2022-2023学年衡水中学高三数学上学期四调考试卷附答案解析

2022-2023学年衡水中学高三数学上学期四调考试卷

本试卷分第I卷(选释题)和第口卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分，考试时间120

分钟。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

遮目要求的.

1.已知2=管，则z在发平面内时应的点位于

A.实轴hB.虚轴h

C.第•、三象限的知平分线上D.第二、四家限的角平分线上

2.已知向殳a,b满足|a|=2,b=(l,1).|a+b|=x/To.则向量a在向髭b上的投影向量的坐标

为

A.(y,y)B.(1,1)C,(-1,-1)D.(邛净

3.住R在4BC中,4=90°,8=60、48=2.则称罚=

A.-4B.4C.-8D.8

4.已知A,B,C为平面内任意一点，则“近4元的夹角为钝角"是"|而+而|<|品的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.2000多年前，古希腊雅典学派的笫三大算学家欧道克#斯苜先提出黄金分割，所诅黄金分割京，

指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等了另一部分与这部分之比，黄金分

割I匕为与1.如图，在矩形4BCD中，4CUBD相交于点。，BFLAC.DHLAC,AE±BD,CG1

BD,“.点E为线段B。的黄金分割点，则瓦尸=-----------~y7\

A.:型一证+型罚B.^二BA+^:BGY\<：Y

C.竽而+胃1丽D.^BA+^BG£Z__V____S___A__A

6.已知复数z满足z・2+4i・2=5+ai,则实数a的取值范围是

A.[-4,4]B.[-6,6]C,[-8,8]D.|-12,12]

1

7.已知点P是44BC所在'I'面内一点，有卜列四个等式:

①可+而+近=0；②可•(可・而)=元•(可-丽)；

③|西|=\PB\=|PC|；@R4PB=PBPC=PCPA

如果只有一个等式不成立，则该等式为

A.①B.②C.③D.④

8.对于给定的正整数n,设集合X”={1,23…,n),AUX.,HA*机记/(4)为集合A中的最大元案,

当4取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有/(4)的和记为S(n),则S(2023)=

A.2023x22023+1B.2023X2202Z+1

C.2022xZ2022+1D.2022X22023+1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.设非零向量a,b的夹角为dc为任意非零向量，定义运算a*b=|a||b|sin&.则下列结论正确

的是

A.若a*b=0.则a〃bB.a»(h+c)=a*b+a»c

C.2(a*b)(a-6)=a262sin20D.若同=网=1,则a*b的最大值为1

10.已知复数Z1，Z2满足％|“Z2|#0,则下列结论正确的是

A.若%|=|z2|,则Zi=±z2B.|zi+z2|<|zj+|z2|

C.若区|=%|,则/=z/D.\ZlZ2\=\Zx\-\22\

H.如图放置的边长为I的正方形48G)的顶点4,。分别在x轴的正半轴、

y轴的非负半轴上滑动，则丽•瓦的值可能是

A.1B.-1C.2D.-2

12.已知函数/(x)及其导函数/''(X)的定义域均为凡若对任意的x,y€R,都自/(x+y)+/(x-y)=

2/(x)-/3),则下列结论正确的是

A./-(0)=1B./(x)4-/(0)>0

C.4/(1)=则立皆/(n)=lD..(灯必为奇函数

2

第n卷(非选择题共兆分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知葺?=3则z的虚部是.

14.若函数/(x)=asinx+cosx的图象关于耳线x=9对称，则实数a=_____.

6

15.在44BC中，|而|=|而|=|而-而户是线段BC上的动点，有下列一:个结论：

®2\AP\>V3|4B|；②而•祝N而•近：③而•丽N近

则所有正确结论的序号是.

16.己知向量a.b.c满足|川=1,h=-2a.\c-b\=2\c-a\.则向量c-b与a的夹角的最大

值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

设复数Zi=l—i,z?=cos。+isin®,其中。6[0,可.

(1)若复数z=%z?为实数.求9的值；

(2)求同+Zz|的取值范困.

18.(12分)

记ZL48C的内角4,B.C的对边分别生a,b,c,ti知2MBe的夕卜接回径R=您，

且tanB+tanC=.

cosC

(1)求B和b的值；

(2)求。48c面积的最大值.

19.(12分)

如图，在平行四边形4BCD中，4B=2,AD=3,LBAD=pE为CD的中点，

AF=AAD{0<4^1).A---------------7C

(1)若荏J.乔，求实数4的值：/\

(2)求丽•丽的取值范围.，/

3

20.(12分)

已知函数/1(x)=ax3+bx2-3x+c为奇函数，且在区间(-8,-1)上单调递增，在区间(一1,1)h

单调递减.

(1)求/(*)的解析式：

(2)若过点A(l,m)(m#-2)可作曲线y=f(x)的：条切线，求实数用的取值范围.

21.(12分)

治理垃圾是某市改善环境的重嘤举措.2021年该市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣

科、环保处理等•系列拈施，预计从2022年开始.连续5年，每年的垃圾排放量比上年减少

20万吨，从第6年开始，年年的垃圾排放最为上•年的75%.

(1)写出该市从2022年开始的年垃圾排放量与治理年数n(neN)的表达式；

(2)设4为从2022年开始n年内的年1,均垃圾捋放量.如果年、|'均垃圾排放鼠呈逐年下降趋势,

则认为现有的治理措施是有效的：否则.认为无效.试判断现有的治理措施是否有效，并说明

理由.

22.(12分)

(2知函数f(x)=ln(x+1)-1.

⑴证明:f(x-1)<2Vx-3：

(2)设函数gQ)=(x+l)/(x)-1ax2+l,若g(x)在区间(0,+8)上存在最大值，求实数a的取位

范围.

4

数学参考答案

一、选择题

I.C【解析】因为Z=整=（；3臂一?=誓=1+j,所以Z住且平面内对应的点的坐标为（1,1）,

位于第一、三象限的角平分线上.

2.B【解析】由b=（1,1）,得向=仔乔=&,则|a+b|=，aZ+12+2a・b=

V|a|2+|/j|2+2ab=V10,即4+2+2a♦b=10,则a•b=2,所以向量a在向宽。上的投影向

量的坐标为喘痛=b=（l.l）.

3.A【解析】因为4ABe为直角三角形，且A=90",8=60。，AB=2,所以BC=4,且<A反沅>

=120°,-\AB\­\BC\cos120°=2X4x（-1）=-4.

4.B【解析1设同与正的夹角为火［0,可）,当。为钝角时，|丽+北|2一|近产=|通+旅产-

\AC-AB\2=4ABAC<0,所以+AC\<\BC\-.当|4g+AC\<|的时，须+AC］2<\AC-

同产.所以4布•尼<0,即而•亚<0.故cos0<O，所以gcHSTT,所以“而与元的夹先

为钝角”是U\AB+AC\<|HC|"的充分不必要条件.

5.D【解析】由题急得前一早丽，显然BE-DG,80-OD-^BD,所以罚=（2-竽）前一

等前，微前=鼻前=盛_［梆,因为8卢=正+布一以+早4小=前+*（而一

瓦<）=匕亚丽+直二所，所以^;二上立瓦（+它前.

2225

6.D【解析】tftz=x+W，yeft,则M+y2+4i（x-yi）=5+ai,壑埋得—+丫2+4、+4xi=

5+ai.所以｛：：?：+"=5,即y2+4y+\-5=0.因为此方程有实根.所以4=16-4（5一

5）20,解得一124a412.

7.B【解析】对于①，设BC的中点为D,连接PD.则丽+玩=2万.又可+而+1=0.所以

PB+PC=-PA,所以m=-2万，故点P为ZL4BC的重心；对于②，由西•（而一而）=无一

（PA-PB）,得（万一丽）・备=瓦5-三5=0,故A8J.AC,即4A8C为直角二角形：对于③，由

点P到44BC三个顶点的即檎相等，得点P为A4BC的外心：对丁,④，由丽•丽=丽,无，得（同一

PC）PB=CAPB=0,同理可得而•无=而・对=0,所以4clpB,AB±PC,BC1PA,

即点P为4ABe的垂心，当448C为等边二角形时,王心、外心、垂心重合，此时①@④均成立,

②不成立，满足要求：当②成立时，其他二个均不一定成立.

5

8.D【解析】根据题意知4为集合及的小空子集,满足/(A)=1的集合只有I个，即⑴;满足"4)=2

的集合有2个，即{2},{1,2)；满足/(A)=3的集合有4个，即{3},{I,3},{2,3J,{L2,

3)：……：满足/(4)=n的集合有211T个,所以S(n)=1+2x2+3x2?+.•.+〃・2时】，则

2s(n)=1x2+2x2?+3x23+…+(九-1).2时】4n-2n,两式相减得一S(n)=1+2+

22+...+211-1-n-2n=2n-1-n-2n,所以S(n)=(n-1)・2〃+1,所以S(2023)=

2022x22023+i.

二、选择题

9ACD【解析】对于A.因为a*b=|a||b|sind=0>所以sing=0.解得8=0或6=n,所以。〃8,

故选项A正确；对于B，不妨取a=(1,0),b=(0,1),c-(0,-1).设a4b+c的夹角为a.。与

c的夹角为。,则a♦(b+c)=|a||b+c|sina=1x0x0=0,a♦d+a♦c=|a||d|sin^+

|a||c|sin3=1x1x14-1x1x1=2,此IHQ*(b+c)Ha*b+a*c,故选项B钳误：对于C,

2(a♦b)(a-b)=2(|a||/?|sin0)(\a\\b\cosO)=2|a|2|b|2sin^cos0=azb2sin20.故选项C正确;

对丁D,当|a|=|b|=l时，a»b=\a\\b\sin0=sin0<1.当且仅当&=g时取等修，所以

(a*b)max=L故选项DH：确.

10.BD【解析】设Z[=l+i,z2=V2*>则Z|=|z?|==(1+i)?=2i,z乡=(，5i)2=—2,

不满足z1=±Z2,也不满足z：=zt故选项AC错误：对于B.设Zi，Z2在爱平面内对应的向

员分别为西，西，且西，西工0,由向量加法的几何意义知|西+西|4|西|+|西

故Wi+zzl+%|+%],故选项B正确;对+D,设句=a+bi,Z2=c+di,a,b,c.dWR,

且Q,b,c,d字0,则2次2=(Q+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以Iz^ZzI=

y/(ac—bd)2+(ad4-be)2=>/(ac)2+(bd)2+(ad)24-(be)2,|z1|•|zzl=Va24-/72-Vc2+d2=

J(QC)2+(bd)2+(ad)?+(be)?=|z1z2|»故选项D止：确.

11.AC【解析】设N04D=火0W6V》，因为40=1,所以。4=cos。,0。=sin仇NZMx=]—仇

故盯=cos0+cos(^-0)=cos0+sine,%=sin(-0)=cos8.所以丽=(cos0+

sin0,cos0).同埋可得C(sin8,cosJ+sin8),所以沆=(sin。,cos6+sin6),所以砺沅=

(cos0+sinB,cosO')•(sin0,cos6+sin8)=1+sin26.因为0<^<p所以0<sin20<1,

则10南•沅W2,故用,瓦的值可能是I,2.

12.BC【解析】对于A,令％=y=0,由/a+y)+/(x-y)=2f(x)・r(y),得2/(0)=2严(0),

6

故/•(())=0或7•(())=1.故选项A错误；对于B,令x=y,则/'(2x)+/(0)=2严(幻，故/'(2x)+

/(0)>0.因为X6R,令t=2x,t€R,所以/«)+f(0)20,即/'(x)+/(0)N0.故选项B

正确；对于C,令x=l,y=0,则/"(1)+f(l)=2/(1)•/(()),石/(1)=点则f(O)=l；令*=

y=1,则f(2)+f(0)=2户(1),E|Jf(2)+1=1.所以/'(2)=-3令x=2,y=1.则/'(3)+

/(I)=2/(2)•/(l),即/3)+：=-1,所以/(3)=T：令x=3,y=l,则/(4)+f(2)=2/(3)•

/(l),即/(4)一：=-1,所以/'(4)=一/令x=4,y=1,则/"(5)+〃3)=2/(4)•/"(1),即

/(5)-l=-i,所以/(5)=右令x=5,y=l,则/(6)+/(4)=2/⑸，/⑴，即/(6)-；方

所以/'(6)=1；令x=6,y=1.则/'(7)+f(5)=2/'(6)•/(I),即/"(7)+g=l,所以/"(7)=

|.....由此可得/(n),nGN•的值有周期性，目周期为6.乂/'(1)+/(2)+”3)+/(4)+/(5)+

-6)=0,所以=337x[/(I)+/(2)+/1(3)+f(4)+/(5)+/'(6)]+/(1)=故选

项C正确:对TD>令x=0,则f(y)+f(-y)=2/(0)-/(y).当/'(0)=。时，f(y)+f(—y)=，

即/w+f(-幻=0,则r(x)-r(-x)=o,即/■‘(*)=「(一外，所以/'(X)为偶函数，故选项D

错误.

三、填空题

13.1【解析】设z-a+bi(a,beR),由梨=人得2(a+尻)-1=i(l+a+加)，即2a-1+2bi=

-b+(a+l)3所以色：-1瓦解得[一]，所以z=：+9,故z的虚部是:.

，(2D=a+1,h—1555

\一5

14.4【蟀析】因为困数f(x)=asinx+cosx的图象关了直线x=对称.所以/(x)=asinx4-cosx

36

在x=如寸取得坡值，结合辅助角公式得fG)=±VFT1,即；a+W=士衍口，整理得3a2-

6622

2>/3a+1=(V3a—I)2=0.解得a=yjk

15.①【解析】因为所|=|近|=|而-荷=|函，所以448C是等边二角/\

形，取8c的中点为。，连接/。，以O为坐标原点，8c所在的直线为xB―才C：

轴，。/所在的立线为y轴，建立平面直角坐标系如图.设|南|=2,则

4(0,75),B(-l,0),C(l,0),P(x,0)(-1<x<1),所以而=(即一6)，而=(一1,一百)，所以

(2|西)2-(百坪1)2=4x220,即2|明2百所故①正确;屈.前-而.前=-1+3-

7

(x+3)=-l-xe[-2,0],故(^错误：而,而一而・丽=-*+3—(*+3)=-2为€[—2,2],

故③错误.

16.&【解析】由|c-b|=2\c-a\.得|c-b\=2\c—b+b—a|.乂由b=-2a,得2](c-b)-3al=

22

|c一M，则4[(c-by-6Q•(c-b)+9a]=(c-即(c-b)-8Q•(c—b)+12=0,即

a.(c_b)=S所以cos<a,c—b>=^=*¥2^^=亭,当且仅当

''8|a||c-6|8|c-Z>|8|c-b|2

(c-b)2=12时取等号，所以向至c-b与a的夹知的最大值是3

6

四、解答题

17.解：(1)z=zt•z2=(1+0,(cos3+isin3)=(cos8-sin0)+(cos8+sin6)i(2分)

若复数z=—・句为实数,则cos。+sin8=0

故tan8——1.(3分)

乂OW[O,R,所以(4分)

(2)因为为=1-i,z2=cosfi+isin0

所以区+数|=|1—i+cos0+isinO|=|(1+cosO')+(―1+sin0)i|

=J(1+cos8)2+(―1+sin8)2=-3+2cos8—2sin8

=j3+2&cos(e+》(6分)

又8e[0,nJ,所以e+qeg,争

所以一14cos(0+：)W等(8分)

则J3-2&W%+zz|MV5

RP>/2-1<|zx+z2|<V5

故IZ1+Z2I的取值范围是[2-L、图.(10分)

18.解：(1)因为Lm8+tanC=^,所以吗+与=—

cosCcosBcosCcosC

即sinBcosC+cosZJsinC=V2sinAcosB,

故sin(B+C)=V2sinAcosB(2分)

因为力+B+C=/r,所以sinA=COS/?

8

乂sinA^O,所以cos8=弓，因为所以B=：(4分)

由正弦定理得就=2R,则b=2x&x亨=2.(6分)

(2)由余弦定理/-a2+c2-2accosB,得4=a2+c2-V2ac

由基本不等式得4=a2+c2-\/2ac>2ac—V2ac.

当且仅当a=c时取等号，

所以ac4当=2(2+&)，(10分)

所以ZABC=gacsinB=jac<x2(2+41)=1+x/I

故448CUn积的最大值为1+V2(12分)

r

19.解：⑴在平行四边形中,B_______________7c

AB=2,BC=AD=3,NB4D//\

建立如图所示的平面直角坐标系，/.

AFDx

则A(0,0),D(3,0),8(1,6)，C(4,V3).(2分)

乂E为CD的中点，所以隹净，则而-g净

因为丽=4而，所以F(3九0),则而=(3,-1,-75).(4分)

因为荏1前，所以荏■屏!=0

即gx(3"1)+苧x(-75)=0,解得入=景(6分)

(2)由⑴知户(340),呜泉，BF=(3A-1,-V3),则丽=(13若)(8分)

所以前-F?=(3A-1)•(^-3A)-1=-9A2+-^-5=-9(4-T+.

因为0W/IW1，所以当入卷时，而展取得最大值为今

当a=0时，BF•屋取得最小值为一5,

故而•丽的取值范围是［-5,白(12分)

16

20.解：(I)因为函数/(工)=aO+b。-3》+c为R上的奇函数,

所以/"(0)=0，即C=0，所以f(%)=g3+收2-3文

又“T)=-f(外

9

所以-a^+bx?+3x=-ax^-bx?+3x,则b=0(2分)

乂f(x)在区间(-8,-1)上单调递增，在区间(-1,1)上单调递减，

所以/=一1处取得极大值，

因为/(x)=ax3—3x,f\x)=3ax2-3

所以/''(-1)=0,即3Q-3=0,解得a=1(4分)

所以f(x)=x3-3x,经检验符合题意.(5分)

⑵由(1)知/'(x)=x3-3x,所以点*-2)

不在曲线y=/(x)上，目/'(X)=3x2-3.

设切点为M(x(),yo),则%=就一3%，f'｛x0)=3(x§-1)

故切线的斜率满足3(就-1)-安宇,整理得2君-3就+m+3-0.

因为过，点A(Lm)可作曲线y=/(x)的三条切线，

所以关丁x的方程2/—3/+zn+3=0万•二个实根.(7分)

设g(x)=2x3-3x2+m+3,则g'(x)=6x2-6x

令g[x)<0,得0<x<l：令g<x)>0,/x<0或x>l

所以g(x)在区间(-8,0),(1,+s)上单谓递增，在区间(0,1)上单调递减，

所以g(x)的极大值点为x=0,极小值点为x=1(9分)

所以关于x的方程2/-3/+m+3-0有一个实根的必要条件是乜,；

解得一3Vm<-2(10分)

此时9(—1)=m—2<-4<0.g(2)=m+7>4>0

所以*-3<m<一2时，关于x的方程2x3—3/+m+3=0有一.个实根.

故实数m的取值范围是(-3,-2).(12分)

21.解：(1)设治理n年后，该市的年垃圾排放量构成数列｛a.｝

<n<5时，｛a.｝是首项为由=200-20=180,公差为-20的等差数列，

所以%=为+(n-l)d=180-20(n-l)=200-20n.(2分)

当nN5时,数列｛a一是以恁为首项,公比闿的等比数列,

n-sn-s

所以%=a5<j=100x(2)(4分)

,(200-20n,1<n<5,

所以a”=1100x(?之n>6,(5分)

10

(2)现有的治理措施是有效的，理由如卜.：

设Sn为数列｛厮｝的前n项和，则4n=3，

n+ana

plytA_%i$n_nSn.i-(n+1)Sn_(^nn*_n+i-^n

即LJA+1-/in-----n(n+1)------诉------

_(a“+i-ai)+(an+i-a2)i+(an+Lan)

n(n+1)(8分)

由(I)知314nW5时，an=200-20n,所以｛斯｝为递减数列；，分)

ns

当n>6时，an=100x(1)-,所以｛斯｝为递施数列，

且以06<。5,所以当neN•时,｛斯｝为递减数列，

故斯+1-。1<°，斯+1-。2<°，…，an+l-an