新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题10-1 概率统计（选填）（含解析）

专题10-1概率统计（选填）目录TOC\o"1-1"\h\u 1题型一：随机抽样、分层抽样 1题型二：用样本估计总体 3题型三：样本的数字特征 8题型四：百分位数 10题型五：线性回归 13题型六：独立性检验 18题型七：排列组合 25题型八：二项式定理 29题型九：古典概型 33题型十：条件概率 37题型十一：正态分布 41题型十二：均值和方差 45 50题型一：随机抽样、分层抽样【典例分析】例题1．（2022秋·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）从某班SKIPIF1<0名同学中选出SKIPIF1<0人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将SKIPIF1<0名同学按SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0进行编号，然后从随机数表第SKIPIF1<0行的第SKIPIF1<0列和第SKIPIF1<0列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第SKIPIF1<0个同学的编号为(注：表为随机数表的第SKIPIF1<0行与第SKIPIF1<0行)（

）SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

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SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】按题意，从第一行第5列，两个两个数字取数，抽样编号依次为43，36，47，46，24，第5个是24，故选：A例题2．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）某日某火锅店进货了四种食品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及莴笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是（

）A．7 B．13 C．8 D．9【答案】D【详解】由题意可知采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数为SKIPIF1<0，抽取的莴笋份数为SKIPIF1<0，故抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是SKIPIF1<0，故选：D【提分秘籍】随机数表法是常用的一种抽样方法，使用时做到不重复，不遗漏.分层抽样注意分层，每层抽样比相同.【变式演练】1．（2022春·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续.则第四袋牛奶的标号是（

）（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）SKIPIF1<0A．358 B．301 C．071 D．206【答案】C【详解】由题意可知，读取的第一个数据是583，不符合条件，第二个数据是921，不符合条件，第三个数据是206，符合条件；即随机选取的第一袋牛奶标号是206；以下数据依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合题意的数据只有301，169，301三个数据，但是301属于重复数据，继续往后计数；下一个数是071，符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206，301，169，071；所以，第四袋牛奶的标号为071.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）某中学的高一､二､三这三个年级学生的平均身高分别为SKIPIF1<0，若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一､高二､高三的学生人数分别为100､200､300，则估计该高中学生的平均身高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设该中学的总人数为SKIPIF1<0，由题意知，高一､高二､高三的学生总人数分别为：SKIPIF1<0，所以估计该高中学生的平均身高为：SKIPIF1<0.故选：A题型二：用样本估计总体【典例分析】例题1．（多选）（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）某校举行劳动技能大赛，统计了SKIPIF1<0名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间SKIPIF1<0内，不低于SKIPIF1<0分的视为优秀，低于SKIPIF1<0分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．优秀学生人数比不及格学生人数少SKIPIF1<0人C．该次比赛成绩的平均分约为SKIPIF1<0D．这次比赛成绩的SKIPIF1<0分位数为SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】对于A项，由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；对于B项，优秀学生人数为SKIPIF1<0，不及格学生人数SKIPIF1<0，优秀学生人数比不及格学生人数少15人，故B正确；对于C项，平均分SKIPIF1<0，故C正确；对于D项，设百分位数为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选:BCD例题2．（多选）（2022·山东德州·统考二模）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（

）A．样本的众数为SKIPIF1<0 B．样本的80%分位数为72SKIPIF1<0C．样本的平均值为66 D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人【答案】ABD【详解】对于SKIPIF1<0，样本的众数为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确;对于SKIPIF1<0，由频率分布直方图可知样本的80%分位数为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确，对于SKIPIF1<0，由直方图估计样本平均值为：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误，对于SKIPIF1<0，2000名男生中体重低于SKIPIF1<0的人数大约为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确，故选：SKIPIF1<0．【提分秘籍】频率分布直方图中的考点常常涉及到:①平均数，众数，中位数估计值；②各个小矩形面积之和等于1【变式演练】1．（多选）（2022·广东韶关·统考一模）某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40%.根据调查结果分别绘制出男､女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则（

）A．SKIPIF1<0B．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时C．女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的SKIPIF1<0【答案】BC【详解】对于A，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A错误；对于B，由频率分布直方图可知，女观众收看时长在SKIPIF1<0的频率为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0的频率为SKIPIF1<0，所以女观众收看时长的中位数落在SKIPIF1<0中，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则女观众收看时长的中位数为SKIPIF1<0，故B正确；对于C，男性观众收看节目的平均时长为SKIPIF1<0小时，女性观众收看节目的平均时长为SKIPIF1<0小时，故C正确；对于D，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为SKIPIF1<0人，女性观众收看达到9小时人数为SKIPIF1<0人，故D错误.故选：BC.2．（多选）（2022·江苏南京·南京外国语学校校联考模拟预测）某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（

）A．a=0.012B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为52C．这100名学生成绩的中位数为65D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）【答案】ABD【详解】对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以A正确．对于B，SKIPIF1<0所以B正确；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中位数在SKIPIF1<0，设中位数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以C错误．对于D，平均数SKIPIF1<0，所以D正确．故选：ABD.题型三：样本的数字特征【典例分析】例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市第一中学校校考一模）已知一个容量为SKIPIF1<0的样本数据的平均值为90，方差为10，若去掉其中5个为90的样本数据，剩余样本数据的平均值为SKIPIF1<0，方差为SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意可知，SKIPIF1<0个样本数据之和为SKIPIF1<0，去掉5个相同的样本数据90后，SKIPIF1<0个样本数据之和为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除选项C；因为样本数据中有5个相同的数据90，且SKIPIF1<0，不妨设去掉的5个相同的样本数据90都排在最后，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：A例题2．（2022春·四川成都·高三统考期末）若数据9，SKIPIF1<0，6，SKIPIF1<0，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，SKIPIF1<0，17，SKIPIF1<0的平均数和方差分别为（

）A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8【答案】C【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为SKIPIF1<0，方差为SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则数据11，9，SKIPIF1<0，17，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两组数据有相同的平均数和方差，平均数为SKIPIF1<0，方差为SKIPIF1<0，故选：C【变式演练】1．（2022·湖南长沙·统考模拟预测）某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为A．7和SKIPIF1<0 B．8和SKIPIF1<0 C．7和1 D．8和SKIPIF1<0【答案】A【详解】平均数SKIPIF1<0,方差SKIPIF1<0.故选A.2．（2022·上海·高三专题练习）若数SKIPIF1<0的标准差为SKIPIF1<0，则数SKIPIF1<0的标准差为________.【答案】6【详解】数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的标准差为2，则数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方差为4，SKIPIF1<0数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方差为SKIPIF1<0，标准差为6.故答案为：6．3．（2022·上海·高三专题练习）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是.【答案】SKIPIF1<0【详解】∵总体的中位数为，∴a+b=21，故总体的平均数为10，要使该总体的方差最小，只需SKIPIF1<0最小，又SKIPIF1<0,当且仅当a=b=10.5时，等号成立.题型四：百分位数【典例分析】例题1．（2022春·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比SKIPIF1<0大，一个比SKIPIF1<0小的概率为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0为上述数据中的SKIPIF1<0分位数，则SKIPIF1<0的取值可能为（

）A．50 B．60 C．70 D．80【答案】C【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数有SKIPIF1<0种，一个数比SKIPIF1<0大，一个数比SKIPIF1<0小的不同结果有SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，数据中的SKIPIF1<0分位数是第3个数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所有选项都不满足；当SKIPIF1<0时，数据中的SKIPIF1<0分位数是第6个数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，选项A，B，D不满足，C满足.故选：C例题2．（2022春·河南开封·高三统考开学考试）已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：SKIPIF1<0；乙组：SKIPIF1<0.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则SKIPIF1<0等于______.【答案】8【详解】因为SKIPIF1<0，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，根据题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：8.【提分秘籍】①按从小到大排列原始数据．②计算SKIPIF1<0．③若SKIPIF1<0不是整数而大于SKIPIF1<0的比邻整数SKIPIF1<0，则第SKIPIF1<0百分位数为第SKIPIF1<0项数据；若SKIPIF1<0是整数，则第SKIPIF1<0百分位数为第SKIPIF1<0项与第SKIPIF1<0项数据的平均数．【变式演练】1．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）2021年2月20日，在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调这次学习教育“总的来说就是要做到学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导全党同志学党史､悟思想､办实事､开新局”.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（

）A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9【答案】A【详解】由统计数表可知，学习7小时的有6人，学习8小时的有10人，学习9小时的有9人，学习10小时的有8人，学习11小时的有7人，共有40人.学习8小时的人数最多，故学习党史时间的众数是8；由SKIPIF1<0，故第40百分位数为数据从小到大排序第16项与第17项数据的平均数，即SKIPIF1<0，故学习党史时间的第40百分位数是8.5；故选：A2．（2022·上海·高三统考学业考试）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：SKIPIF1<0）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，SKIPIF1<0，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则SKIPIF1<0的值为________.【答案】172【详解】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为:1723．（2022春·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：SKIPIF1<0这10名同学数学成绩的SKIPIF1<0分位数是___________.【答案】146【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：140,142,142,143,144,145,147,147,148,150根据SKIPIF1<0，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；10名同学数学成绩的SKIPIF1<0分位数为：SKIPIF1<0.故答案为：146题型五：线性回归【典例分析】例题1．（2022秋·北京朝阳·高二统考期末）已知一组样本数据SKIPIF1<0，根据这组数据的散点图分析SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为SKIPIF1<0，则在样本点SKIPIF1<0处的残差为（

）A．SKIPIF1<0 B．2.45 C．3.45 D．54.55【答案】B【详解】把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以在样本点SKIPIF1<0处的残差SKIPIF1<0.故选：B.例题2．（2022秋·江苏盐城·高二盐城市田家炳中学校考期中）已知某种商品的广告费支出SKIPIF1<0（单位：万元）与销售额SKIPIF1<0（单位：万元）之间有如下对应数据：SKIPIF1<024568SKIPIF1<03040506070根据上表可得回归方程SKIPIF1<0，计算得SKIPIF1<0，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A．75万元 B．85万元C．99万元 D．105万元【答案】B详解：由题意得SKIPIF1<0，∴样本中心为SKIPIF1<0．∵回归直线SKIPIF1<0过样本中心SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴回归直线方程为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．故选B．例题3．（2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知变量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的一组数据如表所示，根据数据得到SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<023456SKIPIF1<02030506070若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．【答案】9【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故由表中数据可得SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，（负值舍去）,故答案为：9【提分秘籍】回归直线方程SKIPIF1<0一定经过样本中心SKIPIF1<0.【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：第SKIPIF1<0天12345使用人数(SKIPIF1<0)151734578421333由表中数据可得y关于x的回归方程为SKIPIF1<0，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．2【答案】B【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<01491625使用人数(SKIPIF1<0)151734578421333SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以残差为SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知变量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系可以用模型SKIPIF1<0拟合，设SKIPIF1<0，其变换后得到一组数据如下：SKIPIF1<046810SKIPIF1<02356由上表可得线性回归方程SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】由表格数据知：SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市郫都区第一中学校联考阶段练习）2022年3月成都市连续5天的日平均气温如下表所示：日期SKIPIF1<089101112平均气温SKIPIF1<0(℃)20.521.521.52222.5由表中数据得这5天的日平均气温SKIPIF1<0关于日期SKIPIF1<0的线性回归方程为SKIPIF1<0，据此预测3月15日成都市的平均气温为_______℃．【答案】23.85【详解】由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则3月15日成都市的平均气温为SKIPIF1<0（℃），故答案为：23.854．（2022·高二课时练习）某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据SKIPIF1<0如下表所示：x3456y2.534m根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为SKIPIF1<0.据此计算出在样本点SKIPIF1<0处的残差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______，表中m的值为______.【答案】

0.35##SKIPIF1<0

4.5##SKIPIF1<0【详解】由在样本点SKIPIF1<0处的残差为-0.15，可得当SKIPIF1<0时；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，回归直线过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：0.35,4.5题型六：独立性检验【典例分析】例题1．（2022秋·北京朝阳·高二统考期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的SKIPIF1<0列联表：性别锻炼情况合计不经常经常女生/人14721男生/人81119合计/人221840注：SKIPIF1<0独立性检验中，SKIPIF1<0．常用的小概率值和相应的临界值如下表：SKIPIF1<00.10.050.010.0050.001SKIPIF1<02.7063.8416.6357.87910.828根据这些数据，给出下列四个结论：①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；③根据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；④根据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．其中，正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【详解】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为SKIPIF1<0，男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误；SKIPIF1<0，所以根据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误.故选：B.例题2．（2022·全国·高三专题练习）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男市民SKIPIF1<0SKIPIF1<0女市民SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，若没有SKIPIF1<0的把握认为男､女市民对大会的评价有差异，则SKIPIF1<0的最小值为___________.附：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意得SKIPIF1<0并令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，近似解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【提分秘籍】①能正确计算SKIPIF1<0②能读对表中对应数据，并能正确回答出结论【变式演练】1．（2022秋·广东梅州·高二统考期末）经研究表明健康的饮食和科学的运动能够有效减少低密度脂蛋白浓度．为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名青年大，得到2×2列联表如下：肥胖不肥胖总计低密度脂蛋白不高于3.1mmol/L106575低密度脂蛋白高于3.1mmol/L101525总计2080100由此得出的正确结论是（

）A．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”B．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”【答案】A【详解】由题表知SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”故选：A2．（2022秋·重庆九龙坡·高二四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表：优秀非优秀合计甲班人数50乙班人数20合计30110附：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】优秀非优秀合计甲班人数SKIPIF1<050SKIPIF1<0乙班人数20SKIPIF1<0SKIPIF1<0合计30SKIPIF1<0110由题表中的数据可得:SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为SKIPIF1<0.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的SKIPIF1<0，男生追星的人数占男生人数的SKIPIF1<0，女生追星的人数占女生人数的SKIPIF1<0，若有SKIPIF1<0的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.参考数据及公式如下：SKIPIF1<00.0500.0100.001SKIPIF1<03.8416.63510.828SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】30【详解】设男生人数为SKIPIF1<0，依题意可得列联表如下：喜欢追星不喜欢追星总计男生SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0女生SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0总计SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若在犯错误的概率不超过SKIPIF1<0的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由题知SKIPIF1<0应为6的整数倍，SKIPIF1<0若在犯错误的概率不超过SKIPIF1<0的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有30人，故答案为：30.4．（2022·全国·高三专题练习）针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的SKIPIF1<0，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的SKIPIF1<0，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的SKIPIF1<0.若有SKIPIF1<0的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，求男生至少有______人.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】设男生人数为SKIPIF1<0，由题意可得列联表如下：喜欢韩剧不喜欢韩剧总计男生SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0女生SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0总计SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若有SKIPIF1<0的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因为各部分人数均为整数，所以若有SKIPIF1<0的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有SKIPIF1<0人.故答案为：SKIPIF1<0.题型七：排列组合【典例分析】例题1．（2022·安徽蚌埠·统考一模）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（

）A．2640 B．1440 C．2160 D．1560【答案】D【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为SKIPIF1<0.故选：D.例题2．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）设集合SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为自然数且SKIPIF1<0，则符合条件的集合SKIPIF1<0的个数为（

）A．833 B．884 C．5050 D．5151【答案】A【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有SKIPIF1<0种结果，因为SKIPIF1<0，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，所以a、b、c三个数各不相等的结果共有SKIPIF1<0个因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为SKIPIF1<0个.故选：A例题3．（2022·河南·统考模拟预测）将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.【答案】691200【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有SKIPIF1<0种方法，还剩5本书横放，有SKIPIF1<0种方法，故不同的摆放方法种数为SKIPIF1<0.故答案为：691200例题4．（2022·山东济南·山东省实验中学校考模拟预测）安排高二年级一､二两个班一天的数､语､外､物､体，一班的化学及二班的政治各六节课．要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节；其他语､数､外､物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有__________种．【答案】5400【详解】先安排体育课（不能在第一节）有SKIPIF1<0种，化学和政治在同一节有SKIPIF1<0种，剩下4门主课，不能同时上一种课，先安排一班有SKIPIF1<0种，不妨设第1，2，3，4节的顺序，二班第一节，一班有3种选项第2，3，4节，对应一班选出的某节课，比如第2节，在一班上第2节时，有第1，3节，第1，4节，第3，4节3种，故不同的排课表方法共有SKIPIF1<0种,故答案为：5400【提分秘籍】排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．【变式演练】1．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（

）A．360 B．480 C．600 D．720【答案】B【详解】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，①当C在位置1时，不同的摆法有SKIPIF1<0种；②当C在位置2时，不同的摆法有SKIPIF1<0种；③当C在位置3时，不同的摆法有SKIPIF1<0种；由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同，故摆放种数有SKIPIF1<0.故选：B.2．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（

）A．72 B．84 C．90 D．96【答案】B【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有SKIPIF1<0种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有SKIPIF1<0种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有SKIPIF1<0种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有SKIPIF1<0种选择，再将剩余3人分为两组，有SKIPIF1<0种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有SKIPIF1<0种分配方法；若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有SKIPIF1<0种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有SKIPIF1<0种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B3．（2022·四川成都·成都七中校考三模）有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）【答案】10【详解】①丙选择一名男生和一名女生：SKIPIF1<0.②丙选择两名男子：SKIPIF1<0.所以不同的安排方法种数是：10种.故答案为：10.题型八：二项式定理【典例分析】例题1．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）SKIPIF1<0的展开式中的常数项是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．20【答案】B【详解】SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0展开式的常数项是SKIPIF1<0.故选：B．例题2．（2022·安徽芜湖·统考模拟预测）SKIPIF1<0展开式中，SKIPIF1<0项的系数为（）A．5 B．-5 C．15 D．-15【答案】B【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示5个SKIPIF1<0相乘，展开式中出现SKIPIF1<0有两种情况，第一种是SKIPIF1<0中选出3个SKIPIF1<0和2个1，第二种是SKIPIF1<0中选出4个SKIPIF1<0和1个SKIPIF1<0，所以展开式中含有SKIPIF1<0项有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0,故答案为：B例题3．（2022·山东滨州·山东省北镇中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例题4．（2022·陕西宝鸡·宝鸡中学校考模拟预测）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是___________（用数字作答）【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0展开式通项为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0展开式通项为：SKIPIF1<0；则当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【提分秘籍】二项式定理中，三项展开式中具体某项，两个式子相乘展开式中具体某项是考试的重点，通项公式是重要解题工具.【变式演练】1．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）SKIPIF1<0的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（

）A．33 B．34 C．35 D．36【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中，一次项的系数为SKIPIF1<0，常数项为SKIPIF1<0，所以一次项的系数与常数项之和为SKIPIF1<0，故选：D2．（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．280 B．35 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展开式的通项为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知SKIPIF1<0的展开式中常数项为121，则实数SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可知，二项式SKIPIF1<0的展开通项SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，此时的常数项为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，此时的常数项为SKIPIF1<0所以，展开式中的常数项为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<04．（2022·广东广州·统考一模）已知SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是20，则实数SKIPIF1<0__________.【答案】2【详解】解：因为SKIPIF1<0则展开式中SKIPIF1<0的系数是SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0.故答案为：2.5．（2022·河南安阳·模拟预测）已知SKIPIF1<0的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中SKIPIF1<0的系数为___________．【答案】240【详解】因SKIPIF1<0的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则SKIPIF1<0，其所有项的系数和为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是得展开式中SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0，所以展开式中SKIPIF1<0的系数为240.故答案为：240题型九：古典概型【典例分析】例题1．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）某校为落实“双减”政策；在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】四个同学，四个不同的项目，所有可能的方案数为：SKIPIF1<0恰有两人参加同一活动的方案根据分布计数原理：第一步，从四名同学中选两人安排一个项目；第二部，剩下的两名同学各安排一个项目则SKIPIF1<0所以恰有两人参加同一活动的概率为：SKIPIF1<0故选：C例题2．（2022·全国·模拟预测）2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有SKIPIF1<0种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有SKIPIF1<0种,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为SKIPIF1<0，故选：B例题3．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为___________.（用分数作答）【答案】SKIPIF1<0【详解】每种汤圆都至少取到1个的包括2个芝麻馅，1个花生馅，1个豆沙馅；1个芝麻馅，2个花生馅，1个豆沙馅以及1个芝麻馅，1个花生馅，2个豆沙馅，故每种汤圆都至少取到1个的概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例题4．（2022·山东聊城·统考一模）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】3张邮票中有1张“冰墩墩”邮票和2张“雪容融”邮票的情况有SKIPIF1<0种，有2张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票的情况有SKIPIF1<0种，有1张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票和1张其他邮票的情况有SKIPIF1<0种，3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【提分秘籍】一般地，设试验SKIPIF1<0是古典概型，样本空间SK