2022-2023学年江苏省姜堰市蒋垛中学高考数学试题模拟试卷六数学试题

2022-2023学年江苏省姜堰市蒋垛中学高考数学试题模拟试卷（6）数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/（x）=e*+ox（«<0）的图像可以是（）

2.《九章算术》有如下问题：“今有金肇，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思

是：“现在有一根金笔，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”

按这一问题的颗设，假设金肇由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）

A.1•斤75

B.二斤C.一斤D.3斤

22

3.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若

该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）

•电中

一6%

418岁劈幼童1次

—->18方在淀学位4%

Tt他我火机

从土人

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

4.已知复数z满足：zi=3+4i（i为虚数单位），则1=（）

A.4+3zB.4—3/C.—4+3iD.—4—3i

5.已知1/（x）=±L是定义在R上的奇函数，则不等式#x-3）勺（9-/）的解集为（）

ex+a

A.（-2,6）B.（-6,2）C.（-4,3）D.（-3,4）

6.若p是r的充分不必要条件，则「p是4的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

x>y,

7.已知实数x，）'满足（x+y-lWO,则z=x+2），的最大值为（）

y2-1,

3

A.2B.-C.1D.0

2

8.已知集合A={0,1,2,3},8={x|-2Mx42},贝IJA8等于（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-2-1,0,1,2,3}D.{1,2}

9.已知随机变量。满足P（q=A）=U（l—p,广p：,i=l,2,左=0,1,2.若^<〃1<〃2<1，则（）

A.E(q)<E催)，。«)<。©)B.E(一<E⑼,。佰)>D(4)

C.E（〈）>E©）,D（-vD倡）D.E（0〉E&）,»（0>。催）

10.已知函数〃x）=（2a+2）lnx+2e：2+5.设a<_i,若对任意不相等的正数占，x2,恒有"八-）’8,

则实数。的取值范围是（）

A.（-3,-1）B.（-2,-1）

C.(—℃),—3]D.(-oo,-2]

11.下列命题为真命题的个数是（）（其中7，e为无理数）

OOO

①五〉二；②ln7r<—；@In3<—.

23e

A.0B.1C.2D.3

12.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面

积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此

可估计阴影部分的面积是（

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、3原料2千克；生产乙产品1桶需耗A

原料2千克，8原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，

要求每天消耗4B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的

最大利润是__________元.

14.某种牛肉干每袋的质量，"伏g）服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为N（2,6?）,

P（1.燃物2.1）=0.98.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9依的袋数大约是袋.

15.在三棱锥P-ABC中，A8=5,BC=3,C4=4,三个侧面与底面所成的角均为60°,三棱锥的内切球的表面

积为.

16.现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为*的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒

容积的最大值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x-2cosa,

17.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线G：〈为参数），以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为

Iy=sina

极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为。=-2sin0.

（1）求曲线G的普通方程和曲线G的普通方程；

（2）若P,Q分别为曲线G，上的动点，求IPQI的最大值.

18.（12分）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为S《=14,且a”q,生成等比数列.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）求数列\—1―的前〃项和T„.

l«A+lJ

x=acos（p

19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为<,,Ca>b>0,。为参数），在以。为极点,

y=bsm（p

X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线G上的点MI,对应的

参数0=（,射线夕=?与曲线交于点71

（1）求曲线G，的直角坐标方程;

（2）若点4〃为曲线G上的两个点且。4，°氏求原+春的值•

20.（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242

将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替，并表示为f；）表示全国GOP总量，表中

_15

z,=In）；,.（/=1,2,3,4,5）,z=

3i=l

"TUT

tyz

i=li=\/=1

326.4741.90310209.7614.05

（D根据数据及统计图表，判断$=勿+。与亍=。6"（其中e=2.718为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国

GOP总量y关于f的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出）'关于f的回归方程.

（2）使用参考数据，估计2020年的全国GOP总量.

线性回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

5---------,a^y-bx.

f（七一元丫

;=|

参考数据:

n45678

e"的近似值5514840310972981

21.（12分）如图，在三棱柱ABC-A.B.Q中，AC_LBC,AB_L，AC=3C=BB］，。为AB的中点，且CD±D\.

(1)求证：BB|J.平面ABC；

(2)求锐二面角C-OA-G的余弦值.

22.(10分)已知函数.f(x)=|2x+l|-|ar-l|,aeR.

(1)当。=2时，求不等式—的解集；

(2)当xw(-L,o)时，不等式/(x)>2x恒成立，求实数。的取值范围.

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据x<0,/(x)>0,可排除A。，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.

【详解】

由题可知：4<0,

所以当x<()时，/(x)>0,

又f\x）=ex+a,

令则x>ln（-a）

令/0<0,则x<ln（-a）

所以函数/（x）在（F/n（-a））单调递减

在（in（-a）,+8）单调递增，

故选：B

【点睛】

本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属

基础题.

2、B

【解析】

依题意，金维由粗到细各尺重量构成一个等差数列，4=4则%=2,由此利用等差数列性质求出结果.

【详解】

设金维由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{《,},设首项4=4,则为=2,.•.公差d==H=-g,

17

+a=—.

2

故选B

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3、D

【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,

则该市总有低收入家庭900+6%=15000（户），A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%=1800（户），B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%%=4350（户），C正确，

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600（户），D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基

础题.

4、A

【解析】

利用复数的乘法、除法运算求出z,再根据共枕复数的概念即可求解.

【详解】

3+4z3z-4

由zi=3+4i,则2=二二=二^=4—3i,

i-1

所以］=4+3i.

故选：A

【点睛】

本题考查了复数的四则运算、共扼复数的概念，属于基础题.

5、C

【解析】

由奇函数的性质可得4=1,进而可知/,(X)在R上为增函数，转化条件得X-3<9-/,解一元二次不等式即可得解.

【详解】

因为/(X)=是定义在R上的奇函数，所以/(1)+/(-1)=0,

1-1

P—\—i7

即——+年一=0,解得4=1,即/•(》)=幺［=1一一—,

x

e+a-1--ra'e+\e'+l

e

易知/(x)在R上为增函数.

又/(x—3)</(9-丁)，所以x_3<9—f,解得-4<x<3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

6、B

【解析】

试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可.

由p是F的充分不必要条件知“若p则F”为真，“若F则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则力”

为真，“若则q”为假,故选B.

考点：逻辑命题

7、B

【解析】

作出可行域，平移目标直线即可求解.

【详解】

解：作出可行域：

由z=x+2y得，y=-—x+—z

由图形知，y=经过点时，其截距最大，此二时最大

22

二y一=二x。得

1

X——

当2；时~产1片253

r?

故选：B

【点睛】

考查线性规划，是基础题.

8、A

【解析】

进行交集的运算即可.

【详解】

A={0,1,2,3},B={x|-2瓢2},

48={0,1,2).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

9、B

【解析】

根据二项分布的性质可得：E（<）=0,D（多）=Pi（1一0,）,再根据;<P1<<1和二次函数的性质求解.

【详解】

因为随机变量《满足产信=&）=U（—P,.广/，［=1,2,々=0,1,2.

所以。服从二项分布，

由二项分布的性质可得：E值）=0,。⑹=00—0）,

因为;<Pl<P2<1，

所以E（4）<E值）,

由二次函数的性质可得：=在上单调递减，

所以D（4）>D（刍）.

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

10、D

【解析】

求解/（X）的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数和超，构造新函数，讨论其单调性即可求解.

【详解】

“X）的定义域为（0,+。），/（力=犯工+4奴=2（2浸+。+1）,

XX

当a<—1时，/'（X）<O,故/（X）在（0,+8）单调递减；

不妨设王<%，而“<-1,知/（X）在（0,+8）单调递减，

从而对任意』、x2G(O,-H»),恒有(巧)28,

即|/(石)一〃%2)|冽石一引，

〃%)-〃工2)28(/-5)，/(5)+8%>/(X2)+8X,,

令g(x)=/(x)+8x,贝！Jg，(x)=-£j-+4Q+8,原不等式等价于g(x)在(0,+8)单调递减，即

^^-+2ax+4<0,

X

从而。4*1=空1止—2,因为往3—22—2，

2X2+12X2+12X2+1

所以实数。的取值范围是(-8,-2]

故选：D.

【点睛】

此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.

11、C

【解析】

2

对于①中，根据指数幕的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数/(x)=lnx-§,x>0,

利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到/(〃)>/,),即可判定是错误的；对于③中，构造新函数

f(x)^e\nx-x,x>0,利用导数求得函数的最大值为/(e)=0,进而得到/(3)<0,即可判定是正确的.

【详解】

由题意，对于①中，由(五)2=e,(3)=2=2.25,可得e>2.25,根据不等式的性质，可得人>。成立，所以是正

242

确的；

21

对于②中，设函数/(x)=lnx-§,x>0,则/'(x)=、〉0,所以函数为单调递增函数，

因为万〉e,则/(乃)>/(e)

2?I2

又由/(e)=lne-§=l—§=§>0,所以/(乃)>0,即In乃>§,所以②不正确；

对于③中，设函数/(x)=elnx-x,x>0,则/(同=/一1=『，

当xe(0,e)时，r(x)>0,函数/(x)单调递增,

当xw(e,+oo)时，/'(x)<0,函数单调递减，

所以当x=e时，函数取得最大值，最大值为/(e)=e!ne-e=O,

所以/(3)=eIn3-3<0,即eln3<3,即ln3<±,所以是正确的.

e

故选：C

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求

得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

12、D

【解析】

直接根据几何概型公式计算得到答案.

【详解】

根据几何概型：〃='=丽，故5=].

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1元

【解析】

设分别生产甲乙两种产品为x桶，丁桶，利润为z元

x+2y<12

则根据题意可得2x+y<\2

x,y>0且x,yeN

目标函数z=300x+400y,作出可行域，如图所示

作直线L：3x+4y=0,然后把直线向可行域平移,

由图象知当直线经过A时，目标函数z=300x+400y的截距最大，此时z最大,

xx=4

+21y=12

可得,,即A(4,4)

2〔)=

2x+1y=14

此时z最大z=300x4+400x4=2800,

即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1.

【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是

解决本题的关键.

14、1

【解析】

根据正态分布对称性，求得质量低于的袋数的估计值.

【详解】

由于〃=2,所以P(m<1.9)=匕产=0.01,所以10()袋牛肉干中，质量低于1.9kg的袋数大约是100x0.01=1袋.

故答案为：1

【点睛】

本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.

4兀

15、——

3

【解析】

先确定顶点在底面的射影，再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高，利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱

锥的体积的三倍即可解决.

【详解】

设顶点在底面上的射影为"，"是三角形A5C的内心，内切圆半径r=1.三个侧面与底面所

成的角均为60°,APAB，PBC,PAC的高PD=PE=PF=2,PH=g，设内

切球的半径为R,(-(3+4+5)x2+-x3x4)x/?=3xlxlx3x4xV3=6>/3

2232

/?=巫，内切球表面积5=4万/?2=色.

33

47r

故答案为：—.

【点睛】

本题考查三棱锥内切球的表面积问题，考查学生空间想象能力，本题解题关键是找到内切球的半径，是一道中档题.

【解析】

由题意容积V=(a-2x)2x,求导研究单调性，分析即得解.

【详解】

由题意：容积V=(a-2x『x,0<x<p

贝!]Vr=2(。-2x)x(一2x)+(a—2x)2=(a-2x)(a-6x),

由□=()得x=2或x=@(舍去)，

62

令H〉0,r.xe(0,@);V，<0XG(-,-)

662

则》=:为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时匕，ax=域”

2

故答案为：——n3

【点睛】

本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)三+y2=],f+(])2=i；(2)迪+i

43

【解析】

试题分析：(D由siYa+cos2a=1消去参数a,可得G的普通方程，由/+产=夕2,ysin。可得G的普通

方程；

⑵设P(2cosa,sina)为曲线G上一点，点P到曲线的圆心(°，一1)的距离，结合

sinaw[—1,1]可得最值，|PQ|的最大值为4+「，从而得解.

试题解析：

2

(1)G的普通方程为V二+丁=1.

4

V曲线G的极坐标方程为P=-2sine,

，曲线G的普通方程为Y+y2=_2y,BPx2+(y+l)2=l.

(2)设P(2cosa,sina)为曲线G上一点，

则点P到曲线G的圆心(0,—1)的距离

d=J4cos2a+(sina+1)2=J-3sin2a+2sina+5=J-31na-+?.

•.,sina€[一l,l],.•.当sina=1时，d有最大值勺5.

L」33

又：P,Q分别为曲线C，曲线。2上动点，

.••归。|的最大值为“+厂=华+1.

18、(1)a“=〃+l;⑵

【解析】

试题分析：(1)设公差为d,列出关于4,d的方程组，求解q,d的值，即可得到数列的通项公式；(2)由(1)可得

111

-----=-7——-,即可利用裂项相消求解数列的和.

anan+i〃+1〃+2

4q+6d=14

试题解析：(1)设公差为d.由已知得｛,$/、，解得d=l或d=0(舍去)，所以％=2,故为="+1.

[at+2d)=q(4+6d)

]_]_J_____1_

°)anan+l(〃+l)(〃+2)rt+1〃+2'

T111111n

"2334n+ln+22(〃+2)

考点：等差数列的通项公式；数列的求和.

2a

19、(1)yr+/=l.(x-l)-+y2=i.(2)1

【解析】

(1)先求解a,b,消去参数。，即得曲线G的直角坐标方程；再求解R，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲

线的直角坐标方程;

可设A(P1,e),B02,8+9

(2)由于Q4_LO6,，代入曲线G直角坐标方程，可得8,夕2，。的关系，转化

1111呼+城。Sin+cos20,可得解.

---r----7-八-2-1--八-2--一+

|0A『\OB^P\Pl2)

【详解】

QCOS0

(1)将M1,芋及对应的参数0=£n,代入，

74y=bsin-(p

[冗

1=QCOS—

4

得,即

V2.7Tb=l

——=bsm—

24

X=&8SQ。为参数,

所以曲线G的方程为

y=sin(p

所以曲线G的直角坐标方程为1+9=1•

设圆G的半径为R,由题意，圆G的极坐标方程为

p=2/?cos(9(或(x—/?『+/=R2),

将点Ol,g代入°=2Rcose,得l=2Acos工，即R=l,

\3733

所以曲线G的极坐标方程为夕=2cose,

所以曲线G的直角坐标方程为(x—1)2+/=1.

(2)由于。故可设A(g,e),Byp2,e+^

代入曲线G直角坐标方程，

，.2万

可得吟幺小mal,sin2Z)1

p?——0+夕2;cose=1,

1111

所以I[2+[八E>|2一

\0A\\OB\_p2、p2z

5+sin*]+贮+cos面3

I2)2J2

【点睛】

本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转

化划归，数学运算的能力，属于中档题.

20、(1)y=c/,Re-312=卜-2,"；(2)148万亿元.

【解析】

(1)由散点图知y=ce"更适宜，对3^=。6"两边取自然对数得lny=lnc+力，令z=lny,a=lnc,b=d,则

z=a+bt,再利用线性回归方程的计算公式计算即可；

(2)将/=5.2代入所求的回归方程中计算即可.

【详解】

(1)根据数据及图表可以判断，

y=ced,更适宜作为全国GDP总量)关于f的回归方程.

对旷=。6”两边取自然对数得lny=lnc+dr,令z=lny,a=\nc,b=d,得z=a+4.

.25,讣t

14.05

因为匕二『-------；—=1.405,

£”)一10

(=1

所以a=[-凉=1.903-1.405x3=-2.312,

所以z关于/的线性回归方程为z=L405r-2.312，

所以,关于f的回归方程为.V=e.22劣2=卜-2.312尸物.

(2)将f=5.2代入夕=eM5T.3i2,其中1.4()5x5.2—2.312=4.994,

于是2020年的全国GDP总量约为：y=e4-994=148万亿元.

【点睛】

本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中

档题.

21、(1)证明见解析；(2)叵,

5

【解析】

(1)证明后可得CD_L平面从而得。。，8星，结合已知得线面垂直；

(2)以C为坐标原点，以。？为x轴，CG为y轴，C4为z建立空间直角坐标系，设Cg=2,写出各点坐标，求

出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：因为D为BC中点,

所以又ABA,D=