九年级数学全册知识讲解及巩固练习：由平行线截得的比例线段知识讲解

PAGE由平行线截得的比例线段知识讲解责编：康红梅【学习目标】掌握平行线截线段成比例的基本事实及应用；2、理解并掌握通过平行线截比例线段的基本事实等分一条已知线段；2、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式成立.要点诠释：上图的变式图形：分A型和X型；A型X型则常用的比例式：依然成立.要点二、把已知线段AB五等分.已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.作法以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.要点诠释：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.【典型例题】类型一、平行线截线段成比例1.（2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A． B． C． D．【思路点拨】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【答案】C．【解析】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．举一反三【变式】如图,在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求证:【答案】∵DG∥EC,∴,∵EG∥BC,∴,∴,即.2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）.A.B.13C.D.【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例的基本事实列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解．【答案与解析】在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，

根据勾股定理，AC=BD===，

∵EF∥AC∥HG，

∴，

∵EH∥BD∥FG，

∴，

∴=1，

∴EF+EH=AC=，

∵EF∥HG，EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=．

故选D．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出是解题的关键，也是本题的难点．.3.如图，AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.求证：DE∥BC.【答案与解析】延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH

∵BM=MC

∴四边形BPCH是平行四边形

∵BH∥CD，CH∥BE

在△ABH和△ACH中，

有，∴DE∥BC

【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三

【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴,即.4.如图已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.

【答案与解析】∵AB=AC，AD⊥BC

∴BD=DC

∵DN∥CP

∴BN=NP又AM=MD

∴AP=PN==2cm【总结升华】此题利用平行线截线段成比例的基本事实，结合中点定义找出线段的比值，进而求出线段的长.举一反三【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）B.2C.D.【答案】D.提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=.5把已知线段a(如图)三等分.【答案与解析】作法1.把已知线段a的两端点分别标注字母A，B，再以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A35.