2021年新高考数学模拟试题练习-第5章第4讲 数列求和及数列的综合应用

2021年新高考数学模拟试题专题练习一

第四讲数列求和及数列的综合应用

夯基础考点练透

1.［2021石家庄市重点高中模拟］已知1,a.,a,3成等差数列，1,b„b,b,4成等比数列，则中的值为

223匕2

()

A.2B.-2C.+2D.-

4

2.［2020江西红色七校联考］在正项数列｛a,,｝中，a产2,且点P(lna,„Ina,“)(nWN*)在直线x-y+ln2=0上.若

数列｛a,J的前n项和S.满足S)200,则n的最小值为()

A.2B.5C.6D.7

3.［2020贵阳市高三模拟］定义Y-为n个正数5,uz,U3,…，5的“快乐数”.若已知正项数列｛aj的前n项

总叫

的“快乐数”为三,则数列｛,。｝的前2021项和为()

3n+l(an+2)(an+1+2)

.2020D2021「2021n2021

2021202220201011

4.［2021蓉城名校联考］已知数列｛aj对任意m,n£N*都满足—+a,且ai=l,若命题

"VneN*,入a,W就+12”为真,则实数人的最大值为.

5.［2021河北六校第一次联考］已知数列｛aj为正项等比数列,ai=l,数列｛b』满足

b2=3,aibi+a2b2+asb3+,・・+anbn=3+(2n-3)2n.

⑴求an；

⑵求｝的前n项和T”.

%bn+i

6.［2021黑龙江省六校阶段联考］已知S“是等差数列｛aj的前n项和,S3=15,a.•a2=a7.

⑴求an；

(2)若匕=2"+(-1)"-a„,求数列｛b.｝的前n项和T„.

7.［原创题］记S”为数列｛4,｝的前n项和，已知apl,S„ti+l=2a„+n+S„,数列｛bj满足b„=a„+n.

⑴求｛bj的通项公式；

(2)令cn=(l+b„)log2b„,求数列｛cj的前n项和T®

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提能力考法实战

8.［2021洛阳市联考］己知数列｛a,,)的首项ai=3,前n项和为Sn,am=2Sn+3,nGN*.设b“=log3ag则数列｛旦｝的

an

前n项和L的取值范围为()

A.［p2］B.2)

C.［；,；)D.(ij

9.［2020南昌市模拟］已知数列｛a,,)的前n项和为S,„a„=3S„-3,若对任意的m,n2M,S-SjWM恒成立,则实

数M的最小值为.

10.［2020山东泰安模拟］意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列

数：1,1,2,3,5,8,13,….其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组

成的数列｛a,｝称为斐波那契数列.那么。什破+W+-+返。”是斐波那契数列中的第________项.

a

2019

11.［2020天津，15分］已知｛a“｝为等差数歹ij,｛b“｝为等比数歹iJ,aFbi=l,a5=5(a「a3),b5=4(b「b3).

⑴求｛aj和｛b.｝的通项公式；

(2)记｛a„｝的前n项和为S„,求证:S$"2<S^+i(nGN*);

(①"Xn为奇数，

⑶对任意的正整数n,设心=1/必+z求数列｛cn｝的前2n项和.

n为偶数，

国创新预测

12.［向量与数列综合］如图5-4-1,点D为aABC的边BC上一点，丽=2沆,E0(nWN*)为AC上一列点,且满

足:聒=(3a„-3)腐+(-r?-n+l)用,则2+三+上+…+上=

的a2a3an

13.［2021湖南四校联考］等差数列｛a.｝(ndN*)中,a“az,a3分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且

其中的任意两个数不在表格的同一列.

第一列第：列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

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⑴请选择一个可能的｛a.,a%aj组合,并求数列｛a„｝的通项公式.

⑵记⑴中您选择的｛a„｝的前n项和为S,„判断是否存在正整数k,使得a.,&,Sm成等比数列?若存在,请求

出k的值;若不存在,请说明理由.

答案

第四讲数列求和及数列的综合应用

目I夯基础•考点练透

1.A由等差数列的性质知l+3=ai+az=4.由等比数列的性质知状=1X4=4,.",=±2.由于等比数列中奇数项

符号相同，偶数项符号相同，二从=2,.•.巴鲁=2,故选A.

匕2

2.1)将点P的坐标(Inan,InaQ(n£N*)代入x-y+ln2=0中，可得&-2an,所以｛aj是首项为2、公比为2

的等比数列,s„-2(1^n)-2'lH-2.令S„>200,则2"”>202,所以n的最小值为7.

12

3.B设数列｛an｝的前n项和为Sn,则根据题意,得Sn=3n+n,ai=Si=4,an=Sn-Sn-i=6n-2(n22),当n=l时

Sn3n+l

也满足上式,所以a„=6n-2,所以,二一所以阿石沪二｝的前2021项和

(an+2)(an+i+2)6n(6n+6)n(n+l)nn+1(an+2)(an+1+2)

,i1,，T1,12021

2232021202220222022

4.7令m=l,则a„+尸①+ai,an+En二由二1,所以数列｛aj为等差数列，所以an二n,所以XanWa?

n+12nXn，2+i2=入Wn+号又函数y=x+苫在(0,2取)上单调递减,在[2煦+8)上单调递增，当n二3

时，入<3+芋当n-4时，入W4+芋=7,所以n+上的最小值为7,所以人的最大值为7.

34n

5.⑴令n=l,得aibi=3+(2-3)X2=l,所以b尸1.

令n=2,得aibi+a2b2=7,所以a2bk6,又b2=3,所以a2=2.

设数歹U｛aj的公比为q,贝Uq=£=2,所以a„=2"\

(2)当nN2时，ab+a2b2+…+aribu-i=3+(211-5)2"\①

又ab+a2b2+a3b3+…+aM=3+(2n-3)2\②

=ln=

所以②-①得anbn3+(2n-3)2"-[3+(2n-5)2"]=(2n-l)2\得bn=2n-l,n=l时也成立,所以bn2n-l.

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___1__._____1_____上(_!—

bnbn+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l'

所以T，弓（代）+••/（亳-备）

23352n12n+l

三（1-意

_n

2n+l'

6.(D设等差数列｛aj的公差为d,

由S3=a]+a2+a3=3a2=15,得a2=5,

又ai,a2=a7,(a2-d)•a2=a2+5d,即5(5-d)=5+5d,解得d=2.

an=a2+(n-2)X2=2n+1.

(2)由题意得壮=22向+(-1)”(2n+l)=2X4%(-1)n-(2n+l),

.\T„=2X(4'+42+-+4n)+[-3+5-7+9—•+(-l)n(2n+l)]=^-^-iE-3+5-7+9—•+(-l)n(2n+l)].

令G„=-3+5-7+9—•+(-1)n(2n+l),neN*,

则当n=2k(kWN*)时,G„=2X^=n,

此时T,*；*n；

当n=2k-l(keN*)时，G„=2X^-(2n+l)=-n-2,

此时TfT)—n-2.

+n(n=2fc,fc^N*),

AL-

8(4n1)-n-2(n=2/c-l,keN*).

-

7.⑴由Sn+l+l=2an+n+Sn,得Sn11Sn=an.l=2an+n-1,

所以&i+i+(n+1)=2(an+n),即bn+i=2bn,bi=a)+1=2,

所以数列｛b0｝是首项为2、公比为2的等比数歹U,

所以b„=2•2"T=2”.

(2)由⑴得心=(1+2")logz2"=n(l+2")=n+n•2",

所以T„=d+c2+-+cn=(1+2+…+n)+[2+2X2、3X2，+…+(n-1)X2"'+nX2"][2+2X2,3X2,+…+(n-

1)X2'"+nX2n].

设M„=2+2X22+3X23+-+(n-l)X2"''+nX2",①

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则2M„=22+2X23+3X2'+—+(n-1)X2n+nX2"',②

①-②,f1-M„=2+22+23+-+2"-nX2nH,

所以Mn=(nT)X2"'+2.

所以T“上Z+(n-l)X2"”+2.

2

目〕提能力•考法实战

8.C由a„,1=2S„+3,可得当n22时，有&=2$1计3,两式相减得a.「a”=2(S「S”)=2a“(n22),故

an+i=3&n(n22).

又当n=l时,a2=2Si+3=2ai+3=3ai,

所以数列匕力是首项为3、公比为3的等比数列,故an=3".

所以bn=log3an=n,所以豆=白

an3

所以*+舁…+篝嗫，①

舁…+翳+提，②

①一②,得1*+*+导…+京_券

化简整理得T0q4(|+n)•(3”.

因为(|+n)•针＞0,所以T6又所「T"器＞0,所以数列｛TJ是递增数列，所以(")mm=T号所以,WT14故

T“的取值范围是百：)，选C.

34

9.—因为an~3Sn—3,所以当n22时，an-i=3Sn-i—3,所以①-an-尸3an(r)22),a=—~3n-i(n^2),又由an-3Sn—3得

42n

a.=|,所以数列｛aj是以g为首项、彳为公比的等比数列,所以S0=t手=「(-，,则|S『S』=|(W)n-(T)”|.

因为数歹lj｛(-，｝的项依次为f；，福喜，…，所以对任意的m,nGN*,SS|=|(-1)--(-1)»|^|-1-11=2所以

M泞,故实数M的最小值为；

44

=

10.2020解法一,依题意得a尸a2=l,an+2=an+1+an,则an+ian+2~an,

两边同乘以anu,得成+i=&川•an^-an•an.i,

则谖019二42019a2020~O.2018a2019,018二改018a2019~32017a2018,

谖017=az017a2018~32016a2017,Q芬a2a3—a包,又Qa二a的,

+a+a

因此遽oi92oi820]7+・・・+a\+a==a2020a20%

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叩域+a升送+…+谖01”

即----------------@2020,

a2019

故返+连+运+…+立.是斐波那契数列中的第2020项.

a2019

解法二空返芷=2=a3，业泊=3±=3=a,，

a21a32

W+好+境+若_仔+12+22+32__

3小，

猜测瑞+谴+…+编招加由此可知，曲it*年二a?。?。.

ana2019

IL(1)设等差数列｛aj的公差为d,等比数列｛bn｝的公比为q.

由ai=l,35=5(a-a3),可得d=l,从而｛atJ的通项公式为an=n.

2n

由bpl,b5=4(b-b3),qWO,可得q~4q+4=0,解得q=2,从而｛b,J的通项公式为bn=2\

22

(2)由(1)可得故S„S„,2=in(n+l)(n+2)(n+3),S2+1=i(n+l)(n+2),从而Sr,S^S^+1=-

244

|(n+l)(n+2)<0,所以S"S"2〈SMI

(3)当n为奇数时,c,J3a，「2)坛二(372)2”1丝£12.

anan+2n(n+2)n+2n

当n为偶数时，心就嗤

对任意的正整数n,有

"n92k^2k-2#n

EiC2k..=kE(-)土不T,

nn

和Ec2k二E以)+U..+也①

k=lk=l4〃4424.3471

由①得译c**+a…+*+舒②

4k=14Z434n4n+1

由①②得:Ec2k[W+…哈号/9票，从而得£C2k^-等.

4k=14424n4n+144n+1k=l99x4n

4

2nnn

4n_6n+5_4

因此XCk=EC2k-i+Eck=

k