2.4线段、角的轴对称性（4）（分层练习）解析版

2.4线段、角的轴对称性（4）分层练习考查题型一角平分线的性质定理和判定定理的综合运用1．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们知道：三角形的三条角平分线交于一点．如图，要证明三角形的三条角平分线交于一点，慧慧、明明同学分别进行了如下分析：慧慧分析：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．明明分析：明明用下面框图分析如下，下面四个选项中说法正确的是（

）A．慧慧分析正确，明明分析错误． B．慧慧分析错误，明明分析正确．C．慧慧、明明的分析都正确． D．慧慧、明明的分析都错误．【答案】C【详解】解：根据题意，两人的分析方法一致，故都正确故选C2．（2022秋·北京西城·八年级校考期中）小明在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON：（2）利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；（3）画射线OP，则射线OP为∠AOB的平分线，小明这种画法的依据是（

）A．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等B．角及夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等C．一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应角相等【答案】D【分析】A．此选项所说是角平分线的性质，本题是要求证OP为∠AOB的平分线，此选项错误．B．由题意可知OM=ON，OP＝OP，∠OMP=∠ONP，不是“边角边”判定，且不能证明全等，此选项错误．C．此选项所说为角平分线的判定，本题由题意不能直接使用角平分线的判定，可间接证PM=PN后可使用角平分线的判定，不符合题意．D．题意可知，OM=ON，OP=OP，可用HL判定△OMP≌△ONP，可证得∠MOP=∠NOP，此选项正确．利用斜边直角边判定两直角三角形全等．【解析】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中OP=OP∴△OMP≌△ONP∴∠MOP=∠NOP∴OP平分∠AOB．故选D3．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，如果延伸到三角形的外角会发什么变化呢？请同学们完成以下题目()知识回顾知识延伸已知点O为∠ABC与∠ACB的角平分线交点，通过证明，可得点O在∠A的角平分线上．已知点P为△NMK两外角角平分线的交点，若∠NPK=50°，则∠PMK=()A．50° B．55° C．45° D．40°【答案】D【解析】解：过点P作PE⊥MN于点E，PF⊥MK于点F，∵点P为△NMK两外角角平分线的交点，∴PE=PQ=PF，∴MP平分，∵PE⊥MN于点E，PQ⊥NK于点∴∠PEN=∠PQN=90°，∵PN平分∠ENK，∴∠ENP=∠QNP，∴∠EPN=∠QPN，同理，∠FPK=∠QPK，∴∠NPK=1∵∠NPK=50°，∴∠EPF=100°，∵PE⊥MN于点E，PF⊥MK于点∴∠PEN=∠PFK=90°，∴∠NMK=80°，∴∠PMK=1故选：D．4．（2021秋·广东中山·八年级校联考期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，，则①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S

【答案】①②③④【解析】解：①如图，过点P作PD⊥AC于D，

∵BP平分∠ABC，PM⊥BE，，∴PM=PN，∵AP平分∠EAC，PM⊥BE，PD⊥AC，，∴PN=PD，∵PN⊥BF，PD⊥AC，∴CP平分∠ACF，①结论正确；②∵PM⊥BE，PD⊥AC，，∴∠PMA=∠PDA=∠PNB=90°，在Rt△PAM和PM=PDPA=PA∴Rt，同理可得，Rt△，∴∠MPN=∠APM+∠APD+∠CPD+∠CPN=2∠APD+∠CPD∵∠ABC+∠PNB+∠MPN+∠PMA=360°，∴∠ABC+∠MPN=360°-∠PNB-∠PMA=180°，，②结论正确；③∵AP平分∠EAC，∴∠CAE=2∠MAP，∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，∴∠ABC+∠ACB=2∠ABP+∠APB∵BP平分∠ABC，，∴2∠ABP+∠ACB=2∠ABP+2∠APB，，③结论正确；④由②可知，∴Rt△PAM≌∴S△PAM=∵S∵∴S△APM+∴正确的结论是①②③④，故答案为：①②③④5．（2023秋·八年级课时练习）如图，于点C，PD⊥OB于点D，PC=PD．Q是OP上一点，QE⊥OA于点E，QF⊥OB于点F．求证：QE=QF．【解析】证明：∵，PD⊥OB，PC=PD，∴OP是∠AOB的平分线，∵QE⊥OA，QF⊥OB，∴QE=QF．考查题型二垂直平分线与角平分线的综合应用1．（2022秋·云南文山·八年级校考期末）以下四个命题中：①等腰三角形的两个底角相等；②角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；③对顶角相等；④线段垂直平分上的点与这条线段两个端点的距离相等．原命题与逆命题都是真命题的个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，原命题与逆命题同时成立；②“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是“角的平分线上的点到角的两边距离相等”，原命题与逆命题同时成立；③“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，原命题成立，逆命题不成立；④“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”的逆命题是“到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上”，原命题与逆命题同时成立．故选：C.2．（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，每一个小方格的边长都是1，五边形的每一个顶点都在格点上．(1)利用网格，作出∠BCD的角平分线；(2)连接AD，利用网格作AD的垂直平分线，与∠BCD的角平分线交于点O．【解析】（1）解：如图，CF即为∠BCD的角平分线；（2）解：如图，直线EO即为AD的垂直平分线．3．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，连接DE．(1)求证：∠CDE=∠CED；(2)猜想DE与OC的位置关系？并说明理由．【解析】（1）证明：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE，∴∠CDE=∠CED；（2）解：OC是线段DE的垂直平分线，理由如下，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵CD=CE，OC=OC，∴Rt△∴OD=OE，又∵CD=CE，∴OC是线段DE的垂直平分线．4．（2023春·全国·八年级开学考试）如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【解析】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．考查题型三结合尺规作图解决实际问题1．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（

）A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．B．角平分线上的点到角两边的距离相等．C．三角形三个内角的平分线交于同一个点．D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等．【答案】A【解析】解：如图，过点P作PE⊥AO于E点，PF⊥BO于F点，∵两把长方形直尺完全相同，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有处?(阴影部分不能修建超市)【答案】3【解析】解：如图所示，ΔABC的内角平分线的交点O1，外角平分线的交点O∵阴影部分不能修建超市，O4不能修建超市，故满足条件的修建点共有3处，即点O1故答案为：3．3．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，某地有两个村庄M，N，和两条相交的公路OA，OB，现计划在∠AOB内修建一个物资仓库P，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库P的位置．（保留画图痕迹，不写画法）【解析】连接MN，作线段MN的垂直平分线，与∠AOB的平分线交于点P，则点P到点M，N的距离相等，到OA，OB的距离相等，作图如下，点P即为所求，

（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）我们在学习《2.4线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程．(1)请补全课本例2的证明过程；例2

已知：如图，△ABC的角平分线相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上．证明：过点P作PF⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC，垂足分别为F、M、N．∵AD平分∠BAC，点P在AD上，∴．同理．∴．∴点P在∠C的平分线上．(2)运用上述结论解决下面的问题：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,AH⊥BC，垂足为H，点D、E在AH上，且∠CBD=∠DBE=∠EBA，连接CD并延长，交AB于点F，连接EF．求证：【答案】(1)PF=PN；PM=PF；PM=PN【解析】（1）证明：过点P作PF⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC，垂足分别为F、M、N．∵AD平分∠BAC，点P在AD上，∴PF=PN，同理PM=PF．∴PM=PN．∴点P在∠C的平分线上．故答案为：PF=PN；PM=PF；PM=PN（2）证明：如图，连接CE，∵∠BAC=90°,AB=AC,AH⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=45°，AH垂直平分BC，∴∠CBD=∠DBE=∠EBA=15°，BE=CE，∴∠DCH=∠DBH,∠ECH=∠EBH,∠A