第06讲 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第06讲二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.会用配方法将二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k，从而确定顶点坐标、对称轴.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用.3.会利用二次函数的对称性画出二次函数的图象.4.掌握二次函数字母系数与图象的关系.知识点1二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．一般式化成顶点式．对照，可知，．∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．知识点2二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，知识点3二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，知识点4二次函数图象和性质a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac＞0与x轴有两个交点b2-4ac＜0与x轴没有交点【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】【典例1】（2022秋•郊区期末）抛物线y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）【变式1-1】（2022秋•镇海区期末）抛物线y＝﹣3x2+6x﹣1的对称轴是（）A．直线x＝2 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣1【变式1-2】（2022秋•厦门期末）点A（0，5），B（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是（）A．（2，5） B．（2，4） C．（5，2） D．（4，2）【题型2:二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】【典例2】（2023•纳溪区模拟）把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3【变式2-1】（2023•纳溪区模拟）把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3【变式2-2】（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1【变式2-3】（2023•神木市一模）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为（）A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6【题型3：二次函数y=ax2+bx+c的性质】【典例3】（2023•成都模拟）下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（）①开口方向向上；②对称轴是直线x＝﹣4；③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【变式3-1】（2022秋•绵阳期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：x…1346…y…8182018…下列结论中，正确的是（）A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝4 C．当x＞4时，y随x的增大而减小 D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大【变式3-2】（2022秋•金水区期末）关于二次函数y＝x2+4x﹣1，下列说法不正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1） B．图象的对称轴在y轴的左侧 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5） D．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小【变式3-3】（2023•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…3﹣1m3…以下结论错误的是（）A．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣1） B．当x＞1时，y随x增大而增大 C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2 D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】【典例4】（2023•汉中二模）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，y2＜0，y4＞0，则下列结论正确的是（）A．y3y4＞0 B．y2y3＜0 C．y1y2＜0 D．y1y3＞0【变式4-1】（2023•宜州区二模）P1（﹣2，y1），P2（﹣1，y2），P3（3，y3）均在二次函数y＝x2+2x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y3＞y2 B．y1＝y2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3【变式4-2】（2023•邯郸模拟）已知点A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3图象上，若y1＜y2，则n的取值范围为（）A．n≤1 B．n＜2 C．1＜n＜2 D．n＞2【变式4-3】（2023•洞头区二模）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+c上的点，则（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2【变式4-4】（2023•南岗区模拟）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+1上的点，则（）A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≤y2【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】【典例5】（2022秋•江门校级期末）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或【变式5-1】（2023•山丹县模拟）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（）A．﹣2 B．﹣10 C．﹣6 D．6【变式5-2】（2022秋•江阳区期末）若函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，则实数a的值为（）A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4【变式5-3】（2022秋•盐山县校级期末）当y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（）A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9【变式5-4】（2022秋•和平区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（）A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2【题型6:二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】【典例6】（2023•兴庆区校级二模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝bx﹣a在坐标系内的大致图象为（）A． B． C． D．【变式6-1】（2023•绥化模拟）函数y＝ax2+bx+1和y＝ax﹣b（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A． B． C． D．【变式6-2】（2023•新都区模拟）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（）A． B． C． D．【变式6-3】（2023•拱墅区模拟）二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A． B． C． D．【题型7:二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】【典例7】（2023•梅州一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有如下结论：①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-2】（2023•广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【变式7-3】（2023•雁塔区校级三模）如图，直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＞0；④4a+2b+c＞0，正确的是（）A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【变式7-4】（2023•滕州市校级模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣42．（2021•河池）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（）A．对称轴是直线x＝ B．当﹣1＜x＜2时，y＜0 C．a+c＝b D．a+b＞﹣c3．（2022•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是﹣4．4．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．5．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为．5．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．6．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．1．（2023•高阳县校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（）A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（0，﹣3） D．（2，﹣3）2．（2022秋•云州区期末）已知点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在函数y＝x2+4x+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y23．（2023•拱墅区模拟）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2 C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣24．（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为（）A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝65．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（）A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞16．（2022秋•大连期末）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：x…12345…y…010﹣3﹣8…关于此函数有下列三个结论：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3．其中正确的结论个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023•鄞州区校级一模）二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（）A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣28．（2022秋•盐湖区期末）二次