广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题【含答案解析】

2023年秋季学期广西示范性高中高二期中联合调研测试数学本卷满分：150分，考试用时：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算即可求解.【详解】.故选：C2.设集合，，，则（）A或 B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】结合补集并集定义直接求解.【详解】由题可知，∴.故选：D3.在中，是边上的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】因为是边上的中点，所以，即.故选：A4.已知非零向量，，，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别判断是否成立，从而得到结论.【详解】由得：可知“”是“”的充分条件；当时，时，不一定相等可知“”是“”的不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，属于基础题.5.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合，代入即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，所以.故选：B.6.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（）A.圆与圆公共弦所在直线的方程为B.圆与圆有两条公切线C.是圆与圆的一条公切线D.圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2【答案】C【解析】【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D.【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为，半径.因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误；对于选项C，圆心到直线的距离；圆心为到直线的距离，所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确；对于选项D，圆心到直线的距离，所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.故选：C7.已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于4，且，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆离心率，可设，，在中结合余弦定理，面积公式可以求出，进而求出椭圆方程.【详解】因为椭圆离心率为，故可设，，则椭圆的方程为.由椭圆的定义可知，，在中，，由余弦定理可知，所以，即，所以，又因为，，所以，所以，解得，所以椭圆的方程为.故选：C8.在中，边上的高等于，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，利用直角三角形边角关系求出，再利用诱导公式及和角的余弦公式计算得解.【详解】令的内角所对边为，过作于，则，在直角中，，，则，从而，在直角中，，从而，，在中，，所以.故选：D二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质判断AB，举反例排除C，利用基本不等式判断D，从而得解.【详解】对于选项A，，选项A错误；对于选项B，因为，选项B正确；对于选项C，当，时，满足，但，选项C错误；对于选项D，当时，，当且仅当时，即时，等号成立，选项D正确.故选：BD.10.函数，记，则下列说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时，的值可能为 D.当时，的值可能为【答案】AD【解析】【分析】数形结合，利用一元二次方程及指数方程求解，逐项判断即可.【详解】作出函数的图象：结合图可知：当时，，是一元二次方程的两个不等实根，根据韦达定理得，选项A正确，选项B错误；当时，或，解得或或，所以所有可能的取值为：，，3，故选项C错误，选项D正确.故选：AD11.如图，平行六面体的底面是菱形，且，，则下列说法正确的是（）A. B.与所成的角大小为C. D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简，可判定A正确；由向量的数量积的运算公式，求得，可判定B错误；根据向量的模的计算公式，求得，可判定C正确；求得平面的一个法向量，结合距离公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，则，所以与所成角大小为，所以B错误；对于C中，，所以，所以C正确；对于D中，由B选知：，同理可得，又由，且平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，因为，所以点到平面的距离为，所以D正确.故选：ACD.12.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，椭圆的右顶点为，双曲线的渐近线方程为，椭圆与双曲线在轴上方相交于，两点，则（）A.B.C.D.直线、分别交轴于点、，若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据离心率公式计算离心率判断AB，设，，直接计算判断CD.【详解】由双曲线的渐近线方程可知：，对于选项A，，选项A正确；对于选项B，，选项B错误；对于选项C，设，，则，即，椭圆的右顶点为，∴，选项C正确；对于选项D，直线：与轴的截距为；直线：与轴的截距为，所以，选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线：与直线：垂直，则______.【答案】1【解析】【分析】由两直线垂直的条件求解.【详解】由得：，解得：.故答案为：1.14.底面半径为4的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为2，高为3的圆锥，所得圆台的体积为______.【答案】【解析】【分析】根据相似可得高，进而利用圆锥的体积公式即可求解.【详解】设原圆锥的高为，则，则，.故答案为：15.已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则函数在上有且只有______个零点.【答案】8【解析】【分析】由最小正周期求得，对称轴可得，进而求得解析式，结合函数图象可求零点.【详解】由函数最小正周期为得：，解得：，因为函数图象关于直线对称，所以，即，，又，∴，∴，∵，∴，结合函数的图象得所求零点个数为8.故答案为：816.已知双曲线左右焦点分别为，，过直线在第一象限与双曲线相交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则双曲线的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】根据题意，设，利用由双曲线的定义，求得，，，分别在和中，由余弦定理，列出方程，求得关系式，即可求解.【详解】因为且，可设，则，由双曲线的定义，可得，所以，所以，，，分别在和中，可得，整理得：，所以双曲线的离心率为.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线的方程为.（1）求过点与直线平行的直线的方程；（2）求直线被圆截得的弦的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：设与直线平行的直线方程为，将点坐标代入方程可得答案；法二：设所求直线方程为，将点坐标代入方程可得答案；（2）法一：求出圆心到直线的距离，由可得答案；法二：直线方程与圆的方程联立求出交点坐标再求弦长可得答案.【小问1详解】法一：设与直线：，即与平行的直线方程为；将点代入方程得：，解得：，∴设所求直线方程为；法二：设所求直线方程为，将点代入方程得：，解得：，∴设所求直线方程为；【小问2详解】法一：圆可化成，得圆心为，半径，圆心到直线的距离，∴；法二：联立，消得：，解得：，，∴直线与圆的交点为，，∴.18.的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知，.（1）求的值（2）若，求边.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用面积公式表示出三个正三角形的面积，代入到，然后根据余弦定理求即可.（2）由正弦定理知，由（1）求出，代入即可求得边.【小问1详解】依题意，，同理，，因为，所以，即，由余弦定理得：；【小问2详解】因为，，所以，由正弦定理，得：，又，所以，所以.19.2023年东盟博览会于9月在南宁举办.某电视台对本市15~65岁的人群随机抽取100人，并按年龄段分成6组，如频率分布直方图所示.抽取的人需回答“2023年是第几届东盟博览会”的问题，回答问题的正确情况如表格所示.组号分组回答正确人数回答正确的人数占本组的频率第1组50.5第2组18第3组0.9第4组90.36第5组30.2根据上述信息，解决下列问题：（1）求表格中，值，并估计抽取的100人的年龄的中位数（中位数的结果保留整数）；（2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求这2人都不在第2组的概率.【答案】（1），；42岁（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质求得，，再求出频率0.5对应的值即为中位数；（2）由频率分布直方图求出人数，再由分层抽样的定义求出相应的人数，然后用列表法列出样本空间中样本点，计数后计算出概率.【小问1详解】，，第1、2、3组的频率依次为：0.1，0.2，0.3，因为的频率为，的频率为设中位数为，则，解得所以中位数的估计值为42岁.【小问2详解】由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为，；第3组抽取（人），记为，，；第4组抽取（人），记为法一：该试验的样本空间为，记事件“这2人都不在第2组”，则，故，即这2人都不在第2组的概率为；法二：从这6人中随机依次抽取2人，则样本空间包含的样本点个数为，记事件“这2人都不在第2组”，则事件包含的样本点的个数为，故，即这2人都不在第2组的概率为.20.如图，在四棱锥中，，，底面，且，，点是的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，或者根据平行四边形，由线线平行求证线面平行，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解夹角，或者证明线面垂直，利用几何法求解夹角.【小问1详解】法一：∵底面，∴，，又，如图建立直角坐标系，则，，，，，易知：是平面的一个法向量，∴，又平面，∴平面.法二：取的中点，连接，，由，分别是，的中点得：，，在四边形中，，，∴，又，∴，，即四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】方法一：∵底面，∴，，又，如图建立直角坐标系，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得：，是平面的一个法向量，∴，故平面与平面的夹角的余弦值为；方法二：延长、交于点，则平面平面，∵底面，底面,∴，又，且，平面,∴平面，过点作，为垂足，连接，由于平面，平面，所以,平面,平面,平面,则，∴是二面角的平面角，由可知：是的中点，在中，，∴，在中，，，故平面与平面的夹角的余弦值为.21.设双曲线的左、右顶点分别为、，右焦点为，已知，.（1）求双曲线的方程及其渐近线方程；（2）过点的直线与双曲线相交于，两点，能否是线段的中点？为什么？【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，解得，结合关系式可求，进而得解；（2）可联立直线与双曲线方程，求得韦达定理，结合和中点公式可判断；也可采用设而不求法求得，得直线斜率，进而求得直线方程，联立直线与双曲线方程，验证可判断.【小问1详解】由，，可得：，解得：，,∴，∴双曲线方程为，渐近线方程为；【小问2详解】法一：由题意可知：过直线的斜率存在.设直线的方程为，联立，消得：，由直线与双曲线相交于两点可得：，设，，则，若是线段的中点，则，解得：，此时，与矛盾，故不是线段的中点；法二：假设是线段的中点，其中，，则，∵，在双曲线上，∴，①②整理可得：，即，∴直线的方程是，即，联立消得：，即，，故不是线段的中点.22.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，两点.（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆正半轴上的焦点，过的直线与椭圆相交于，两点，过作轴的垂线交直线于点，试问是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）过定点，【解析】