2022年湖南省湘潭市湘潭县青山中学中考数学模拟试卷

2022年湖南省湘潭市湘潭县青山中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号

涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）

1.（3分）-3的相反数是（）

A.-3B.--C.|-3|

3

2.（3分）下列立体图形中，左视图是三角形的是（）

3.（3分）下列计算正确的是（）

235235532

A.a+a=aB.（a）=aC.aH-a=aD.3a-2ci=\

4.（3分）一元二次方程39-2x-l=0根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

5.（3分）已知一组数据：6,2,8,x,7,它们的平均数是6,则这组数据的中位数是（

）

A.6B.2C.8D.7

6.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

C.2个D.1个

7.（3分）正比例函数y=fcr（k/0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=的

图象大致是（）

X

A.B.

8.（3分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，湘潭某家小

型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与

小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每

小时分拣x个物件，则可列方程为（）

12090„12090C12090C12090

AA.--------——D.------------——C.-----U.-----

x-20xx+20xxx-20xx+20

二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24

分）

9.（3分）若分式标的值为零，则x的值是—.

x—2

10.（3分）因式分解：—.

II.（3分）为庆祝建党70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，

七年级准备从三名男生和二名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等,

则选出的恰为女生的概率是—.

12.（3分）2020年来爆发的新冠疫情打乱了全球各国的发展节奏.我们中国在党中央的领

导下，利用中国社会主义制度优势，以生命至上的人权理念，在无数医护人员的拼命奋战下

取得举世抗疫成就.但在一些资主义国家消极抗疫政策下.截至2022年3月17日，全球累

计确诊462058428人.用科学记数法表示为人.（精确到0.01）

13.（3分）连接四边形各边中点所得到的新四边形是—.

14.（3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CA=CB,43=2,过点C作CD_LAB,

垂足为。，则CD的长度是—.

15.（3分）如图，直线Zl=60°,Z2=4O°,则N3=

a

1

b

16.（3分）定义：如果一个数的平方等于-1,记为/=—1,这个数，•叫做虚数单位，把形

如4+〃的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部.它的加、减、

乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似.

例如计算：（4+i）+（6-2i）=4+6+i-2i=10-i

(2-0(3-z)=6-2/-3z+r=6-5/-1=5-5/

根据以上信息计算（1+2/）（2-/）+（2-if=—.

三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程

写在答题卡相应位置上，满分72分）

17.（6分）计-算：（-1）2020-V8+4cos450-（夕'.

18.（6分）先化简再求值：（x-三+J-2,其中x满足f+x—2=（）.

x+1x2+2x+l

19.（6分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度飞机上的测量人员在C处

测得A、8两点的俯角分别为45。和30。.若飞机离地面的高度C”为1200米，且点H、A、

3在同一水平线上，求这条江的宽度AB.（参考数据：血=1.414,73«1.732,结果精确

20.（6分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情

况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选取一类最喜欢的电视节目，以

下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.

类别ABCDE

节目类型新闻体育动画娱乐戏曲

人数1230549

（1）被调查学生的总数为人，统计表中m的值为—，统计图中〃的值为一.

（2）求统计图中E类所对应扇形的圆心角.

（3）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢新闻节目的学生数.

20%

21.（6分）如图，矩形中，£是AD的中点，延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分N88时，写出8c与C£>的数量关系，并说明理由.

22.（6分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗.节日期间，小邱家包了三

种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A）,豆沙粽子（记为硝，肉粽子（记为C）,

这些粽子除了馅不同，其余均相同.粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个

红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽

子和一个豆沙粽子.

根据以上情况，请你回答下列问题：

（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？

（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一

个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一

个是豆沙粽子的概率.

23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，M与x轴的正半轴交于A、3两点，与y轴的

正半轴相切于点C,连接M4、MC,已知M半径为2,ZAMC=60°,双曲线y=±（x>0）

经过圆心

（1）求双曲线y=K的解析式;

（2）求直线的解析式.

Bx

24.（8分）某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计

划.

（1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花279元，购买10本A图

书比购买6本5图书多花162元，请求出A、5图书的标价；

（2）“读书节”期间书店计划用不超过3680元购进A、8图书共200本，且A图书不少于

50本，A、B两种图书进价分别为24元、16元；销售时准备A图书每本降价1.5元，3图

书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？

25.（10分）如图1,AABC中，ZABC=45°,A"于点”，点。在AH上，且£归=C”，

连结8D.

（1）求证：BD=AC;

（2）将绕点H旋转，得到（点3,。分别与点E,尸对应），连接AE.

①如图2,当点尸落在AC上时（产不与C重合），若C尸=1,tanC=3,求AE的长；

②如图3,当是由&3/忆＞绕点”逆时针旋转30。得到时，设射线CF与AE■相交于点G,

连接G”,试探究线段G4与所之间满足的数量关系，并说明理由.

H

图2

26.（10分）已知抛物线G：y=-3（x-iy+4与抛物线G：＞=-（x-b）2+&的顶点相同.

（1）求抛物线C2解析式的一般形式;

(2)已知点3的坐标为(-2,3).

①问题探究：在y轴上是否存在点使线段Affi绕点〃逆时针旋转90。得到线段MB',

且点B'恰好落在抛物线G上，若存在，求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

②问题应用：在y轴上存在点P,使线段总绕点P顺时针旋转90。得到线段P8,且点B'恰

好落在抛物线G上，请直接写出点尸坐标.

2022年湖南省湘潭市湘潭县青山中学中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号

涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）

1.（3分）-3的相反数是（）

A.-3B.--C.|-3|D.-

33

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，由此即可得

到答案.

【解答】解：-3的相反数是|-31=3.

故选：C.

【点评】本题考查相反数，绝对值的概念，关键是掌握相反数的定义，绝对值的意义.

2.（3分）下列立体图形中，左视图是三角形的是（）

EE口4

【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形.

【解答】解：A、该图形左视图是正方形，故此选项不合题意；

3、该图形左视图是矩形，故此选项不合题意；

C、该图形左视图是中间有一条虚线的矩形，故此选项不合题意；

。、左视图是三角形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在

三视图中.

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.（a2）3=a5C.a5-e-a3=a2D.3a—2a=l

【分析】根据合并同类项法则可判断选项A和。，根据积的乘方法则可判断选项B，根据

同底数基的除法法则可判断选项C.

【解答】解：A.不是同类项，不能合并，选项A不符合题意；

3.（/）3=〃，选项3不符合题意;

c.a5^a3=a2,选项C符合题意：

D.3a-2a=a,选项。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查了合并同类项，积的乘方以及同底数幕的除法，掌握相关的法则是解

题的关键.

4.（3分）一元二次方程3/-2x-l=0根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断.

【解答】解：△=（-2）2-4X3X（-1）=16>0,

.•.方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程以2+法+。=0（“二0）的根与△=/-4"有

如下关系：当△>◊时，方程有两个不相等的实数根：当△=（）时，方程有两个相等的实数

根；当时，方程无实数根.

5.（3分）己知一组数据：6,2,8,x,7,它们的平均数是6,则这组数据的中位数是（

）

A.6B.2C.8D.7

【分析】首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解.

【解答】解：数据6,2,8,x,7的平均数是6,

「.6+2+8+元+7=6x5,

解得：x=7,

这组数据按照从小到大的顺序排列为：2,6,7,7,8,

则中位数为7；

故选：D.

【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺

序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数

据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据

中所有数据之和再除以数据的个数.

6.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断.

【解答】解：第1个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

第2个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

第3个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

第4个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意.

共3个图形符合题意.

故选：B.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确把握相关定义是解题关键.

7.（3分）正比例函数y=伙*0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=的

【分析】根据正比例函数的性质可得出4>0,进而可得出-&<0,由1>0,-4<0禾U用一

次函数图象与系数的关系，可找出一次函数丫=》-上的图象经过第一、三、四象限，此题得

解.

【解答】解：.•正比例函数），=fcv（AxO）的函数值y随x的增大而增大，

:.k>0,

—k<0.

又1>0,

.•.一次函数y=的图象经过第一、三、四象限.

故选：B.

【点评】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“％>0,

万<0oy=6+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键.

8.(3分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，湘潭某家小

型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与

小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每

小时分拣x个物件，则可列方程为()

1209012090「1209012090

A.B._r—D._

x-20xx+20xxx-20xx+20

【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

12090

x+20x

故选：B.

【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分

式方程.

二、填空题(本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24

分)

9.(3分)若分式小工的值为零，则x的值是-2.

x-2~~

【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

【解答】解：若分式上的值为零，则x+2=0且x—2片0,

x-2

...X的值是-2,

故答案为：-2.

【点评】本题主耍考查了分式值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少.

10.(3分)因式分解:x3y2-x3=—x3(y+l)(y-l)

【分析】先提取公因式V,再利用平方差公式分解可得.

【解答】解：原式=x3(y2_l)=x3(y+D(y_1),

故答案为：x3(y+l)(y—1).

【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握

一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，再利用公式法分解.

11.（3分）为庆祝建党70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，

七年级准备从三名男生和二名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等,

则选出的恰为女生的概率是--

一5-

【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数+所有可能出现的结果数.

【解答】解：选出的恰为女生的概率为二一=2.

3+25

故答案为：

5

【点评】本题考查了概率，掌握概率公式计算是关键.

12.（3分）2020年来爆发的新冠疫情打乱了全球各国的发展节奏.我们中国在党中央的领

导下，利用中国社会主义制度优势，以生命至上的人权理念，在无数医护人员的拼命奋战下

取得举世抗疫成就.但在一些资主义国家消极抗疫政策下.截至2022年3月17日，全球累

计确诊462058428人.用科学记数法表示为_4.62、1（）8_人.（精确到0。1）

【分析】根据科学记数法定义解答.

【解答】解：462058428«4.62xlO8.

故答案为：4.62x10s.

【点评】本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法的定义是解题的关键.

13.（3分）连接四边形各边中点所得到的新四边形是平行四边形.

【分析】连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等

于对角线的一半，即一组对边平行且相等.则新四边形是平行四边形.

【解答】解：如图：

根据中位线定理可得：GF=>BD宜GFUBD,EH=>BD且EH//BD,

22

/.EH=FG,EHHFG,

：.四边形是平行四边形.

故答案为：平行四边形.

【点评】本题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况,掌握中位线定理是解题的关键.

14.（3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CA=CB,AB=2,过点C作CD_LAB,

垂足为。，则C£）的长度是1.

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质解决问题即可.

【解答】解：•.CA=CB.ZACB=90°,CDLAB,

：.AD=DB,

:.CD=-AB=],

2

故答案为1.

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

15.（3分）如图，直线a//b,Zl=60°.Z2=40°,则/3=_80。_.

【分析】根据平行线的性质求出N4,根据三角形内角和定理计算即可.

【解答】解：al1b

.■.Z4=Z1=6O°,

.'.Z3=l80°-Z4-Z2=80°,

故答案为：80°.

【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是

解题的关键.

16.（3分）定义：如果一个数的平方等于-1,记为『=-1,这个数，叫做虚数单位，把形

如a+6的数叫做复数，其中°叫做这个复数的实部，匕叫做这个复数的虚部.它的加、减、

乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似.

例如计一算：(4+i)+(6-2i)=4+6+i—2i=10—i

(2-z)(3-z)=6-2z-3/+«2=6-5z-l=5-5z

根据以上信息计算(1+2/)(2-Z)+(2-i)2=_7-/_.

【分析】认真读懂题意，掌握新定义，利用新定义计算.

【解答】解：(l+2i)(2-z)+(2-02=2-/+4/-2r+4-4z+r=2+3z+2=7-z.

故答案为：7-i.

【点评】本题考查了实数运算的新定义，解题的关键是掌握新定义，利用新定义计算.

三、解答题(本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程

写在答题卡相应位置上，满分72分)

17.(6分)计算：(-1)2020-^+4cos45°-.

【分析】利用乘方运算，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数累计算.

【解答】解：(_l)2020-V8+4cos45o-(^)-1

=l-2V2+4x--2

2

=1-2直+2嫄-2

=-1.

【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方运算，算术平方根，特殊角的三角

函数值，负整数指数基.

18.(6分)先化简再求值：(x-三十2”一2，其中x满足f+x-2=0.

x+\x2+2x+l

【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最

简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值.

［解答］解：原式=Mx+D-3x.色士Di

x+1x-2

_x(x-2)(x+1)2

x+1x-2

=x(x+l)

=X2+XJ

x2+x-2=0,

.'.x2+x=2,

则原式=2.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.（6分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度43,飞机上的测量人员在C处

测得A、8两点的俯角分别为45。和30。.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点〃、A、

8在同一水平线上，求这条江的宽度他.（参考数据：V2«1.414,6al.732,结果精确

【分析】在RtAACH和RtAHCB中，利用锐角三角函数，用C4表示出AH、8H的长，然

后计算出43的长.

【解答】解：由于CD//HB,

ZCAH=ZACD=45°,NB=NBCD=30°,

在RtAACH中,

ZCAH=45°,

.\ZCAH=ZACH=45°,

AH=CH=1200(加)，

在RtAHCB,tanB=—,

HB

HB==1200=1200向附，

tan8tan30°

AB=HB-HA=\200g-1200=1200x(1.732-1)=878(/M).

答:这条江的宽度A8=878m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题.题目难度不大，解决本题的关

键是用含C4的式子表示出AH和8〃.

20.（6分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情

况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选取一类最喜欢的电视节目，以

下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.

类别ABCDE

节目类型新闻体育动画娱乐戏曲

人数1230m549

（1）被调查学生的总数为人，统计表中加的值为45,统计图中”的值为—

（2）求统计图中E类所对应扇形的圆心角.

（3）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢新闻节目的学生数.

【分析】（1）根据体育的人数除以体育所占的百分比，可得答案；根据娱乐的人数除以抽测

的人数，可得答案；

（2）根据圆周角乘戏曲所占的百分比，可得答案；

（3）根据局部估计总体，可得答案.

【解答】解：⑴30^-20%=150（人），

^=150-（12+30+54+9）=45,

54

—X100%=36%,

150

故答案为：45；36；

（2）统计图中E类所对应扇形的圆心角为：

9

—x360°=21.6°:

150

12

（3）2000x—=160（人），

150

答：该校最喜爱新闻节目的学生数160人.

【点评】本题考查了扇形统计图，掌握从扇形统计图，统计表中获取有效信息是解题关键.

21.（6分）如图，矩形ABCZ）中，E是4）的中点，延长CE,区4交于点连接AC,DF.

（1）求证：四边形AC"是平行四边形；

（2）当CF平分N3CD时，写出8C与8的数量关系，并说明理由.

【分析】（1）利用矩形的性质,即可判定=,即可得到8=E4,再根据CD//AF,

即可得出四边形ACDF是平行四边形；

（2）先判定△口»是等腰直角三角形，可得C£>=DE,再根据E是4）的中点，可得

4）=28,依据A£>=BC,即可得到3c=28.

【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，

AB//CD,

:.ZFAE=ZCDE,

E是AD的中点，

AE=DE，

又/FEA=NCED,

/.AE4E=ACDE(ASA),

:.CD=FA,

又CDHAF,

四边形ACD尸是平行四边形;

(2)BC=2CD.

证明：CF平分/BCD,

ZDCE=45°,

ZCDE=90°t

「.△COE是等腰直角三角形,

CD=DE，

后是4)的中点，

:.AD=2DE，

,\AD=2CDf

AD=BC,

:.BC=2CD.

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两

线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角

的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.

22.（6分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗.节日期间，小邱家包了三

种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A）,豆沙粽子（记为3）,肉粽子（记为C）,

这些粽子除了馅不同，其余均相同.粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个

红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽

子和一个豆沙粽子.

根据以上情况，请你回答下列问题：

（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？

（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一

个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一

个是豆沙粽子的概率.

【分析】（1）根据题意可以得到小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率；

（2）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题.

【解答】解：（1）由题意可得，

小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是：-=

42

即小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是1；

2

（2）由题意可得，出现的所有可能性是:

A。3O

A”AAAA「AB*：AC，

百BA。BA。B屏

oCA+CA。CB,CO

oCA*CA。co

二小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是：

16

【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，写出所有的

可能性，利用概率的知识解答.

23.(8分)如图，在平面直角坐标系中，M与x轴的正半轴交于A、3两点，与y轴的

正半轴相切于点C，连接M4、MC,已知M半径为2,ZAMC=60°,双曲线y=4(x>0)

X

经过圆心M.

(1)求双曲线y=V的解析式;

X

(2)求直线的解析式.

【分析】(1)先求出。”=2,再判断出四边形OCMN是矩形，得出MM,进而求出点M的

坐标，即可得出结论;

(2)先求出点C的坐标，再用三角函数求出4V,进而求出点B的坐标，即可得出结论.

【解答】解：(1)如图，过点〃作MTVLx轴于N,

.-.ZMNO=90°,

加切y轴于C,

...NOCM=90°,

■.NCON=90°,

/./CON=NOCM=NONM=90°,

二.四边形OCMN是矩形，

:.AM=CM=2,ZCMN=90°,

ZAMC=(A)°,

:.ZAMN=30°f

在RtAANM中，MN=AM•cosZAMN=2x—=,

2

:.MQ,而,

k

.双曲线y=—(x>0)经过圆心M,

x

.4=2x6=26,

・•.双曲线的解析式为y=亚。>0)；

X

(2)如图，过点B,C作直线，

由(1)知，四边形OCWN是矩形，

/.CM=ON=2>OC=MN=上,

.yo,G),

在RtAANM中，ZAMN=30°,AM=2,

.\AN=1,

MNLAB,

:.BN=AN=\,OB=ON+BN=3,

8(3,0),

设直线的解析式为y=，

3kr+b=0

「b=6，

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待定系

数法，求出点M的坐标是解本题的关键.

24.(8分)某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计

划.

(1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本3图书共花279元，购买10本A图

书比购买6本8图书多花162元，请求出A、8图书的标价；

(2)“读书节”期间书店计划用不超过3680元购进A、5图书共200本，且A图书不少于

50本，4、5两种图书进价分别为24元、16元；销售时准备A图书每本降价1.5元，3图

书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？

【分析】(1)根据“购买5本A图书和8本3图书共花279元，购买10本A图书比购买6

本B图书多花162元”列方程组解答即可；

(2)设购进A图书f本，总利润为w元，分别求出卬与/的函数关系式以及/的取值范围，

再根据一次函数的性质解答即可.

【解答】解：(1)设A图书的标价为x元，8图书的标价为y元.

根据题意得+=

[10x-6y=162

解得」

[y=18

答：A图书的标价为27元，3图书的标价为18元；

(2)设购进A图书f本，总利润为w元.

由题意得，

24/+16(200-/),,3680

解不等式，得f,,60

又一1..50,

.•.5斓60,

w=(27-1.5-24)r+(18-16)(200-r)=-0.5r+400,

-0.5<0,w随，的增大而减小，

.•.当f=50时，w有最大值.

答：A图书购进50本，B图书购进150本时，利润最大.

【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应

用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系，列出方程和不等式组求解.

25.（10分）如图bAABC中，ZABC=45°,A"_L8C于点”，点。在AH上，且=CH,

连结比〉

（1）求证：BD=AC；

⑵将绕点”旋转，得到AE//E（点3,。分别与点E,尸对应），连接AE.

①如图2,当点尸落在AC上时（F不与C重合），若C尸=1,tanC=3,求AE的长；

②如图3,当AEHF是由ABHD绕点、H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与他相交于点G,

连接G",试探究线段G”马斯之间满足的数量关系，并说明理由.

【分析】（1）先判断出A"=3",再判断出=即可；

（2）①先根据tanC=3,求出A"=3C”，然后根据AE”4sA/7/C,得到，AE=3CF,

可得结论；

②方法1、先判断出AAGQSAC”。，得到器=需，然后判断出AAQCsAGQH,用相似

比即可.

方法2、取砂的中点K,连接GK,HK,先证明GK=，K=」£F,再证明AGK”是等边

三角形即可.

【解答】（1）证明：在RtAAHB中,ZABC=45°,

；.AH=BH,

在和AAHC中,

AH=BH

ZBHD=ZAHC=90°,

DH=CH

BD=AC，

(2)解：①如图，

在RtAAHC中,

tanC=3,

.AH_

••----=3,

CH

ZA//C=Z£HF=90°,

.・.ZAHE=NCHF,

HA=HE,HC=HF,

:.^EHA^AFHC,

AEAH「

——=----=3,

CFCH

CF=1,

.・.A£=3；

②结论：EF=2HG.

方法1、如图1,

AEHF是由ABHD绕点H逆时针旋转30°得到,

；.HD=HF,ZAHF=30°

.・./CHF=90。+30°=120°,

由①有，A4£H和"HC都为等腰三角形，

・・.NGAH=ZHCG=3H

s.CGLAE,

点C,H,G,A四点共圆，

:.ZCGH=ZCAH,

设CG与AH交于点Q,

ZAQC=ZGQH9

「.AAQCSAGQ”，

.AC_AQ_1__

HGGQsin30°

AEHF