新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题9-2 圆锥曲线（解答题）（含解析）

专题9-2圆锥曲线（解答题）目录TOC\o"1-1"\h\u专题9-2圆锥曲线（解答题） 1 1题型一：中点弦问题 1题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题 7题型三：椭圆，双曲线，抛物线中的参数范围（最值）问题 17题型四：椭圆，双曲线，抛物线中定点问题 25题型五：椭圆，双曲线，抛物线中定值问题 35题型六：椭圆，双曲线，抛物线中定直线问题 44 53题型一：中点弦问题【典例分析】例题1．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）已知椭圆经过点．(1)求的标准方程；(2)若直线与交于、两点，且弦的中点为，求直线的斜率．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：依题意可得，故椭圆的标准方程为．（2）解：，所以，点在椭圆内，若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意，设点、，由题意可得，则，两式相减，得．即，所以直线的斜率．例题2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知过点的直线与曲线相交于两点，，请问点能否为线段的中点，并说明理由.【答案】(1)(2)不能，理由见解析.【详解】（1）解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是则等式两边平方可得：化简得曲线C的方程为：（2）解：点不能为线段的中点，理由如下：由（1）知，曲线C的方程为：过点的直线斜率为，，因为过点的直线与曲线C相交于两点，所以，两式作差并化简得：①当为的中点时，则，②将②代入①可得：此时过点的直线方程为：将直线方程与曲线C方程联立得：，，无解与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾所以点不能为线段的中点【提分秘籍】中点弦问题常用方法：①点差法（回代检验）②联立，借助韦达定理.【变式演练】1．（2022·高二课时练习）已知：椭圆，求：（1）以为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设弦的端点，，可得：，，相减可得：，把，，代入可得：．∴以为中点的弦所在直线的方程为：，化为：．（2）设直线方程为：，弦的端点，，中点．联立，化为，，化为：，∴，化为：．得，∴2．（2022春·广西·高二校联考阶段练习）已知直线，圆：，双曲线：．(1)直线与圆有公共点，求的取值范围；(2)若直线与交于，两点，且点为的中点，若存在，求出方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由已知得，圆：，∴圆心，半径，∵与圆有交点，则圆心到的距离，整理可得，，解得，．（2）设存在直线，由题意可知，直线斜率不存在时不成立.设、，因为是的中点，所以，．又，在双曲线上，所以，两式相减得，整理可得，，又，∴，∴，∴方程为，经检验，该直线与双曲线交于两点.但不在上，∴不存在这样的直线．3．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．(1)若的倾斜角为且过点F，求；(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为的倾斜角为，，所以直线的方程为，联立可得，设，则，所以；（2）设，则，所以，因为线段AB的中点坐标为，所以，所以，所以的斜率为，所以的方程为，即.题型二：弦长，三角形（四边形）面积问题【典例分析】例题1．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆.设点为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.(1)求的值；(2)求面积的最大值.【答案】(1)2(2)【详解】（1）设​，由题意知​.因为​，又​，即​，所以​，即​.（2）由(1)知，的​面积为​，设​.将​代入椭圆​的方程，可得​，由​，可得​，①则有​.所以​.因为直线​与​轴交点的坐标为​，所以​的面积​​.设​，将​代入椭圆​的方程，可得​，由​，可得​，②由(1)(2)可知​，因此​，故​，当且仅当​，即​时取得最大值​.所以面积的最大值为​.例题2．（2022春·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线：，直线交抛物线于两点，，，且.(1)求坐标原点到直线的距离的取值范围；(2)设直线与轴交于点，过点作与直线垂直的直线交椭圆：于，两点，求四边形的面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为.联立，消去，整理得，所以，所以，解得，所以直线的方程为，即，所以原点到直线的距离为，又，所以，所以，即，所以坐标原点到直线的距离的取值范围为.（2）由（1）可知.由题意及（1）可知直线的方程为.设，联立，消去，整理得，则根据根与系数的关系，得，所以，所以四边形，设则四边形，因为在上单调递增，所以四边形,所以四边形的面积的最小值为.【提分秘籍】①面积公式：（其中底可以选择弦长，利用弦长公式求解，高可以利用点到直线的距离公式求解）②面积也可以通过分割求解.③涉及到面积最值时，通常可以考虑基本不等式，转化为一元二次函数，求导等方法，求最值。【变式演练】1．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知椭圆经过点，左焦点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值.【答案】(1)；(2)2.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，又因为椭圆经过点，所以，又，，，所以椭圆的方程为.（2）因为，所以四边形为平行四边形，当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆交于，两点，由.由，，，令，则（由上式知），，当且仅当，即时取等号.∴当时，平行四边形的面积最大值为2.2．（2022春·江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习）已知双曲线为坐标原点,离心率,点在双曲线上(1)求双曲线的方程;(2)如图,若斜率为的直线过双曲线的左焦点,分别交双曲线于两点,求的值,并求出外接圆的方程【答案】(1)(2),（1）由题知,解得所以双曲线的方程为:（2）直线,设联立,得所以所以外接圆圆心为直径为,即半径所以外接圆的方程为3．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知双曲线C的离心率为，且过点，过双曲线C的右焦点，做倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，为左焦点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）过点，所以，，所以，又，所以，所以双曲线的方程为.（2）结合题意可得直线AB的方程为，设，，联立方程，消去y，得.∴，，∴，直线AB的方程变形为.∴原点O到直线AB的距离为，∴.4．（2022春·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知点是抛物线C：上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补．(1)证明：直线AB的斜率为定值；(2)当△PAB为直角三角形时，求△PAB的面积．【答案】(1)证明见解析(2)，或者【详解】（1）将点是代入抛物线方程，得，所以，由题意，PA、PB斜率一定存在且不为0，设直线的方程为，与抛物线方程联立得，所以，即，用代替可得，所以，所以直线AB的斜率为定值；（2）若，如上图，因为，所以，，直线的方程为，与抛物线方程联立得，解得或，即代入直线方程得，可得，所以直线的方程为，与抛物线方程联立得，解得或，即代入直线方程得，可得，所以，，所以；若，如上图，因为，所以，，直线的方程为，与抛物线方程联立得，解得或，即代入直线方程得，可得，所以直线的方程为，与抛物线方程联立得，解得或，即代入直线方程得，可得，所以，，所以；若，如下图，则，因为，所以，或，因为与同解，不妨令，可得直线的方程为，与抛物线方程联立得，解得或，即代入直线方程得，可得，所以直线的方程为，与抛物线方程联立得，解得或，即代入直线方程得，可得，所以，，所以；综上所述，，或者.题型三：椭圆，双曲线，抛物线中的参数范围（最值）问题【典例分析】例题1．（2022·全国·高二假期作业）若椭圆和椭圆满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比．(1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程．(2)设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于、两点（其中点在线段上），求的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值为，最小值为【详解】（1）设所求的椭圆方程为，则由题意得，解得，所要求的椭圆方程为．（2）①当射线与轴重合时，．②当射线不与轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考虑、在第一象限或x轴正半轴的情形．设其方程为，设，，，，由，解得，，由，解得，，，令，则由，知，，记，则在上是增函数，，，由①②知，的最大值为，的最小值为．例题2．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）.(1)求抛物线的方程；(2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)（1）由已知条件可得，，解得，所以，抛物线的方程为.（2）由题意可知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.，设切线的方程为,同理可得.所以，是方程的两根，.

设，，由，得，由韦达定理知，所以，同理可得.设点的横坐标为，则.

设，则，所以，对称轴，则【提分秘籍】解析几何中求参数的范围常用工具：①基本不等式；②转化为一元二次函数型；③求导【变式演练】1．（2022春·江西·高二统考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3，的最小值为1.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，过点且与直线垂直的直线与轴交于点，当取得最大值时，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）设焦距为，则，，解得，，，椭圆的方程为：.（2）由已知得，过点的直线可设为：，，联立得，，整理得，，则，解得，设，，得，，设过点且与直线垂直的直线为，得，又，得，，令，，则，当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，可得，故所求直线为：或2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）设双曲线C的方程为，代入点，得，所以双曲线C的标准方程为.（2）双曲线C的左焦点为，设､，①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和，此时的周长为.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由得，因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，所以，得设的周长为z，，设，由，得，，，所以，综上，由①②可得的周长的取值范围.3．（2022秋·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上．(1)若，求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线的距离不小于，求的取值范围．【答案】(1)或；(2).【详解】（1）由题意及抛物线的定义得：，又因为点在抛物线上，所以，由可得或，所以抛物线的标准方程为或．（2）设，，联立消去可得：，则，，因为，所以，所以，可得，由原点到直线的距离不小于，可得，解得或，因为，所以不成立，所以，因为在上单调递增，所以，所以，即的取值范围为．题型四：椭圆，双曲线，抛物线中定点问题【典例分析】例题1．（2022·天津南开·统考三模）已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点，（不与点重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．(1)求椭圆的方程；(2)证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．【答案】(1)(2)证明见解析；定点（1）解：设椭圆，由离心率为，得，又因为，所以．由在椭圆上可得，解得，．所以椭圆的方程为．（2）当直线与x轴垂直时，设，则．由题意得：，即．所以直线的方程为．当直线不与x轴垂直时，可设直线为，，，将代入得，所以，．由已知可得①，将和代入①，并整理得②，将，代入②，并整理得，可得，因为直线不经过点，所以，故．所以直线的方程为，经过定点．综上所述，直线经过定点．例题2．（2022春·山东菏泽·高二校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于、两点.(1)若，求的值；(2)当时，直线是否过定点？若是过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由.【答案】(1)(2)过定点，定点为【详解】（1）解：由点坐标为，知直线的斜率为，且，由，得，且.联立直线的方程与抛物线方程，消，整理得.则，即，①设点、，由韦达定理可得，，所以，，结合①，解得.（2）解：设、，联立与，消去，整理得，由题意可得，，可得，由韦达定理可得，，若或中有一条直线垂直于轴，不妨设轴，则直线轴，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意；所以，直线、的斜率都存在且均不为零，，同理可得，由，知，即，所以，，即，即，可得，所以，直线的方程为，因此，直线过定点.【提分秘籍】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.【变式演练】1．（2022·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：由题意可得，，即，又，解得，，，则椭圆的方程为；（2）证明：由（1）可得，①当直线的斜率存在时，设，，，由，所以，又，代入整理得，由消去整理得，所以，，所以，整理得，当时，直线过，不符合题意，所以，即，故直线的方程为，符合题意，故恒过点；②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得，即直线的方程为，必过定点，综上可得，直线恒过定点；2．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知过点，的双曲线的右顶点为.(1)求双曲线的标准方程；(2)设过点的直线交双曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.【答案】(1)；(2)证明见详解.【详解】（1）由已知可得，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）证明：由（1）可得，，设，，，直线的方程为.由可得，即点是线段的中点.假设直线的斜率不存在，此时直线的方程为，此时直线与双曲线相切，只有一个交点，不满足，所以直线斜率一定存在.设斜率为，则直线的方程为，即.因为点是线段的中点，且，设，则有，所以，所以.于是的方程为.下面证明：直线过定点.即证，即证，即证.又，代入左边可得，（*）联立直线的方程与双曲线的方程，可得，由已知应满足，解得且，且，代入（*）式可得，恒成立，所以，直线过定点.3．（2022春·江西抚州·高二校联考阶段练习）已知为坐标原点，点在双曲线上，直线交于，两点.(1)若直线过的右焦点，且斜率为，求的面积；(2)若直线，与轴分别相交于，两点，且，证明：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）将点代入的方程，得，解得，所以的方程为.直线的方程为，联立方程整理得，，解得，不妨设，，则，点到直线的距离为，所以的面积为；（2）依题意作上图，设，则，，，直线AP的方程为：，直线AQ的方程为：；联立方程：，解得：，显然，即；，，联立方程：，解得：，显然，即，，即当时，直线PQ的方程为：，将上面求得的解析式代入得：，整理得：，所以直线PQ过定点.4．（2022秋·云南昆明·高二校联考期中）已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析(1)由对称性可知等边三角形的顶点在上，代入得：，解得：，所以抛物线方程为：；(2)由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，则直线方程为，由联立得：，设，则，故，同理得故直线MN方程为整理得：，故直线MN过定点题型五：椭圆，双曲线，抛物线中定值问题【典例分析】例题1．（2022春·北京西城·高三北京师大附中校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，连接椭圆的四个顶点所成的四边形的周长为.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求的值.【答案】(1)标准方程：，离心率：.(2)【详解】（1）根据题意，所以，椭圆顶点围成的四边形周长为：，所以，又因为，所以，，故椭圆方程为：，椭圆离心率为.（2）①当直线PQ斜率不存在时，|PQ|，|MN|，此时.②当直线PQ斜率为0时，|PQ|，|MN|，此时.③当直线PQ斜率存在且不为0时，设直线PQ:，直线MN：联立所以所以，所以，PQ同理可得，.此时.综上所述，的值为.例题2．（2022春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）双曲线的左、右顶点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该双曲线交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为．(1)求曲线的方程；(2)动点，在曲线上，已知点，直线，分别与轴相交的两点关于原点对称，点在直线上，，证明：存在定点，使得为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）当轴时，把代入双曲线方程中，得，设，，，

所以，得，

所以的方程：；（2）证明：设直线的方程为，，，，整理得，则，，，

直线，分别与轴相交的两点为，，∴直线方程为，令，则，同理，可得∴

∴∴∴∴∴，当时，，此时直线方程为恒过定点，显然不可能，∴，直线方程为，恒过定点

∵，设中点为，∴∴为定值，∴存在使为定值．例题3．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线过点，与抛物线交于，两点，的最小值为4．(1)求抛物线的方程：(2)若点的坐标为，设直线和的斜率分别为、，问是否为定值，若是，求出该定值，否则，请说明理由．【答案】(1)(2)是，定值为【详解】（1）设直线l的方程为，l与抛物线交于，，联立直线l与抛物线方程，可得，即，，．由抛物线的定义可知，当时，取最小值为2p，则2p＝4．即抛物线方程为．（2）由题意可知：，，由，，，，即为定值．【提分秘籍】求定值问题常见的解题方法有两种：①先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；②引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。【变式演练】1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的长轴比短轴长2，焦距为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知，过点P的直线l与C交于A，B两点，延长到D，延长到E，且满足轴．证明：D，E两点到直线的距离之积为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）由长轴比短轴长2，则，即①，由焦距为，则，即

②，①②联立，得，则，所以C的方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率不为0．当l的斜率不存在时，直线l的方程为，由对称性可知，四边形为矩形，则D，E两点到直线的距离之积为．当l的斜率存在时，设l的方程为，结合题意可设．由，可得，整理得，．由A，Q，D三点共线，可知，即

①，由B，Q，E三点共线，可知，即

②，①×②得：，又，则．，则．故D，E两点到直线的距离之积为定值．2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，点到的距离比到的距离大2，点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与交于两点，与点关于原点对称，求直线与斜率的比值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知可得，所以曲线是以点，为焦点的双曲线的左支，设的方程为（，，），根据题意得，得，所以方程为.（2）由题意可得，设直线，的斜率分别为，，①当的斜率不存在时，易知的坐标分别为，或，，当，时，，，所以.当，时，，，所以.所以当l的斜率不存在时，；②当的斜率存在时，设，，的方程为，将直线代入的方程得，所以，，所以，所以，因为，所以，即，综上，直线与斜率的比值为.3．（2022春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）若抛物线：上的一点到它的焦点的距离为.(1)求C的标准方程；(2)若过点的直线与抛物线C相交于A，B两点.求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）抛物线的准线的方程为，根据抛物线的定义知点到它的焦点的距离即为点到准线的距离，所以，解得，所以C的标准方程为.（2）显然直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，联立，消去，得，所以，，，又，同理.所以所以为定值.题型六：椭圆，双曲线，抛物线中定直线问题【典例分析】例题1．（2022·全国·模拟预测）已知为椭圆的左焦点，直线与交于，两点，且的周长为，面积为2.(1)求的标准方程；(2)若关于原点的对称点为，不经过点且斜率为的直线与交于点，，直线与交于点，证明：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析（1）解：将代入中，解得，则，所以的面积为，所以.①设C的右焦点为，连接，由椭圆的对称性可知，所以的周长为，所以，②由①②解得，，所以C的标准方程为.（2）解：设，，直线l的方程为，，联立直线l与椭圆C的方程，并消去y得，则，得且，且，，，所以直线PD的方程为，即，直线QE的方程为，即，联立直线PD与直线QE的方程，得，得，，所以.所以，即点M在定直线上.例题2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为，过且斜率的直线与交于，两点，.（1）求；（2）若在上，过点作的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.【详解】解：（1）由题意得，的方程为，，设，，由，得，，故，所以，解得(舍)，.（2）因为在上，所以，设直线的方程为，，.联立，得，由得，，.因为，所以.所以，又因为，，所以，所以或，所以或.因为恒成立，所以，所以直线的方程，所以直线过定点.【提分秘籍】求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②“设而不求”．【变式演练】1．（2022·江西萍乡·统考一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，若在射线上，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：点在定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】（1）已知椭圆的离心率为，且过点，所以，又，则，所以，故椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为，，，联立得，由题意知恒成立，由韦达定理得，所以，由于为线段的中点，因此，，此时．所以所在直线方程为，将其代入椭圆的方程，并由，解得，又，由得，因此，点在定直线上．2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点是线段的中点，求点的坐标；(3)设、是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点必在直线上．【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)证明见解析【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的标准方程为；（2）设，，因为是线段的中点，所以，则得，解得，，所以所求点的坐标为或；（3）证明：由题意可设直线的方程为，联立方程组，消去，并整理得，设，，，，由一元二次方程根与系数的关系，得，又设，，，则得直线的方程为，直线的方程为，两个方程相减得①，因为，把它代入①得，所以，因此直线与的交点在直线上．3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.（1）求和的值；（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.【答案】（1），；（2）证明见解析.【详解】（1）圆的标准方程为，可知圆的圆心为，半径为，由直线与圆相切，可得，解得或（舍去），联立方程，消去后整理为，因为直线与抛物线相切，所以，得，故，.（2）证明：直线的方程为，联立方程，解得或，则点的坐标为，点的坐标为，设直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为联立方程，消去整理为，有，，，由得或，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为，化为，直线的方程为，化为，联立直线、的方程消去后得，得，因为直线与不重合，所以，所以，故点在定直线上.1．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知定点，圆，为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)过的直线与轨迹交于两点，若点满足，求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点，所以由线段垂直平分线的性质可得：，所以，故点的轨迹是以、为焦点的椭圆．其中，，所以，故点的轨迹的方程为．（2）由题意，设直线的方程为，，，联立，整理可得：，所以，所以点到直线的距离，所以当且仅当，即时等号成立，因为所以所以四边形面积的最大值为．2．（2022春·山东滨州·高二校考期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线C上，且.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线与抛物线交于两点，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由抛物线的定义可得，因为，所以，解得，故抛物线的标准方程为.（2）设，由（1）知.由，得，,则，，所以,所以,因为点到直线的距离,所以的面积为.3．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为.(1)求；(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）为抛物线的焦点，，解得：.（2）由（1）知：抛物线；直线，由得：，设，，则，，.4．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．(1)求的方程；(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）依题意设的方程为，因为经过点，，所以，解得，故的方程为．（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．将代入，得．由题设可知，，，所以，所以，所以．因为，所以，所以，故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．5．（2022春·陕西西安·高二统考期中）已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）根据题意，，则，故抛物线方程为：.（2）显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为，联立抛物线方程可得：，时，设两点的坐标分别为，则，，由题可知，，即，解得，此时满足，故直线恒过轴上的定点.6．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆：，A为椭圆与y轴交点，，为椭圆左、右焦点，为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆C交于，N两点，点，记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，当时，求证直线恒过一定点？【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，解得所以求椭圆的方程为.（2）由题意易知直线的斜率不为0，故可设，，，联立得，由得，所以，，，即，所以直线的方程为，即，所以证直线恒过一定点.7．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）设椭圆中心在原点上，焦点在轴上，离心率为，椭圆上一点到两焦点的距离的和等于：(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于，两点，且，求的值；(3)在（2）的结论下，求的长.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上，所以设椭圆的方程为：，，又椭圆上一点到两焦点的距离和为，所以，，所以，，所以椭圆的方程为：.（2）由（1）知，椭圆的方程为：，即：，设，，有：，得：，又，所以，的斜率之积为，即：，即：，又：，所以：，整理得：，又：，，即有：，整理得：，所以.（3），当时：直线方程为：，联立方程组得：，解得：，所以：，所以：，由对称性可知：当时，也有，所以：.8．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知点在抛物线上，且到的焦点的距离与到轴的距离之差为.(1)求的方程；(2)当时，是上不同于点的两个动点，且直线的斜率之积为为垂足.证明：存在定点，使得为定值.【答案】(1)或(2)证明见解析【详解】（1）解：抛物线的焦点为，准线为，又点在抛物线上，即，所以，即，依题意可得，解得或，或.（2）解：，，.设：，，，联立，消去整理得，①，且，，，，即，适合①，将m代入得，令，解得，直线恒过定点.又，点在以为直径的圆上，因为、的中点为，，所以以为直径的圆方程为，所以存在使得.9．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点是,且以为直径的圆的面积为,点P是椭圆C上任一点,且的面积的最大值为．(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解:由题知以为直径的圆的半径为c,所以,故,由的面积最大值为,所以,故,所以,所以椭圆C的方程为;（2）当直线l的斜率不存在时,由题意知直线l的方程为,所以,所以;当直线l的斜率存在时,令直线l的方程为,由原点O到直线l的距离为1,所以,即,联立方程,消去y得:,则有,即,令,所以,由,令,则,令,所以,所以,综上所述,．10．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线：上一点到焦点的距离为，(1)求抛物线的方程；(2)若在第一象限，不过的直线与抛物线相交于，两点，且直线，的