多元函数极限及其应用

PAGEPAGEII东海科学技术学院本科毕业论文（隶书四号,居中,上空一行）多元函数极限及其应用摘要微积分是研究函数微分、积分以及有关概念和应用的一个重要的数学分支。研究微积分理论不仅具有重要的理论意义，而且也具有重要的应用价值，而极限在微积分中占有举足轻重的地位。但是极限技巧性强，灵活多变，初学者不易掌握，为此极限被称为高等数学学习的第一个难关。本文对极限的求法做了总结归纳，希望给初学者有一定的帮助。本文首先将极限分为一元函数极限和二元函数极限分别进行阐述。对于一元函数极限概括了利用极限的定义、四则运算、无穷小量分除法等求极限的十几种方法;对于二元函数极限也系统地概括了变量代换、利用两边夹定理求极限等几种方法，并都给出了相应的例子。最后还陈述了求函数极限的几个误区。关键词:二元函数;极限;解题误区;求解方法;一元函数

AbstractCalculusandintegralwhichdealswiththedifferentialandintegralcalculusandtherelevantconceptanditsapplication,isoneoftheimportantmathematicbranches.Tostudythetheoryofcalculusoffunctionsnotonlyhasimportanttheoreticalsignificance,butalsohasimportantapplicationvalue.Limitationplaysadecisiveroleincalculusofdifferentialandintegral,buttheskillsofsolvinglimitationsarestrongandflexible,soitishardforbeginnerstomastersolimitationiscalledthefirstdifficultyinhighermathematics.Inthisdissertation,wesummarizethesolvingmethedsoflimitation,hopingitwillhelptothebeginners.Thisdissertationwillbedividedlimitintounitaryfunctionlimitandbinaryfunctionlimittoelaboraterespectively.Forunitaryfunctionlimit,weoutlineseveralwayssuchasusingthedefinitionoflimit,arithmetic,infinitesmallsub-divisionandsoon.Forbinaryfunctionlimit,wealsosystematicallysummarizeseveralmethods,forexample,variablesubstitution,forcingconvergencetheorermandsoon,andseparatelypresentthecorrespondingexamples.Atlast,weillustrateafewerrorsofcalculatingfunctionlimit.Keywords:Binaryfunction;Limit;Problem-solving;Solvingmethoderrors;Unitaryfunction

目录TOC\o"1-2"\h\z\u1前言 12一元函数极限 32.1一元函数极限的定义 32.2函数极限的一般性质 32.3一元函数极限的求解方法 43多元函数极限 153.1多元函数极限的定义 153.2多元函数极限的求解方法 154函数极限的求解误区 185小结 23参考文献 24致谢 251前言微积分是研究函数微分、积分以及有关概念和应用的一个重要的数学分支，不仅与实际应用有着紧密的联系，而且在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等许多方面有着重要的应用。因此，研究微积分理论不仅具有重要的理论意义，而且也具有重要的应用价值。而极限在微积分中占有举足轻重的地位，可以这么说，很多概念比如连续、导数、各类积分、甚至无穷级数收敛与否的判断都以极限为基础。公元3世纪，中国数学家刘徽首先将极限思想应用于实践，利用计算圆的面积时建立的“割圆术”成功地创立了科学的求圆周率的方法。之后，牛顿和莱布尼兹在以无穷小概念为基础建立微积分时都接受了极限的思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。后来牛顿意识到极限概念的重要性，并试图以极限概念作为微积分的基础，但是无法澄清“似零非零”的模糊认识。在18-19世纪中，数学家们提出了许多方案来定义极限，最终法国数学家达朗贝尔明确了极限作为微积分的基本概念，并且提出了极限较明确的定义。虽然达朗贝尔所定义的极限已初步摆脱了几何、力学的直观原型，但是没有把极限的概念公式化，这就使得极限的概念是描述性的、通俗的。此后，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，并指出:“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其它值的极限值，特别地，当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限零，就说这个变量成为无穷小”。柯西把无穷小视为以零为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了含有数学语言的极限的定义。极限是微分的理论基础，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分等，因此对于极限的求解就显得十分重要了。到目前为止，人们对极限的求解方法只是进行了初步的总结。余长安在文献[1]中概括总结了函数极限常见的几种求解方法，并且给出了相对应的经典例题;裴礼文在文献[2]中总结了求极限(数列极限和函数极限)的方法与技巧;黎东在文献[3]中不仅对一些人们常用的求函数的方法进行了总结，还给出了一些特殊的解法，同时结合例题进行了说明解释;张敏捷在文献[4]中列举了若干种求函数极限的特殊解法。虽然求解函数极限的方法有多种，但是极限技巧性强，灵活多变，初学者不易掌握，为此极限被称为高等数学学习的第一个难关。本文对极限的求法做了总结归纳，介绍了利用极限的定义、极限的四则运算法则、化为已知重要极限、洛必达法则、等价无穷小代换、夹逼准则、函数的连续性、左右极限、无穷小量与无穷大量的关系等求函数极限的十几种方法。

2一元函数极限2。1一元函数极限的定义定义2。1设函数在某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数为当趋于时以为极限，记作或。若时，记作，称为右极限;若时，记作，称为左极限。左右极限统称为单侧极限。定义2。2设函数在时有定义，为常数。若对于任意给定的正数(无论它怎么小)，总存在正数，使得当时，都有，则称函数为当时以为极限。记做或。若我们把定义2.2中的改成()，则称为函数当取正值且无限增大(记作)时的极限，记作把定义2.2中的改成，则称为函数当取负值且绝对值无限增大(记作)时的极限，记作2.2函数极限的一般性质函数极限的性质在求函数极限中有很大的作用，下面给出当时的性质。定理2.1(唯一性)若极限存在，则此极限是唯一的。定理2.2(四则运算法则)若，，则1);2);3)();4)(为常数);5)。定理2.3(迫敛性)设在时有定义，且满足:1)对任意的满足时，有;2)，则。定理2.4设，，当时，(1)若存在(或为无穷大量)，则=(或为无穷大量)。(2)若存在(或为无穷大量)，则=(或为无穷大量)。定理2.5函数都是时的无穷小，且满足，，则当存在时，也存在且等于，即=。定理2.6(柯西准则)设在时有定义。存在的充要条件是:任给，存在正数，使得对任何，，有2.3一元函数极限的求解方法在文献[7-11]中提出了许多种关于一元函数极限的求解方法，本文在上述内容的基础上总结归纳了下面几种常见的极限求法。1利用定义求函数极限定义在数学分析中相当重要，极限定义也如此。如果将极限定义理解透彻，很多题目就可以迎刃而解。下面就举例介绍一下用定义求函数极限的方法。例2.1用极限的定义求解任给，取，则当时，有，所以这是利用定义求极限的简单例子。但在平时的练习中，不可能遇到的题目都这么简单，往往需要一些处理方法，放缩法和含绝对值不等式是最常见的。具体的就留给读者细细体会。这种方法适合于初学者，但是在平时的求极限过程中往往避免用定义来求。2利用极限的四则运算性质求函数极限若，.根据定理2.2我们就可以计算出以下各种极限。(1)。(2).(3)(其中)。(4)(其中c为常数).上述性质对于时也同样成立。极限的四则运算是求函数极限的基础，也是求一些简单函数的和差积商的极限常见的方法。要想学好函数极限的求法必须要先熟练掌握极限的四则运算。例2.2求.解注意运用极限的四则运算的时候，必须注意适用条件。首先要保证各项极限都存在，如果遇到分式的话，分母极限不能为零。例如，因为极限不存在。3利用重要极限求函数极限所谓重要极限中最重要的有下面两个:(1)(2).这两个极限是最常见最重要的极限，表达式(1)为自变量的正弦值与自变量的比的极限值。且极限过程趋势为两者缺一不可。对于表达式(2)是以以自变量的倒数为幂的，且底数还要加上1的等等都是我们应该注意的。对于两个重要极限我们在学习运用过程中要学会融会贯通，最好还能自己总结概括。对于，，我们就可以进行系统地推广为(A);(B);(C)若则(D)若则除此之外，还有以下这几个重要极限(3)(4)(5)这三个重要极限也是常用的。总之，我们要学会在学习的过程中，提高自己的数学素质，从而总结出更普遍、更系统的结论。例2.3求的函数极限。解 对这几个重要极限的熟悉掌握就要我们努力学习和探索了，例题就不在一一列举了。4利用洛比达法则求函数极限求“”或“”型未定式极限更常用的方法是用洛比达法则。定理2.7设(或)，(或);在的空心邻域内可导，且，若，则.其中可以是有限数，也可以是。注意将换成或或也有相应的洛比达法则，同时这些法则也成立。洛比达法则可用语言简单而又直接的描述成如下形式:假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大;(2)和都可导，且的导数不为0;(3)存在(或是无穷大)，则极限也一定存在，且等于，即=。说明用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足;应用洛比达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、后面的等价无穷小代换等方法。一般情况下，对于“”、“”、“”、“”、“”、“”型都可以直接或间接地使用洛比达法则进行计算。对于“”型、“”型的可以直接使用洛比达法则进行计算，而对于“”型，我们只要进行简单的转化就可以转化成“”型、“”型再进行计算。对于“”、“”、“”型，我们可以用对数的性质把它化成“”型，就全当求“”型。例2.4求下列函数极限。(1)。(2).(3)。(4).解(1)原式==。此题连续用洛比达法则，最后用重要极限得出答案。(2)原式.(3)因为因此，原式=。(4)因为因此，原式=。5利用等价无穷小代换求函数极限当时，下列函数都是无穷小(即极限为0)，且相互等价，即有;。说明当上面每个函数中的自变量x换成时()，仍有上面的等价关系成立，例如:当时，;利用“无穷小乘以有界量仍是无穷小量”求极限是常用方法。无穷小代换有以下性质:如果函数都是时的无穷小，且，，则当存在时，也存在并且等于，也可以表示为=。例2.5求下列函数极限。(1)。(2).解(1)当时，，，则原式=。(2)这是“”型，我们就利用无穷小代换及罗比达法则来求其极限。当时，有，所以，原式。6利用夹逼准则求函数极限若函数满足上述定理2.3的条件，且函数本身的极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变量做适当得放大和缩小，使放大、缩小后的极限较易求得，并且两者的极限相同。即求得原极限的值。例2.6求()。解当时，存在唯一的正整数，使，于是当时，有，.又因为当时，，有，，所以=0。7利用函数的连续性求函数极限一些函数在其定义区间内连续，因此求这类函数在其定义区间内的点处的极限，可以根据以下性质来求极限(对于等情况都适用)。(i)若在处连续，则;(ii)若是复合函数，有且在处连续，则。例2.7求.解由于在定义域内都连续，所以8分别利用左右极限求得函数极限在文献介绍了用左右极限求函数极限的方法。求分段函数在连接点处的极限，要分别求左、右极限求得函数极限。即对于分段函数考察是否存在就要分别求与。若与相等，则可得;若与不相等，则不存在.例2.8设=求及.解因为，由，所以。又因为，，由于，所以不存在.9利用利用无穷小量与无穷大量的关系求函数极限无穷小量与无穷大量的关系如下:(1)若，则;(2)若且，则.例2.9求.解由于，则.10利用泰勒公式求函数极限对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便.例2.10求.解利用文献[6]中的泰勒公式，当，有，于是===.11利用拉格朗日中值定理求函数极限根据文献中的拉格朗日中值定理，我们可以求一些函数极限.例2.11求.解令，对它应用拉格朗日中值定理得，即。因为连续，所以，从而有.12利用无穷小分除法求函数极限此种方法与约分法极为相似，只不过约分因子为零因子.例2.12求.解.13利用无穷大分除法求函数极限此种方法对于型多项式比较适应，以分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限.例2.13求.解注意此法可总结为:当时，以后遇到这种形式直接代入即可.14利用导数定义求某些函数的极限例2.14求证:若存在，则证明注意到我们有例2.15求解原式15利用通分法求某些函数的极限这是一种求简单函数极限的方法，适用于型.例2.16求.解原式===.16利用级数收敛的必要条件求函数极限级数收敛的必要条件是:若级数收敛，则。因此，对某些极限，可将函数作为级数的一般项。只须证明此级数收敛，便有例2.17求解令，则，因为，所以。即收敛，所以17利用只保留最大量的原则求函数极限对于“”型，求其极限时，遵循一个原则，那就是分子分母只保留最大量的项。当遇到时，按量级的降序是:;当遇到有限量时，按量级的降序则是:.例2.18求(1)(2).解(1)原式(2)原式上面两例属于极限问题中的特例，常常不好解释，实际上它满足保留最大量原则.18利用极限性质，将极限(非零)确定的因子首先算出例2.19求解原式

3多元函数极限3.1多元函数极限的定义定义3.1设函数在以为聚点的集合上有定义，若对任何的存在，使得只要及[其中为和二点间的距离]，则，我们就说特别地，当时，可以得到在对于不致产生误解时，也可简单地写作当分别用坐标表示时，也常写作注意二元函数极限有时也称二重极限。它与一元函数极限存在着一定的差别，在二元函数极限中自变量趋于点的方向的任意性及方式的多样性，这是一元函数与二元函数极限的主要区别，也是造成二元函数极限、连续、偏导数、全微分概念间关系有别于一元函数相关概念间关系的根源.3.2多元函数极限的求解方法类似于一元函数的常见求法，多元函数也有相似的求法，其中包括部分解法在文献[13-15]中被提及到。在这里就简单介绍一下(以二元函数为例).1利用定义求极限例3.1求.解因为，所以于是对任意的，存在，当有即2利用函数的连续性求极限定义3.2(二元函数的连续性)设为定义在点集上的二元函数，(它或者是的聚点，或者是的孤立点)。对于任给的正数，总存在相应的正数，只要就有，则称关于集合D在点连续。在不至于误解的情况下，也称在点连续.例3.2求.解因为在是连续的，所以3利用两边夹定理求极限例3.3求.解因为，而，所以.4利用重要极限求极限例3.4求.解，而，所以，原式.5利用有理化的方法求极限例3.5求解分子分母同乘以，即得6利用无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小求极限例3.6求解因为，所以，原式7利用极限的四则运算定理、无穷小的运算定理、无穷小于无穷大的关系求极限例3.7求解由，得，故.同理，于是，原式8利用等价无穷小代换求极限例3.8求解因为时所以故原式9利用换元法求极限运用换元的形式求极限的方法中最为主要的是整体代换或三角代换，特别是当遇到时，我们可以设，相当于。通过变量代换可以将某些二元函数的极限转化为—元函数的极限，从而二元函数的极限变得简单。例3.9求解设因为故当时，则原式例3.10求.解.10利用取对数法求极限例3.11求解设则而令有所以，原式

4函数极限的求解误区下面就介绍一下有关函数极限的几个求解误区:(一)洛比达法则的运用洛比达法则是一种常用的、有效的求极限的方法，可以求譬如“”、“”、“”、“”型等多种形式的极限。洛比达法则虽然是有效的求极限的方法，但不是万能的求极限的方法，也不是对任何函数在求极限中都适用。例4.1求.分析此题如果用洛比达法则，则，但当时，的取值不确定，所以就得出此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:对二元函数求极限时洛比达法则也是不能随便运用的，但对于二元函数我们有下列类似于洛比达法则的定理.定理4.1若二元函数满足:(i)为有限点;(ii);(iii)在点的某空心邻域内可微，且与不同时为零;(iv)，则(条件(ii)改为=时结论仍然成立).例4.2求.解由定理4.1可知(二)函数极限的逼近方式不同对一元函数而言，极限存在的充要条件是与同时成立。但对二元函数而言要复杂得多，也就是说若动点以平行于轴或以平行于轴两条直线的方式趋于定点时有极限并且相等，也可以用以下方式表示:时，也不能保证。就即使是动点以无穷多种方式趋近于定点时有极限并且相等，也不能保证其有极限。因为动点在平面区域上趋于定点的方式是可以是任意的。下面以例题加以说明.例4.3证明二元函数在原点不存在极限.证明若当动点沿着直线(为常数)趋于原点时，有.由上式可知，极限值随着直线的改变而改变;所以由定义可得，此函数在原点没有极限.(三)二元函数极限与累次极限的区别定义4.2设是的聚点，是的聚点，二元函数在集合上有定义，若对每一个存在极限由于此极限一般与有关，因此记作而且进一步存在极限则称此极限为二元函数先对后对的累次极限，并记作.或可称为二元函数先对后对的累次极限，简记作累次极限与二重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系。下面两个例子将说明这一点.例4.4设，求关于原点的二重极限与累次极限.解类似于例4.3的分析，当时的二重极限不存在。但当时有从而有同理可得即的两个累次极限都存在而且相等.例4.5设求关于原点的二重极限与累次极限.解它关于原点的两个累次极限分别为，因为，所以累次极限不存在.当沿斜率不同的直线时，容易验证所得极限也不同，因此该函数的二重极限不存在.但是累次极限与二重极限之间蕴含着某种特殊的关联.推论4.1若累次极限，和二重极限都存在，则三者相等.推论4.2若累次极限与存在但不相等，则二重极限必不存在.

5小结函数极限在微积分中占有举足轻重的地位，也已成为数学科学联系实际的主要途径之一。由此可见，其求法的重要性就不言而喻了。本文主要对极限的求法做了总结归纳。首先将极限分为一元函数极限和二元函数极限分别进行阐述。对于一元函数极限概括了利用极限的定义、极限的四则运算法则、化为已知重要极限、洛必达法则、等价无穷小代换、夹逼准则、函数的连续性、左右极限、无穷小量与无穷大量的关系等求函数极限的十几种方法;对于二元函数极限也系统地概括了变量代换、利用两边夹定理求极限等几种方法，并都给出了相应的例子。最后还陈述了求函数极限的几个误区，强调了洛必达法则使用条件及二重极限与累次极限的关系。

参考文献余长安.大学数学考研题型精讲与解题技巧集粹[M].北京:科学出版社,2005.裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.黎东.浅谈求函数极限的方法[J].昌吉师专学报,