河北省邢台市信都区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题【含答案解析】

2023-2024学年第一学期期中考试九年级数学试题（冀教版）考试范围：23-26章说明：1．本试卷共6页．满分120分．2．请将所有答案填写在答题卡上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每小题3分，7~16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.一元二次方程的一次项是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其各项的概念，掌握一元二次方程的一般形式中，叫做方程的二次项，其中a是二次项系数，叫做方程的一次项，其中b是一次项系数，c叫做方程的常数项；根据一元二次方程中的为一次项求解即可．【详解】解：一元二次方程的一次项是，故选：C．2.两个相似三角形的周长比是．则其相似比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是，∴这两个三角形的相似比是．故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．3.欣欣商店在一段时间内销售了四种饮料共100瓶，各品牌饮料的销售量如表，根据表中数据，建议该商店进货数量最多的品牌是（）品牌甲乙丙丁销售量（瓶）15301243A.甲品牌 B.乙品牌 C.丙品牌 D.丁品牌【答案】D【解析】【分析】根据众数的意义即可得到答案．【详解】解：在四个品牌的销售量中，丁的销售量最多故选D．【点睛】本题属于基础题，考查了众数的概念，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题关键．4.如图，若坡角，则斜坡的坡度为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查了坡度的定义，根据坡度是坡角的正切值，即可求解．【详解】解：坡角，则斜坡的坡度为，故选：B．5.把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（）A.扩大4倍 B.保持不变 C.缩小4倍 D.扩大2倍【答案】B【解析】【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍，∴各角的大小不变，即大小不变．∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，∴锐角A的余弦值保持不变．故选B．6.如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，则的对应线段是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解．【详解】解：依题意，的对应线段是,故选：C．7.如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据位似的性质，连接并延长，观察交点即可求解．【详解】解：如图所示，连接并延长，∴的位似图形是．故选：C．【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．8.小明、小刚、小桐和小凯比赛谁投球比较远，每人投3次，结果如图所示．这四名同学中，（）投球的平均成绩大约是8米．A.小明 B.小刚 C.小桐 D.小凯【答案】D【解析】【分析】根据图形分别判断出小明、小刚、小桐和小凯的平均成绩的情况，然后可得答案．【详解】解：由图可得，小明有2次成绩小于8米，1次成绩略大于8米，则平均成绩小于8米；小刚三次的成绩都大于8米，则平均成绩大于8米；小桐有2次成绩小于8米，1次成绩等于8米，则平均成绩小于8米；小凯有1次成绩小于8米，1次成绩大于8米，1次成绩略大于8米，则平均成绩大约是8米；故选：D．【点睛】本题考查了统计图的有关知识，正确理解题意，会分析平均成绩的大概情况是解题的关键．9.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题，大意为：粮仓开仓收粮，有人送来米1785石，验得米内夹谷，抽样（取米）一把，数得378粒内夹谷18粒，则该人送来的这批米内夹谷约为（）A.85石 B.95石 C.100石 D.105石【答案】A【解析】【分析】利用概率的意义能求出结果．【详解】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1785石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得378粒内夹谷18粒，这批米内夹谷约为：（石）．故选：A．【点睛】本题考查用样本估算总体，掌握概率的意义是解答本题的关键．10.如图，在边长为的方格纸中，与交于点，其中、均为所在正方形小方格一边的中点，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点作于点，根据题意得出，根据正切的定义即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了求正切，熟练掌握正切的定义是解题的关键．11.如表是某公司员工月收入的资料：月收入/元45000180001000055005000340033001000人数111361111能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（）A.众数和中位数 B.平均数和中位数 C.平均数和众数 D.平均数和方差【答案】A【解析】【分析】结合表格数据差异较大分析即可得解【详解】∵这组数据中有差异较大的数据，求平均数会导致平均数较大，∴利用中位数与众数可以更好地反映这组数据的集中趋势．故选择：A【点睛】本题考查了众数，中位数，解题的关键是分析数据特征，理解并掌握中位数及众数的定义．12.如图，洋洋一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向，则下列说法正确的是（）A.B地在C地的北偏西40°方向上 B.A地在B地的南偏西30°方向上C D.【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质及方向角的概念、特殊角的三角函数值逐项判定即可．【详解】解：如图所示：由题意可知，∠BAD=60°，∠CBP=50°，∴∠BCE=∠CBP=50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；∵∠ABP=60°，∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B错误；∵∠ACB=90°-∠BCE=40°，故C错误．∵∠BAD=60°，∴∠BAC=30°，∴sin∠BAC=，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形-方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（）．A.15 B.16 C.17 D.18【答案】A【解析】【分析】根据方程的判别式大于0，即可求出的取值范围，问题随之得解．【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．14.如图是一把圆规平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作交于点，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出．【详解】解：作交于点，，平分，点是的中点，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．15.某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20件，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若可列方程为，则表示的实际意义是（）A.每件衬衫的售价 B.每件衬衫售价降低的金额C.每星期卖出衬衫的数量 D.每星期卖出衬衫增加的数量【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，代数式的意义，根据方程中表示的是单件的利润，即可求解．【详解】解：依题意，中，表示的实际意义是每件衬衫售价降低的金额故选：B．16.在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A.两人都对 B.两人都不对 C.嘉嘉对，淇淇不对 D.嘉嘉不对，淇淇对【答案】A【解析】【分析】根据相似与位似的定义进行判断即可．【详解】解：由题意知，嘉嘉向外扩张得到的新的正方形的边长为3，且仍为正方形，故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．淇淇向外扩张得到的新的正方形的边长为，且仍为正方形，故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．故两人说法正确，故选：A．【点睛】本题考查了相似与位似．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）17.某组数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是___________．【答案】2【解析】【分析】根据方差公式可直接得出答案．【详解】解：∵方差计算公式为，∴这组数据的平均数是2，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了方差公式，一般地设n个数据，平均数为，则方差．18.将方程配方成的形式，则．_____，_____.【答案】①.－5,②.9.【解析】【分析】利用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行解题即可【详解】方程左右两边同时加9，得即，即a=-5,b=9【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟悉完全平方公式是解题关键19.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上，每本书的厚度为，高度为，书架宽为．（1）________（2）________【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用；先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【详解】解：由题意得：，，，，在和中，，，，设，则，∴，解得，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），即，故答案为：，．三、解答题（本大题共七个小题，满分72分，解答题应写出必要的解题步骤、文字说明或证明过程）20.已知线段，（1）求的值；（2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长；【答案】20.21.【解析】【分析】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键；（1）根据题意直接可得结果；（2）根据比例的性质可得，进而即可求解．【小问1详解】解：【小问2详解】∵线段是线段，的比例中项，，，∴，解得：，又∵线段长是正数，∴．21.小明在解方程时出现了错误，解答过程如下：∵，，，（第一步）∴（第二步）∴（第三步）∴，（第四步）（1）小明解答过程是从第______步开始出错；（2）写出此题正确的解答过程．【答案】（1）一（2）正确的解答过程见解析，x1=4，x2=1【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．【小问1详解】解：原方程化为：∴，，∴第一步出错．【小问2详解】解：原方程化为：∴a=1，b=－5，c=4，∴b2－4ac=（－5）2－4×1×4=9∴x=∴x1=4，x2=1【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．22.数学活动小组到某景点测量标志性建筑古塔的高度，如图，他们在地面上处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至处，测得仰角为60°，点、、在同一直线上．（身高忽略不计，结果不取近似值）（1）求证：（2）求塔的高【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用—仰角俯角问题；（1）根据三角形的外角的性质可得，进而根据等角对等边即可得出；（2）解，即可求解．【小问1详解】解：证明：∵，，∴，∴；【小问2详解】∵，∴，又∵，∴，∴该塔高为．．23.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点．（1）当点恰好为中点时，______．（2）若矩形的周长为，求出的长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，中位线的性质，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比；（1）根据三角形中位线定理，可得到．（2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长．【小问1详解】解：∵为中点，，∴为的中位线，∴．故答案为：．【小问2详解】解：∵四边形为矩形，∴，∵，∴，∴∴．∴四边形为矩形，∴，，∵矩形的周长为∴，∵，∴，∴，∴，∴24.张老师为了了解她所教1班、2班本学期课外名著阅读情况，分别从两班随机抽取20名同学进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图．（1）1班课外名著阅读情况扇形统计图中“7本”所在扇形的圆心角是___________；请补充2班课外名著阅读情况中“9本”的条形统计图；（2）已知2班阅读数量的平均数为6本，方差为7.6，请你计算1班的平均数和方差，并判断哪个班阅读情况比较稳定；（3）从2班所选样本中选取名同学的阅读数量．并与1班样本组成一组新数据，发现新数据的中位数小于原1班样本的中位数．若取最小值时，求这名同学的阅读量和的最大值．【答案】（1），9本所对应的数字为4，图见详解（2）1班阅读情况更稳定（3）36本【解析】【分析】（1）由乘以所占百分比可得，再由总人数减去其他即可得出“9本”的数即可（2）求出平均数，和方差即可；（3）根据中位数的定义即可得出结论．【小问1详解】解：扇形图中“7本”类对应的圆心角度数为，故答案为：；2班课外名著阅读情况中“9本”为条形图如下：【小问2详解】解：1班平均数为（本）方差为（）∵，∴1班阅读情况更稳定．【小问3详解】解：把1班数据按从小到大顺序排列4、4、5、5、5、5、6、6、6、6、6、6、6、6、7、7、7、7、8、8，发现中位数为6本，加入2班名同学后中位数变小，要使这名同学的阅读量的和最大，且最小，则应加入4个5和4个4，此时新数据中位数为本．所以为8，这名同学阅读量的和为本．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及方差中位数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25.劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图①，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．（1）求正方形区域的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度．【答案】（1）原正方形空地的边长为（2）小道的宽度为【解析】【分析】（1）设原正方形区域的边长为，则原来矩形的长为，宽为，然后根据矩形面积公式列出方程求解即可；（2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长为，宽为的矩形，后根据矩形面积公式列出方程求解即可．【小问1详解】解：设原正方形区域的边长为，则原来矩形的长为，宽为，依题意得，解得，