高考物理核心高频考点专题备考专题44 带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题（解析版）

专题44带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时,一定要抓住这些特定的词语,挖掘其隐藏的规律,找出临界条件。1.临界极值问题的一般解题流程动态思维画临界轨迹找其圆心确定几何关系分析临界列方程2.分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当速率v一定时,弧长越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。(3)当速率v变化时,圆心角大的,运动时间长,解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图,找出圆心,再根据几何关系求出半径及圆心角等。(4)在圆形匀强磁场中,当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时,入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。【典例1】[直线有界磁场中运动的临界极值问题]如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为(    )A.qBLm≤v≤22qBLm B.qBL【答案】C【解析】粒子在磁场中做圆周运动，粒子从CD边射出磁场的临界运动轨迹如图所示：由几何知识得：r1=L2，r2=(1+2)L，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=mv2r，解得：v=qBrm；v【典例2】[圆形有界磁场中运动的临界极值问题]利用磁场可以屏蔽带电粒子。如图所示，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为r和3r的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，磁感应强度大小为其横截面如图所示。一带电粒子从P点正对着圆心O沿半径方向射入磁场。已知该粒子的比荷为k，重力不计。为使该带电粒子不能进入图中实线圆围成的区域内，粒子的最大速度为(    )A.kBr B.2kBr C.3kBr D.4kBr【答案】D【解析】由题意知当粒子的运动轨迹与图中实线圆相切，粒子的速度最大，如图所示：粒子的轨迹半径为R，由几何关系知：(R+r)2−R2=(3r)2，得R=4r，粒子做圆周运动，洛伦磁力提供向心力，则：qvB=mv2R【典例3】[组合型有界磁场中运动的临界极值问题]一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab⌢为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(

)A.7πm6qB B.5πm4qB C.4πm3qB【答案】C【解析】对于同种粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中运动轨迹对应圆心角决定，即t=θ2πT。如图所示，粒子垂直ac，则圆心必在ac直线上。采用放缩法可知，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大，在r<0.5R和r>1.5R时，粒子将分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。当0.5R<r<1.5R时，粒子从半圆边界射出，运动时间显然大于半个周期；若粒子从ab圆弧边任意一点e出射，轨迹如图所示，对应的圆心为o1，设∠o1ce=α，由几何关系可知粒子在磁场中转过的圆心角θ=∠co1e=180°+2α，由此可知当α角越大时，粒子在磁场中转过的圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间越长；由几何关系可知当线段ce与半圆ab相切时α角最大，如图乙所示，此时三角形ceo为直角三角形，可知α角为30°

，

【典例4】[多区域有界磁场中运动的临界极值问题]（多选）如图所示，平面直角坐标系xOy内，与x轴成θ=60°角的虚线OM将第一象限分成两个区域Ⅰ和Ⅱ，两区域内分别存在大小不同，方向均垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出)。一带正电的粒子从y轴上的P点以平行于x轴正方向的速度v射入区域Ⅰ，一段时间后，该粒子经过OM上的Q点并垂直于x轴射入区域Ⅱ，偏转后从O点射出区域Ⅱ。已知入射点P到O点的距离为(3+1)d，不计粒子重力，下列说法正确的是（A.区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度大小之比为2︰1

B.P、Q两点之间的距离为d

C.粒子离开O点时，速度与x轴正方向的夹角为120°

D.粒子在区域Ⅱ内运动的时间为2πd【答案】AD【解析】A、粒子的运动轨连如图，设粒子在区域Ⅰ内运动的轨道半径为r，子在区域Ⅱ内运动的轨道半径为R，由图可知R=2r，设区域Ⅰ内磁场磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ内磁场磁感应强度大小为B2，qvB1=mv2r；qvB2=mv2R，联立解得B1：B2=2：1，故A正确；B、由图可知，r+3r=(3+1)d，解得r=d，P，Q两点间的距离为2d，故B错误；C、由图可知粒子离开【点对点01】如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向跟CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(

)A.v>Bedm(1+cos θ) B.v<【答案】A【解析】由题意可知电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度与EF平行，轨迹与EF相切，如图所示，由几何知识得R+Rcos θ=d，R=mv0eB，解得v0=Bedm(1+【点对点02】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2:vA.3:2 B.2:1 C.3:1【答案】C【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远．则当粒子射入的速度为v1，如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1=Rcos60∘=12R；同理，若粒子射入的速度为v2，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2【点对点03】如图所示，在平面直角坐标系xOy内，仅在第二象限内有垂直于纸面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子在纸面所在平面内从A点射入磁场。当粒子速度为v0时，最远到达y轴上的C点，已知OA=OC=d，则下列说法中正确的是（）A.若粒子从O、C间通过y轴，则其速度一定小于v0

B.若粒子从O、C间通过y轴，则其速度一定大于qBd2m

C.若粒子从O、A间通过x轴，则其速度一定小于qBd2m

D.若粒子通过【答案】B【解析】由题意知，粒子速度为v0时，最远到达y轴上的C点，可知粒子是垂直于AC连线射入磁场的，其轨迹圆心在AC中点，半径为22dA.由于粒子进入磁场的方向不确定，所以若粒子从O、C间通过y轴，则其速度不一定小于v0，故A错误；BCD.若粒子通过O点，则其轨迹圆心一定在OA的中垂线上，最小半径为12d，由qvB=mv2r可得，vmin=qBd2m当速度大于qBd2m时，控制射入方向，粒子可以从A、O间或O、C【点对点04】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a=60°，∠b=90°，边长bc=L。一个粒子源在b点将质量为m，电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（）A.qBL3m B.3qBL3m C.3【答案】A【解析】粒子带负电，故由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针圆周运动；又有粒子在磁场中运动，洛伦兹力做向心力，所以有：Bvq=mv2R，那么半径为：R=mvqB，周期为：T=2πRv=2πmqB；所以，粒子运动周期相等，转过的中心角越大，运动的时间越大；若粒子以和bc边成α角进入磁场后从bc边射出磁场，则粒子转过的中心角为2α；若粒子以相同角度α进入磁场，那么粒子从ac边射出转过的中心角必小于从bc边射出时转过的中心角；所以，在磁场中运动时间最长的粒子为沿ab边进入磁场，从bc边离开磁场的粒子；那么在磁场中运动时间最长的粒子中，运动轨迹与ac边相切时半径最大，如图所示，所以有：L−R=R【点对点05】（多选）如图所示，P、Q为一对平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计)，以水平初速度v0从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0大小可能为（A.qBd8m B.3qBd4m C.qBdm【答案】BC【解析】根据洛沦兹力提供向心力有：qvB=mv2r，若粒子恰好打在板左端，即r1=d4，则有：v1=qBd4m；若粒子恰好打在板右端，有：r22=【点对点06】（多选）如图所示，等腰直角三角形abc区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc的中点O处有一粒子源，可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒子都能从ab边离开abc区域，ab=2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子，下列说法正确的是(    )A.速度的最大值为(2+1)qBlm B.速度的最小值为qBlm

C.在磁场中运动的最短时间为πm【答案】AD【解析】粒子从ab边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示：由几何知识可知：r1=l2，2r2=r2+l解得r2=(1+2)lAB、粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=mv2r解得v=qBrm，则粒子的最大速度为vmax=(2+1)qBlm，粒子的最小速度为vmin=qBl2【点对点07】（多选）如图所示，在xOy坐标系的第二、三象限内有半圆形有界磁场，磁场方向垂直于坐标平面向里，磁场的磁感应强度大小为B，半圆的圆心在坐标原点O，半径为R。在坐标为(−1.5R,0.5R)的P点有一粒子源可以沿x轴正向发射速率在一定范围内的同种带负电的粒子，已知粒子的质量为m、电荷量为−q，速度最大的粒子刚好不过y轴，速度最小的粒子刚好不过x轴，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（A.粒子最大速度的大小为RqB2m

B.粒子最小速度的大小为RqB4m

C.经磁场偏转后偏向角为180°的粒子速度的大小为RqB【答案】BD【解析】运动轨迹如图：A.由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的最大半径rm=R2−(12R)2=32R，由牛顿第二定律可知，qυmB=mvm2rm，求得vm=3RqB2m，故A错误；B.粒子在磁场中做圆周运动的最小半径rmin=R【点对点08】如图所示，半径为R的半圆区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，AC为半圆直径，P为圆弧上一点，圆弧PA长为πR6，在P点沿垂直于AC方向以初速度v0向磁场内射入质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，结果粒子在磁场中的轨迹刚好与AC边相切，不计粒子的重力，求：(1)匀强磁场的磁感应强度大少；(2)改变粒子的速度大小，使粒子出磁场时速度方向竖直向上，则粒子的速度大小为多少。【答案】解：(1)由于圆弧PA长为：πR6=112×2πR

因此，P点和O点的连线与OA的夹角为30°

粒子射入磁场后，轨道刚好与AC相切，轨迹如图甲所示

根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径：r1=Rsin30°=12R

根据牛顿第二定律可知：qv0B=mv02r1

解得：B=2mv0【点对点09】如图所示，在正六边形ABCDEF的内切圆范围内存在着方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小可以调节，正六边形的边长为l，O为正六边形的中心点，M、N分别为内切圆与正六边形AB边和BC边的切点。在M点安装一个粒子源，可向磁场区域内沿着垂直磁场的各个方向发射比荷为qm、速率为v的粒子，不计粒子重力。

(1)若沿MO方向射入磁场的粒子恰能从N点离开磁场，求匀强磁场的磁感应强度B0的大小(2)若匀强磁场的磁感应强度的大小调节为B′=3mv【答案】解：(1)粒子以速率v沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，其运动轨迹如图1中的实线MN

由几何条件可知，磁场圆的半径为R=32l

设粒子的运动轨迹半径为r1，∠MON为θ，则tanθ2=

tanπ6(2)当磁感应强度变化后，大量此类粒子从M点射入磁场，由牛顿第二定律有qvB′=mv2r2

解得r2=3l

粒子在磁场中运动时间最长时，弧长(劣弧)最长，对应的弦长最长(磁场圆的直径)，其运动轨迹如图2中的实线MP

由几何关系得α=π【点对点10】科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出．某同学为探究带电粒子“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域：匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点．若有一