专题1-4 根的判别式与根与系数的关系（原卷版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章一元二次方程》专题1-4根的判别式及根与系数的关系题型一利用根的判别式判断根的情况题型一利用根的判别式判断根的情况1．（2023春•蚌埠期中）一元二次方程x2+2＝2x根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根2．（2023春•海曙区期末）一元二次方程3x2+4x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定3．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根4．（2022•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况为（）A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根5．（2023•内乡县校级三模）已知a，c互为倒数，则关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为16．（2023•虞城县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定题型二利用根的判别式求字母的值或取值范围题型二利用根的判别式求字母的值或取值范围1．（2023•封丘县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．2 B．﹣3 C．﹣2或6 D．﹣3或52．（2023春•宣城月考）已知关于x的一元二次方程ax2+3x﹣4＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≥-916且a≠0 B．a＞-9C．a≥-916 D3．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝1时，用配方法解方程．4．（2023•五华县校级开学）已知关于x的方程x2+9x+25+m＝0，（1）若此方程有实数根，求m的取值范围；（2）在（1）条件下m取满足条件的最大整数时，求此时方程的解．5．（2022秋•平度市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2＝0．（1）若该方程的一个根为x=12，求实数（2）若该方程有实数根，求实数m的取值范围．6．（2022秋•临湘市期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．题型三利用根的判别式证明方程一定有根或无根题型三利用根的判别式证明方程一定有根或无根1．（2023•丰顺县开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．求证：方程总有两个实数根．2．（2022秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．求证：此方程一定有实数根．3．（2022春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0．（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．4．（2023春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．5．（2022秋•郾城区校级期末）已知关于x的方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求m的最小整数值．6．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．整理得：m2+m﹣2＝0，题型四利用根的判别式解决与三角形有关的问题题型四利用根的判别式解决与三角形有关的问题1．已知a，b，c是△ABC的三边，且方程以c（1﹣2x）﹣（x2﹣2x+1）b+ax2＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．2．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝7，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求三角形的周长．3．（2023春•鲤城区校级期中）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k+8）x+8＝0．（1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值．4．（2022•十堰模拟）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．5．（2023春•涡阳县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）．（1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；（2）若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．6．（2023•珠晖区一模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①当k为何值时？△ABC是等腰三角形；②当k为何值时？△ABC是以BC为斜边的直角三角形．题型五利用根与系数的关系求关于方程两根代数式的值题型五利用根与系数的关系求关于方程两根代数式的值1．（2023•南开区三模）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（）A．22 B．﹣22 C．﹣26 D．262．（2023•武昌区模拟）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则2m2m+n-A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣33．（2023•牧野区校级三模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m＝4，n2+n＝4，那么代数式3n2﹣mn﹣3m的值是（）A．19 B．18 C．16 D．154．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式x1A．4047 B．4045 C．2023 D．15．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）x12+x22；（2）（x1﹣3）（x2﹣3）；（3）x12﹣2x1+x2．6．（2022•苏州模拟）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1和x2，不解方程，求下列各式的值：（1）（x1﹣1）（x2﹣1）；（2）x2题型六利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值题型六利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值1．（2022秋•绵阳期末）已知关于x的一元二次方程kx（1）求实数k的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．2．（2023春•广水市月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数根m，使（x1﹣1）（由．3．已知关于x的方程kx2+（k+1）x+k4（1）当k＝4时，求解上述方程；（2）求k的取值范围；（3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．4．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是5．（2023春•蓬安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝5，求x2及m的值；（2）是否存在实6．（1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1、x2，且x1＞x2，求下列各式的值：①x1+x2；②1x（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=-32成立？若存在，求出题型七根的判别式与根与系数关系的综合应用题型七根的判别式与根与系数关系的综合应用1．（2023•荆门一模）已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若（a+1）（b+1）＝2ab﹣4，求m的值．2．（2022秋•赛罕区校级月考）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+201的值．3．（2023•顺庆区校级二模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝4时，设方程的根为x1，x2，求代数式(x14．（2022秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=31，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD5．（2023•南漳县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为x1，x2．请解答下列问题：①若x1＞0，x2＜0，求k的取值范围；②请判断x12+x6．（2023春•拱墅区校级期中）关于x的方程：x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）用含k的代数式表示|x1﹣x2|；（3）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|=3？若存在，试求出k题型八一元二次方程的整数根问题题型八一元二次方程的整数根问题（培优）1．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．2．（2023•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．3．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．4．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2