专题34 圆锥曲线中的综合问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题34圆锥曲线中的综合问题一、单选题1．已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．【解析】设椭圆左焦点为，连接，，，设，，结合椭圆对称性得，由椭圆定义得，，则.因为，，则四边形为平行四边形，则，而，故，则，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故选：A

2．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【解析】设，因为，所以，过点分别作准线于点，，由抛物线定义可知，由梯形中位线可知，

因为，所以，当且仅当时，等号成立，故，故，的最小值为.故选：B3．已知抛物线，点在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于、两点．直线、的斜率分别记为，，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由题意，，抛物线方程为，设，直线方程为，由得，，，，，，，所以．故选：B．4．设椭圆的左焦点为，为坐标原点，过且斜率为的直线交椭圆于，两点（在轴上方）.关于轴的对称点为，连接并延长交轴于点，若，，成等比数列，则椭圆的离心率的值为（

）A． B． C． D．【解析】解：如图所示：

设分别以OF，EF，OE为底，高为h，则，因为，，成等比数列，所以，即，设直线AB的方程为：，联立，消去y得，由韦达定理得：，直线BD的方程为：，令得，，则，则，即为，则，即，即，解得，则，故选：D5．已知椭圆，斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴左侧，且点在轴上方，点关于坐标原点对称的点为，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【解析】如图所示，作轴交于点，因为直线的斜率为，设直线方程为且，则，联立方程组，整理得，则，可得，，由，可得，所以，可得，则椭圆的离心率为.故选：D.6．已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【解析】由题意可知：，解得，又因为，可得，由直线与轴的交点的坐标为可得，在中，由余弦定理可得，可得，整理得，解得或（舍去），且，所以，由椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值，此时，且，则，所以，即.故选：A.

.7．已知过点的直线与抛物线交于，两点，点，则一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．有一个角为的三角形 D．面积为定值的三角形【解析】设，，过点的直线方程为，将直线方程与抛物线联立得：，，，，点，，，，所以，故B正确．当直线无限接近平行于对称轴时，显然，不一定是等腰三角形，同时无限接近，故AC不正确；点到直线的距离为，，不为定值．故D错误．故选：B．8．如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与双曲线左支的交点满足，则双曲线的渐近线方程为（

）

A． B．C． D．【解析】在中，由正弦定理得，①，在中，由正弦定理得，②，因为，所以，所以①式与②式相比，得，因为，所以，所以，设，则，由双曲线的定义得，，因为，所以，所以，解得，在中，由勾股定理得，所以，得，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：B二、多选题9．已知抛物线的焦点为F，，是C上相异两点，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，且，则C．若，则 D．若，则的最小值为【解析】对于A，因为，所以F为的中点，根据抛物线的对称性知，直线与轴垂直，所以，正确；对于B，因为，所以，即，又，所以，所以，解得或，错误；对于C，若，则，正确；对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，过点作准线的垂线，垂足为点，

由抛物线的定义得，则，当点N、A、M三点共线时，取得最小值，且最小值为.正确.故选：ACD.10．设为双曲线：上一动点，，为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是（

）A．若点，则最小值为7B．若过点的直线交于两点（与均不重合），则C．若点，在双曲线的上支，则最小值为D．过的直线交于、不同两点，若，则有4条【解析】由双曲线：，得，设，则，当且仅当时取等号，所以最小值为，故A错误；设两点坐标分别为，，所以，又因为，所以，故B正确；，故C正确；由双曲线：，可得通径长为，且实轴长，所以这样的直线有4条，故D正确.

故选：BCD11．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，延长交准线于【解析】抛物线的焦点为，准线为，则，由，得，对于A，当时，，则，，故A正确；对于B，当时，可得，，则，设直线，把代入，可得，令，则，同理，则，因为，所以，所以，故B错误；对于C，由B选项知，，故C正确；对于D，当时，，则，，，由选项A知，，，，故D正确．故选：ACD．

12．已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点，则下列说法中正确的有（

）A．的周长为B．若的中点为，则C．若，则椭圆的离心率的取值范围是D．若时，则的面积是【解析】由可知，；显然直线过点，如下图所示：

由椭圆定义可知的周长为，所以A正确；设，中点；将直线和椭圆方程联立，消去整理可得；由韦达定理可得，所以，代入直线方程解得，即；所以，可得，所以B错误；根据B选项，由可得，可得，即点在以为圆心，半径为的圆上；又点在椭圆上，即可得圆与椭圆有交点，根据对称性可知，即，所以可得离心率，即C正确；若时，由选项B可知联立直线和椭圆方程可得；所以可得；所以易知的面积即可得的面积是，故D正确.故选：ACD三、填空题13．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为．【解析】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且，，所以为等边三角形，所以由双曲线定义得，又由，解得，则且，在中，由余弦定理得，整理得，所以双曲线的离心率为.14．已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为．【解析】因为在抛物线上，所以，解得，所以．设．由，求导得，则直线，直线．由解得所以，又在直线上，得．所以．故答案为：

15．已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左、右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为【解析】连接，对称性知：四边形为平行四边形，故，由题意，，由面积公式得：，解得：，

由双曲线定义知：，在中，，解得：，所以，解得：，故，当且仅当，即时等号成立.16．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为．【解析】由可知，设，则，则，故，即①；又点在抛物线上，故②，且，即③，②联立得，得或，由于，故，结合③，解得，故抛物线方程为四、解答题17．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，，求证：为定值．【解析】（1）∵，∴，由离心率为得，从而，所以椭圆C的标准方程为．（2）

设，，则，可设直线PA的方程为，其中，联立，化简得，则，同理可得，．因为，．所以，所以是定值.18．在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上运动，过点与垂直的直线和的中垂线相交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设点是轨迹上的动点，点在轴上，圆内切于，求的面积的最小值.【解析】（1）设点为轨迹上任意一点，由题意知，，所以动点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，设其方程为，所以，即，故抛物线方程为，所以动点的轨迹的方程为.（2）设，，，且，所以直线的方程为．圆的圆心为，半径为，因为圆内切于△PRN，所以直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，则

①，因为，所以化简①得，

②，圆内切于△PRN，所以直线与圆相切，同理可得

③，由②③可知，为方程的两根，所以，又，，，所以，故的面积为，等号当且仅当，即等号成立，此时点的坐标为)或.故当的坐标为或时，的面积取最小值.

19．已知椭圆：．(1)直线：交椭圆于，两点，求线段的长；(2)为椭圆的左顶点，记直线，，的斜率分别为，，，若，试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【解析】（1）

将直线与椭圆方程联立，即，得，即，故；（2）设直线：，，，由得，，，又，，故，由，得，故或，①当时，直线：，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线：，过定点，，符合题意．20．已知双曲线的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知点，过点作直线与双曲线相交于两点，若，求直线的方程.【解析】（1）由题知，双曲线的一条斩近线为，则，又，所以，所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，，，由题易知直线的斜率存在，当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时直线与双曲线的交点为和，满足，符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，线段的中点为，联立，整理得，所以，即，所以，，，，因为，所以，所以，所以，又点在直线上，所以，所以，解得或，满足，所以直线的方程为或.综上，直线的方程为，或.

21．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.(1)求双曲线的方程；(2)过的直线与交于两点，过的左顶点作的垂线，垂足为，求证：.【解析】（1）的右焦点为，渐近线方程为，，，的方程为：；（2）设方程为，联立得：，，，设，则，，，，，直线与直线垂直，在中，，，即.

22．已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8.

(1)求椭圆的方程；(2)设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(3)以为圆心4为半径作圆，过作直线