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文档简介
§8.2多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的定义域三、二元函数的几何意义一、多元函数的定义一元函数x.RxyoR.fD.f.xyzo.R.f(x,y)(x,y,z)I矩形的面积
S=x×y长方体体积
V=x×y×z二元函数三元函数多元函数图示R..n元函数一、多元函数的定义定义8
2(二元函数)
设D为一个非空的二元有序数组的集合
设
f
为一对应规则
使对于每一有序数组(x
y)
D
都有唯一确定的实数z与之对应
则称对应规则
f
为定义在D上的二元函数
记为
z
f(x
y)
(x
y)
D
变量x
y称为自变量
z称为因变量
集合D称为函数的定义域
也可以记为D(f
)
对于(x0
y0)
D
所对应的z值称为当(x
y)
(x0
y0)时函数z
f(x
y)的函数值
记为z
f(x0
y0)
或.全体函数值的集合{z|
z
f(x
y)
(x
y)
D}称为函数的值域
记为Z或Z(f
)
一、多元函数的定义定义8
2(二元函数)
设D为一个非空的二元有序数组的集合
设
f
为一对应规则
使对于每一有序数组(x
y)
D
都有唯一确定的实数z与之对应
则称对应规则
f
为定义在D上的二元函数
记为
z
f(x
y)
(x
y)
D
变量x
y称为自变量
z称为因变量
集合D称为函数的定义域
也可以记为D(f
)
全体函数值的集合{z|
z
f(x
y)
(x
y)
D}称为函数的值域
记为Z或Z(f
)
说明：类似可定义三元函数u
f(x
y
z)
及一般n元函数u
f(x1
x2
xn).
z
x2
y2是以x
y为自变量
z为因变量的二元函数
其定义域为
D(f
)
{(x,y)|x,y
(
,
)
值域为
Z(f
)
{z|z
[0,
)}
例1
设有一个长方体
高为h
底是边长为b的正方形
则其体积为
V
b2h(b
0,h
0)
这是一个以h
b为自变量
z为因变量的二元函数
其定义域为D(f
)
{(b,h)|b
0
h
0}
值域为Z(f
)
{V|V
0}
例2
例3
设Z表示居民人均消费收入
Y表示国民收入总额
P表示总人口数
则有中S1是消费率(国民收入总额中用于消费所占的比例)
S2是居民消费率(消费总额中用于居民消费所占的比例)
上式是一个以Y
P为自变量
Z为因变量的二元函数
定义域为D(f
)
{(Y,P)|Y
0,P
0}
值域为Z(f
)
{Z|Z
0}
举例
二、二元函数的定义域二元函数z
f(x,y)的定义域在几何上表示一个平面区域
函数z
ln(x
y)的定义域为{(x
y)|x
y
0}
它是无界开区域
举例
二、二元函数的定义域二元函数z
f(x,y)的定义域在几何上表示一个平面区域
它是xy平面上由圆x2
y2
R2围成的有界闭区域
举例
二、二元函数的定义域二元函数z
f(x,y)的定义域在几何上表示一个平面区域
D
{(x
y)|x2
y2
R2}
它是xy平面上由圆x2
y2
R2围成的开区域
练习三、二元函数的几何意义二元函数z
f(x,y)的定义域D是xy平面上的一个区域
对于D中任意一点P(x,y)
必有唯一的数z与其对应
因此三元有序数组(x,y,f(x,y))就确定了空间的一个点M(x,y,f(x,y))
所有这样确定的点的集合{(x
y
z)|z=f(x
y)
(x
y)
D}就是函数z
f(x,y)的图形
二元函数的图形是一张曲面
xzyz
f(x,y)
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