5.3导数在研究函数中的应用（3课时）教学设计高二上学期数学人教A版选择性

导数在研究函数中的应用课程内容（课名）导数在研究函数中的应用教师姓名选用教材人教A版2019必修二教学课时3课时一、教学设计理念导数是联系高等数学和初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的形式，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，发展学生的思维能力。因而在中学数学解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、极值、最值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用问题。在教学过程中，我根据学生认知的先后顺序，通过“提问观察讨论再提问再观察再讨论获得经验总结”，一环扣一环的教学，让学生分组讨论，充分参与，自己建立起函数单调性与导数的关系，并体会导数在求极值时的应用，最后借助极值和端点值求出最大（小）值，从而达到本节课的教学目标。二、学习者分析需求分析导数在研究函数中的应用是2019人教A版数学选择性必修二第五章的内容，本节课主要内容是利用导数研究函数的单调性、极值和最值。学生已经学习了导数的概念，导数的几何意义，导数计算，函数的单调性等知识，对函数单调性有一定认识，对相应导数的内容业具备一定的储备。函数的极值与最值是函数的一个中心性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用。本节课主要学习函数极值的概念和极值的求法，以及求极值与导数的关系，区分极值与最值这两个不同的概念，研究函数单调性和函数极值的关系，借助判断函数单调性以确定极值点，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。学情分析本节课是在学习了导数的概念及其意义，导数的运算基础上进行的导数在函数图象应用方面的研究，学生已经初步了解导数与瞬时速度的关系，导数与切线斜率的关系，并会灵活运用导数的运算法则求复杂函数的导数。经过必修一的学习，学生通过图像直观研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最值性质，通过前两节的学习，学生初步感知到导数可以定量地描述函数的局部变化情况，利用导数可以精确地研究函数的性质，为本节课的具体学习打下基础。三、学习任务分析新课程标准的内容要求数学抽象：借助导函数值的正负判断原函数的增减性，求函数极值的方法，求函数最大（小）值的方法逻辑推理：导数值为零的点与函数极值点的关系，函数极值与函数最值的关系数学运算：运用导数求函数极值和最值数学建模：函数的极值，函数的最值直观想象：函数单调性与极值的关系，极值与最值的关系数据分析：通过研究函数单调性与导数的关系、函数极值的概念、函数极值与导数的关系、极值与最值的区别与联系，总结求函数极值与最值的方法，练习巩固，让学生认识到数学知识的逻辑学与严密性本节课包含的教学内容用导数研究函数的性质函数的单调性函数的极值函数的最大值与最小值四、教学重难点第一课时重点：建立函数的单调性和导数正负之间的关系难点：函数增减的快慢与导数的关系第二课时重点：掌握求函数极值的方法难点：第三课时重点：掌握求函数最值的方法难点：函数最值与函数极值的区别与联系五、教学策略选择与设计从实例入手，猜想函数的单调性与导数的正负之间的关系，并通过严谨的说理得出结论，从直观入手，从探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力；提高学生利用数形结合、分类讨论等思想分析解决问题的能力；渗透数学中普遍存在的相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。通过教材中的具体案例，结合函数图像，直观感受函数极值的概念，并通过具体函数在极值点两侧导数值的变化情况，通过探究归纳出用导数求函数极值的一般方法，对于学生已经学过的函数最大（小）值问题，则侧重于借助实例让学生体会如何利用导数来求函数的最大（小）值。在教学时，教师首先引导学生观察图像，直观感受函数在某些特殊点（极值点）的函数值与附近点的函数值大小之间的关系，以及函数在这些点处的导数值与这些点附近函数的增减情况，然后结合教材第九十页探究部分，给出函数的极大值与极小值的概念，分析求函数极值的方法。课程类型新授课章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□教学方法本单元拟采用的教学方法包括讲授法、讨论法、探究法教学媒体课件、几何画板、网络画板六1、教学过程设计（函数的单调性）教学环节1创设情景，引入新知教师活动1学生活动1游乐场里惊险刺激的过山车背后又蕴含了那些数学知识呢？我们能否把过山车轨道看作函数曲线呢？过山车的高低起伏是否对应函数的单调性，下面我们复习一下单调函数。函数单调性判断。单调函数图像特征引导学生回顾函数单调性的定义，学生形成增函数和减函数图像的初步印象，为后续新知引入做铺垫。注意：函数的单调性也叫函数在增减性。函数的单调性是对某个区间而言，它是局部概念。这个区间是定义域的子集。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。教学环节2实际问题入手，探究新知教师活动2学生活动2问题1：图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像。运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？（教师邀请学生分享答案，通过学生的回答归纳问题的答案）通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．学生根据必修所学内容回答教师提出的问题，讨论发现，尝试用速度时间图像描述运动员的运动状态。说明：函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的。通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解。我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用。教学环节3师生共研，探究新知学生活动3教师活动3问题2：函数的单调性与导数的关系观察函数的图像，探讨函数单调性与导数正负的关系。总结：该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正。而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0，函数在该点单调性发生改变。教师引导学生分析函数图像在不同区间内的增减性，分析函数单调递增时函数的变化趋势，导函数取值的特点，同理，再分析函数函数单调递减时函数的变化趋势，导函数取值的特点。让学生会用自己的语言表述函数单调性与导数正负的关系。结论：函数的单调性与导数的关系——在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。特别地，如果，那么函数在这个区间内是常函数。教学环节4练习巩固，归纳方法教师活动4学生活动4例1：已知导函数的图象如图所示，则函数的递增区间是，递减区间是o4o41例2：利用导数判断下列函数的单调性。；；思考：（1）例2解决了什么问题？（2）解决问题的方法是什么？（3）解决问题的步骤是什么？总结：求解函数单调区间的步骤教师引导学生观察导函数图像，学会由导数正负性推测原函数的单调区间，会进行知识逆用。学生1：上台展示自己所画函数图像并介绍画图依据，指出导函数的正负取值区间不同，则原函数单调区间不同，但是由导函数图像中无法判断原函数零点，所以大家的图像不具有唯一性，但单调区间是一样的。学生自行练习例二，在这个过程中教师注意引导学生总结做题步骤。例2图像：讨论：思考与拓展：以上两个函数图像的陡峭程度一样吗？图像的陡峭程度与导数有什么关系？练习：讨论函数在R上的单调性.（教师要求学生自行练习后订正答案，教师在黑板上写清做题过程，注意答题的规范性）解：以小组为单位讨论图像增长快慢与导数的关系，教师邀请学生回答，根据学生作答情况进行点拨答疑，解释函数在某一范围内导数绝对值较大，函数在这个范围内变化的较快，函数的图像就“陡峭”一些，反之，函数的图像就平缓一些。活动意图说明：通过大量的练习，让学生掌握知识并灵活应用知识，学生自行动手练习，将理论知识应用于实际问题中，通过课堂纠错，让学生对知识有清晰的认知，学生在一次次练习中加深知识的掌握程度，业提高了解决问题的自信心，学生形成自我效能感，这对培养学生对学习数学的兴趣大有帮助。教学环节5课堂小结教师活动5学生活动5总结：通过本节课的学习，你有什么收获？（教师要鼓励学生积极发言，营造宽松的课堂气氛，形成师生互动，共同学习的教学效果，充分尊重学生的主体性）知识：函数的单调性与其导数的关系利用导数判断函数的单调性利用导数求函数的单调区间由导数的信息画函数的大致图像方法：方程思想，分类讨论。易错点：忽略定义域的限制在教师的带领下，学生集体回顾本节课所学内容，分享本节课学到的知识，如导数的正负与函数单调性的关系，利用导数在不同区间上的取值来描绘函数图像，根据导函数求任意函数的单调区间。七1、板书设计函数的单调性与导数一、函数单调性与导数的关系二、利用导数求单调性的步骤三、例题讲解例1列2图像陡峭程度研究四、练习六2、教学过程设计（函数的极值与最值）教学环节1谈话引入教师活动1学生活动1前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．这就是我们今天要研究的函数的极值。（教师展示图片，并借用古诗，引出函数极值的概念）欣赏山峰图片，从图片中抽象出具体的数学问题，为极值的学习提供思想准备。教学环节2极值探究教师活动2学生活动2探究1：山峰的轮廓可以用函数图像表示，接下来我们研究这一段函数图像的特点问题1函数在处的导数是多少？问题2在点附近，函数的图像有什么特点？导数符号有什么变化规律？问题3函数在点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？（教师根据学生的回答情况进行点评，引导学生形成极值的概念）学生针对三个问题进行小组讨论，并汇总答案，教师邀请小组上台作答，根据作答情况进行统一讲解。针对问题1，学生回答函数在处的导数是0，教师追问：问什么导数值为零，学生解释处的切线与x轴平行。针对问题2，学生大致能描述a点附近图像的特点，并但存在表述不规范问题。针对问题3，学生的回答比较多样，但主要围绕导数正负与函数单调性的关系回答。说明：探究2：观察图二，回答以下问题找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？极大值一定大于极小值吗？函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？区间的端点能成为极值点吗？（教师要求学生讨论，通过提问的形式进行极值内容的拓展，根据学生回答适当追问，引起学生思考，针对易错点进行统一说明）关于函数极值概念的说明极值是一个局部概念，反映了函数在某一点附近的大小情况；极值点是自变量的值，极值是函数的值；函数的极大（小）值可能不止一个，而且函数的极大值未必大于极小值；函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。学生围绕问题进行同桌之间的讨论，教师邀请学生分享答案，针对大家的疑问点进行解释。学生1：学生2：极大值不一定大于极小值。教师追问：那最大值一定大于最小值吗？学生2：最大值一定大于最小值，最值是在整体上判断的，但极值是局部性质。学生3：根据图二，发现极大值和极小值都不具有唯一性。学生4：区间的端点不能成为极值点。教师追问：你能说一说为什么端点不能成为极值点吗？学生4：因为极值点两侧导数符号相反，端点的一侧没有定义，导数不存在。教学环节3典例剖析教师活动3学生活动3例1：不含参数的函数求极值x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值。反思与感悟函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程的根；(3)用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况。例2：含参数的函数求极值已知函数，当实数时，求函数f(x)的单调区间与极值.解：令，解得或，由知.分以下两种情况讨论：①若，则当变化时，的变化情况如下表：(－∞，－2)－2(－2，－2)－2(－2，＋∞)＋0－0＋↗极大值↘极小值↗所以在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上是增函数，在(－2，－2)上是减函数，函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且②若a<eq\f(2,3)，则－2a>a－2.当变化时，的变化情况如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上是增函数，在(－2，－2)上是减函数，函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且反思与感悟一般地，遇到题目中含有参数的问题时，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类讨论时做到分类标准明确，不重不漏。教师引导学生求导数为零的点，并判断该点两端导数正负情况，完成表格。在分析题目时，适当提问：导数为零的点一定是极值点吗？从而引出极值点的充分条件与必要条件。设计意图说明：通过例题强化解题方法，形成解题步骤，总结课堂知识。求极值的步骤：函数求导—令导数为零求极值点—讨论单调性—列表—写出极值。教学环节4最值研究教师活动4学生活动4问题2：如图是函数的图像，你能找出它的极小值、极大值吗？它的最大值和最小值又该怎么找呢？思考：最值具有唯一性吗？最值一定存在吗？教师追问：什么时候最值存在？并在白板上展示如下函数图像归纳出闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。问题3：我们可以通过观察函数图像求最值，那能否借助极值求最值呢？（教师追问：最值一般在哪里取得呢？）学生根据极值的概念很快找到极大值，极小值并根据必修所学内容看出最大值是，最小值是学生回答，最值一定是唯一的，但是最值不一定存在。学生回答极值处可能是最值，端点处也能取得最值。说明：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果是函数的极大(小)值点，那么在附近找不到比更大(小)的值。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小。如果是某个区间上函数的最大(小)值点，那么不小(大)于函数在此区间上的所有函数值。教学环节5巩固应用教师活动5学生活动5证明：当时，10+单调递减单调递增当时，取得最小值，所以，即学生在纸上尝试解题，对照老师的讲解纠错。教学环节6总结回顾教师活动6七2、板书设计函数的极值与最值创设情景引导探究归纳应用列表总结例题精析错因纠正课堂总结八、作业与拓展学习设计本节练习3题（根据导函数图像画出原函数图像）课本例7，（单调性，极值，最值的综合应用）九、教学评价本节课整个教学设计力争落实新课改的教学理念，以学生的发展为本，关注知识的形成、发展过程，重视学生对导数应用的理解与领悟，促进学生学习活动中的深层次的数学思维参与