.(3)结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.【提分秘籍】转化为用导数研究其函数的图象与轴(或直线)在该区间上的交点问题;【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)（1）解：当时，，该函数的定义域为，，所以，，，因此，曲线在处的切线方程为，即.（2）解：①当时，，则在上单调递减，不合题意；②当时，由可得，令，其中，则直线与曲线在内的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：增极大值减所以，函数在区间的极大值为，且，如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与曲线在内的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若方程有两个根，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).（1）当时，函数定义域为，求导得：，则，而，则有，即，所以所求切线方程为：．（2）函数定义域为，求导得：，而方程，则有两个根即直线与曲线有两个公共点，令，，则，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，因为，且当时，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，如图，观察图象得，直线与曲线有两个公共点时，，所以a的取值范围是．3．（2022·广东·珠海市第二中学高二期中）已知函数(1)讨论的单调性；(2)设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围.【答案】(1)详见解析(2)(1)，当时，，函数在单调递增，当时，，得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，综上可知，当时，函数在单调递增，当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是(2)由，化简为，设，设，则，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，函数的最大值，画出函数的图象，由图可知与的交点对应的，一正一负，如图，画出函数的图象，当，时，对应的值有3个，在单调递增，当时，所以4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若函数的图象与直线仅有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)增区间是：，，减区间是：，极大值，极小值；(2)或.(1)，易得当或时，，当时，，∴函数的增区间是：，，减区间是：，当时函数取得极大值，当时，函数取得极小值；(2)画出函数图像，由图形知，当或时，与只有一个交点．故的范围或．题型五：以函数零点为背景的含双参不等式的证明【典例分析】例题1．（2022·河南·一模（文））已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【详解】定义域为，（1）①若，则，在单调递增；②若，令，，当，；当，，所以在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知①当时，在单调递增，至多1个零点，不合题意；②当时，，（i），，无零点，不合题意；（ii），，1个零点，不合题意；（iii），，又，且，所以在，各有一个零点，综上，．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点(其中为自然对数的底数).（1）当时，求证：；（2）求实数的取值范围；（3）若函数的两个零点为，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【详解】当时，要证，只需证明.令，则.设，.当时，，在上，为单调递减函数，此时，所以原不等式成立.，当时，，当时，.可得在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，所以.当时，，不合题意；时，，若，，，，此时至多有一个零点；当时，，，所以在上有唯一的零点.又因为当时，由（1）得，由得，取满足且，则，所以在上有唯一的零点，综上.（3）由题得因为，所以由（1）得当时，，，所以，所以因为所以所以，所以，同理，所以，所以例题3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））设函数．(1)求函数的单调区间；(2)若有两个零点，，求的取值范围，并证明：．【答案】(1)答案见详解(2)，证明见解析(1)由，，可得，当时，，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得所以在单调递减，在单调递增；(2)证明：因为函数有两个零点，由（1）得，此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.所以，可得,所以.由（1）可得的极小值点为，则不妨设.设，，则则，即，整理得，所以，设，则，所以在上单调递减，所以，所以，即.【提分秘籍】破解含双变量不等式的证明的关键一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式;二是巧构造函数,借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值;三是回归双变量的不等式的证明,把所求的最值应用到双变量不等式,即可证得结果.【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，设函数．(1)当时，若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2)若对任意实数，函数均有零点，求实数的最大值；(3)若函数有两个零点，证明：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析（1）解：当时，．．当时，，则在上单调递增．当时，若，，在上不可能单调递增．．所以在上单调递增，则．（2）解：（ⅰ）当时，，在上单调递增．有零点．（ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减．又当x趋近于时，f(x)趋近于；x趋近于时，f(x)趋近于；所以只要恒成立，则恒有零点．即恒成立．因为求的最大值，不妨设，．设，则．所以只要．即，得．所以的最大值为．（3）解：由题意得：只要证．设，．则，是函数的两根．．当时，，与函数有两个零点矛盾．所以．所以当时，．所以函数在上递增，在上递减．记函数有图象关于直线对称后是函数的图象．有．则．．所以时，．所以，即．所以．．所以．2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．(1)求函数的最小值；(2)求证：函数存在两个零点（记为），且．【答案】(1)(2)证明过程见解析.（1）由设，因此当时，函数单调递增，，当时，，因此，所以单调递增；当时，，因此，所以单调递减，因此当时，有最小值，即；（2）由（1）可知：在时，单调递减，在时，单调递增，，因为，，所以函数在内有且只有一个零点，不妨设，在内有且只有一个零点，设为，即，即函数有两个零点，即构造函数，当时，单调递减，因此有，即，因为，所以，而，因此，因为，所以，因为在时，单调递减，所以由.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）讨论函数的单调性;（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，求证：．【答案】（1）见解析（2）证明过程见解析.【详解】（1）由，可得，当时，，函数是实数集上的增函数，当时，令，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上所述：当时，函数是实数集上的增函数，当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；（2）由（1）可知：当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以函数有最小值，最小值为：，因为函数有两个不同的零点，不妨设，因为当时，，当时，，所以有，即，，因为函数有两个不同的零点，所以，因此令，构造函数，因为，所以，因此，所以当时，函数单调递减，故有，而，所以.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（a为常数）．且有两个不同的极值点（1）求实数a的取值范围；（2）求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）由题，，有两个不同的极值点，即有两个不同的零点，且在零点的附近两侧异号，记，，当时，恒成立，单调递增，不合题意，所以，，当单调递减，当单调递增，只需最小值，解得；（2）考虑函数，，仅当时，，所以在单调递增，当，，不妨考虑：，，，所以成立，同理可证当时成立，所以，的零点，所以，两式相加：，，两式作差：，，所以.题型六：导数解决函数隐零点问题【典例分析】例题1．（2022·全国·高二单元测试）设，.（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数；（3）当时，设恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）递增区间为，单调递减区间为；（2）当时，有1个零点，当或时，有2个零点，当时，有3个零点.；（3）.【详解】（1），当时，，单调递增，当时，，单调递减.故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）是的一个零点，当时，由得，，，当时，递减且.当时，，且时，递减，时，递增，故，.图象如图，当时，有1个零点当或时，有2个零点；当时，有3个零点.（3），所以：，当时，设的根为，即有，可得，，当时，，递减.当时，，递增.所以：，∴.例题2．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）当时，判断的零点个数并说明理由；（3）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）无零点，理由见解析；（3）.【详解】（1）当时，，，，切线方程为，即（2）当时，，易知在单调递增，且，存在唯一零点，且当时，单调递减，当时，单调递增.对两边取对数，得：无零点.（3）由题意得，，即，即，易知函数单调递增，，0单调递增极大值单调递减，令，则，令得，列表得，.【提分秘籍】函数隐零点在很多时候无法直接求出来，基本解决思路是：虚设零点，整体代换，数值估算，等价转化，分离参数，反客为主。【变式演练】1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数．（Ⅰ）求函数的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线存在斜率为的切线，且切点的纵坐标．【答案】（Ⅰ）零点为,减区间为，递增区间为；（Ⅱ）证明见解析.试题解析:（Ⅰ）函数的定义域为．令，得，故的零点为．（）．令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）令，则．因为，，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，所以存在唯一的，使得．当时，．所以曲线存在以为切点，斜率为的切线．由得：．所以．因为，所以，．所以．2．（2022·北京·北师大二附中高三阶段练习）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；（3）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）【详解】（1）当时，，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，所以．当时，，，所以.所以在区间上单调递增．因此在区间上的最大值为，最小值为.（3）当时，.设，，因为，,所以.所以在区间上单调递减．因为，，所以存在唯一的，使，即.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．因为，，又因为方程在区间上有唯一解，所以.一、单选题1．（2022·上海市杨浦高级中学高三开学考试）已知点P是曲线上任意一点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则使得的点P的个数为（

）.A．0 B．仅有1个 C．仅有2个 D．至少有3个【答案】B【详解】解：由题意可知：，求的点的个数即求的解的个数，即的解的个数.令，则，因为，所以恒成立，又，所以恒成立，即在上单调递增；所以至多有一解，又，，所以存在且只存在一点，使得.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【详解】令，可得.在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.当时，.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点，则有，解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时，有，解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.3．（2022·上海·曹杨二中高二期末）已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（

）A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对【答案】C【详解】因为函数有两个零点，所以有两个根，即，设，，当时，解得，函数单调递增；当时，解得，函数单调递减，，当趋向于正无穷时，趋向于0，当趋向于0时，趋向于负无穷，所以当时，与有两个交点，故①正确；由此可知，因为，若，即.即证，当趋向于正无穷时，不成立，故②不正确.故选：C4．（2022·山东德州·高三期中）已知定义在上的函数，若的图像与轴有4个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为的图像与轴有4个不同的交点，所以与有4个不同的交点，作出二者图像如下图：易知直线恒过定点，斜率为a，当直线与相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为，则，解得，所以切线为，此时有三个交点；当直线过点时，，此时有四个交点；综上所述：，故选：A.5．（2022·天津·高三期中）已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为函数恰有2个零点，所以和有两个交点.作出函数的图像如图所示：因为时，和相交，所以只需和再有一个交点..当时，若与相切，则有的判别式，此时.当时，若与相切，则有的判别式，此时.当时，若与相切，设切点为.则有，解得：.所以要使函数恰有2个零点，只需或或，解得：或或.故选：D6．（2022·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）过点有条直线与函数的图象相切，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设切点为，因为，则，所以，曲线在点处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程可得，则，构造函数，其中，则，列表如下：减极小值增极大值减所以，函数的极小值为，极大值为，且当时，，由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，因此，.故选：B.7．（2022·湖北·高三阶段练习）直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是、、，则下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，则有，设函数，则，当时，单调递增，当时，单调递减，而，而，如下图所示：因此曲线的交点只有一个，因此曲线和只有一个交点，,当时，单调递增，当时，单调递减，且当时，，且，图象如下图所示，，当时，单调递增，当时，单调递减，且当时，，当时，，图象如下图所示，当直线经过曲线和唯一的公共点时，直线与两条曲线恰好有三个不同的交点，如上图所示，则有，且，①对上式同构可得：，∵，且函数在单调递增，∴，②又∵，，且函数在上单调递减，∴③由方程②③可得：，再结合方程①可得：．故选：D8．（2022·山西·晋城一中教育集团南岭爱物学校高三阶段练习）已知当时，函数的图像与函数的图像有且只有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题设可知，当时，与有两个交点，等价于有两个根，令，则，所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，故，当，，，故；当时，，，故，如图；所以当时，直线与的图像有两个交点，即函数的图像与函数的图像有且只有两个交点.故选：A.二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【详解】令，则有，令，则有，所以在上单减，在上单增，当时，，，当时，故有唯一零点即或.故选：AD10．（2022·湖南·益阳市箴言中学高二开学考试）已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】由题意有方程在区间内有唯一实数根，即方程在区间内有唯一实数根，令，，所以在区间内单调递增，所以，所以，因为，，故选：ABC三、填空题11．（2022·全国·高三专题练习）若函数有两个零点，则的取值范围为______．【答案】【详解】解：因为有两个零点，即有两个零点⇒有两个解，即y＝与y＝的图象有两个交点，令（x∈R），则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，又因当时，＝＜0，当时，＝＞0，当时，＝＝0，要使y＝与y＝的图象有两个交点，所以0＜＜，即故的取值范围为．故答案为：．12．（2022·重庆南开中学模拟预测）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．【答案】【详解】有解，即，令，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递