流体力学第二版(刘鹤年主编)第五章量纲分析和相似理论

第五章量纲分析和相似理论量纲分析和相似理论不仅在流体力学中有许多的应用，而且也广泛地应用于其他领域。应用量纲分析和相似原理，可以科学地组织实验和整理实验成果。对于复杂流动问题建立物理量之间的联系。第五章量纲分析和相似理论5.1量纲与物理方程的量纲齐次性5.2量纲分析与П定理5.3流动相似的概念5.4相似准那么5.5相似准那么数确实定〔自学〕5.6模型实验第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性物理量的量纲〔因次〕：物理量的本质属性(或称类别)。dimq物理量的单位：物理量的度量标准〔量度单位〕。物理量q大小类别导出量纲工程单位制国际单位制英制单位制量纲基本量纲量纲幂次式第五章量纲分析与相似原理SI制中的根本量纲：5.1量纲与物理方程的量纲齐次性物理量的量纲〔因次〕：物理量的本质属性。物理量的单位：物理量的度量标准。导出量纲：用根本量纲的幂次表示。dimm=M,diml=L,dimt=T

，dimθ=Θ

根本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无任何联系且相互独立的量纲作为根本量纲，可由根本量导出的量纲为导出量纲。第五章量纲分析与相似原理应变率

角速度，角加速度

其他量粘度系数压强，压力，弹性模量力，力矩密度，重度体积流量，质量流量

速度，加速度

常用量

第五章量纲分析与相似原理注：为温度量纲〔比〕焓，内能〔比〕熵导热系数比热外表张力系数功率能量，功，热动量，动量矩惯性矩，惯性积客观性不受运动规模的影响可以进行超越函数运算第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性2.量纲一的量(无量纲量)根本量与导出量之间可以组合称新的量，这个量纲的为1，也称为量纲一的量。量纲一的量具有如下的特点：量纲一的量表达式中的指数为0〔=0,=0,=0〕；没有单位；量值与单位制无关。无量纲量的特点：设A、B、C为三个根本量，他们成立的条件是：指数行列式不等于零。第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性2.量纲一的量(无量纲量)根本量独立性判别条件：第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性设A、B、C为三个根本量，他们成立的条件是：Ax、By、Cz的幂乘积不是量纲一的量。即：的非零解不存在。第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性2.量纲一的量(无量纲量)根本量独立性判别条件：第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性使该方程非零解不存在，要求：那么A、B、C是相互独立的，它们可以作为根本变量。第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性2.量纲一的量说明：长度、质量及时间是根本量。第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性举例：长度、流速及密度就可以作为根本量。第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定是一致的，这就是物理方程的量纲一致性原那么，也叫量纲齐次原那么或量纲和谐原那么。3.量纲一致性原那么，也叫量纲齐次性原理〔量纲和谐原理〕常数〔沿流线〕量纲分析的依据。第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同一方程中各项的量纲必须相同。用根本量纲的幂次式表示时，每个根本量纲的幂次应相等，这就是物理方程的量纲一致性原那么，也叫量纲齐次原那么或量纲和谐原那么。3.量纲一致性原那么，也叫量纲齐次性原理〔量纲和谐原理〕常数〔沿流线〕量纲分析的依据。第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性忽略重力的伯努利方程物理方程的无量纲化〔沿流线〕〔沿流线〕无量纲化伯努利方程•在无粘性圆柱绕流中前后驻点上下侧点其他点•以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。柱面上：柱面外：流场中Cp还与无量纲半径r/R有关·C·DABa第五章量纲分析与相似原理5.1量纲与物理方程的量纲齐次性第五章量纲分析和相似理论5.1量纲与物理方程的量纲齐次性5.2量纲分析与П定理5.3流动相似的概念5.4相似准那么5.5相似准那么数确实定〔自学〕5.6模型实验第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理量纲分析概念一个方程中多项量纲必须齐次的；

一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以按量纲齐次性原理作分析。量纲分析法：主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。

1.瑞利法第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理根本原理：某一物理过程同几个物理量有关：F(q1,q2,q3,…..,qn)=0其中的某一个物理量qi可以表示其他物理量的指数形式：qi=F(q1,q2,q3,…..,qn)写成量纲形式：dim[qi]=dim[F(q1,q2,q3,…..,qn)]1.瑞利法第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理量纲分析是依据物理方程的量纲一致性。首先要充分了解流体流动的物理过程，找出这一过程当中的影响因素，假定一个未知的函数关系；然后运用量纲一致性原那么确定物理量之间关系的结构形式。举例说明量纲分析的步骤及方法1.瑞利法例题1：研究自由落体在时间t内经过的距离s，实验观察后认为与以下因素有关：落体重量W，重力加速度g，时间t。试用物理方程量纲一致性原那么分析自由落体下落距离公式。解：首先将关系式写成幂乘积形式：第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理例题2：一个球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD，经实验发现与球体的尺寸、球体运动速度〔或流体速度〕v，反映流体物理性质的密度ρ和粘度μ有关，试用量纲分析法推导阻力FD公式。解：根据分析有：依据物理方程量纲一致性原理推求变量之间的关系。第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理为量纲一的量，在流体力学中称为雷诺数Notes:通常情况下，根本量纲只有三个，如M、L、T，它们代表了工程流体力学中几何学、运动学和动力学三个方面的量纲，当流动参数大于4时，需待定的指数就相应增加，此时无论在指数的选取上还是量纲一的量的组合上都有一定困难。采用π定理法。第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理f(q1，q

2，q

3,……,q

n)＝0

F

(π1,π2,π3,……,πn-m)=0提议用量纲分析的是瑞利〔L.Reyleigh,1877),奠定理论根底的是美国物理学家布金汉〔E.Buckingham,1914):2.П定理Π定理π

1,π

2,π

3,…,π

n-m均为量纲一的量。第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理假设某一物理过程包含n个物理量，即：其中有m个根本量〔量纲独立，不能相互导出的物理量〕，那么该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲的关系表达式来描述。即：f(q1，

q2，q3,……,qn)＝0

F

(π1,π2,π3,……,πn-m)=02.П定理Π定理方法充要条件n个物理量m个独立根本量n-m个导出量选m个独立根本量组成n-m个独立Π数量纲分析方法等π

1,π

2,π

3,…,π

n-m均为量纲一的量。第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理布金汉〔E.Buckingham,1914)(П定理)指出：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数关系：π

1,π

2,π

3,…,π

n-m均为量纲一的量。f(q1，

q2，q3,……,qn)＝0

F

(π1,π2,π3,……,πn-m)=0当这些变量中含有m个根本量，那么可组合这些变量称为〔n-m〕个量纲一的量的函数关系：第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理2.П定理一般步骤：以圆柱绕流为例第1步、列举所有相关的物理量。第2步、选择包含不同根本量纲的物理量为根本量〔或称为 重复量，取3个〕。第3步、将其余的物理量作为导出量，即、μ分别与根本量的幂次式组成π表达式。阻力密度速度直径粘度系数选ρ、V、d

第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理2.П定理第3步、将其余的物理量作为导出量，即FD、μ分别与根本量的幂次式组成П表达式。根据π定理有：????如何找出π1、π2。导出量FD、μ分别与根本量进行适当组合，可以找出量纲一的量。第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理2.П定理与书上表达式等同第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理量纲分析的优点vd第五章量纲分析与相似原理5.2量纲分析与П定理不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与相关物理量的关系。

[例2]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

解：1．列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个2．选择根本量：ρ、V、d3．列П表达式求解П数①П1=ρaVbdcΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bL

c(ML–1T

–2)[例2]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

解得：

a=-1,b=-2,c=0〔欧拉数，1/2是人为加上去的〕①П1=ρaVbdcΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bL

c(ML–1T

–2)[例.2]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

②П2=ρabbccμ

M0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

c(ML–1T–1)

解得：a=b=c=-1

(雷诺数)[例2]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

③

П3=ρaVbdcεM0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

cL

解得：a=b=0，c=-1

（相对粗糙度）

[例2]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

④П4=ρaVbdcl(同上)

（几何比数）

4．列П数方程即或实验证明压降与管长成正比，故有：M0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

cL

解得：a=b=0，

c=-1

[例2]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤

实验证明压降与管长成正比，故有：令：称为沿程损失系数〔后面章节降介绍〕。不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。[例3]三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较2．选择根本量：ρ、g、h3．列П表达式求解П数解：1．列举物理量。Q,ρ，g，h

，共5个①

M0

L

0

T0=(ML

–3)a(LT–2)b

Lc(L3

T

–1)

[例3]三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较解得：a=0,b=-1/2,c=-5/24．列П数方程П1=f(П2)

②（弧度，无量纲）[例3]三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较或讨论：①结果表明Q与ρ无关，与h成5/2次方关系。与例4.3.3中的解析式一致，解析式为②对一孔口角已确定的三角堰，(c)式已明确地表达了Q与h的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。

由实验确定(c)

量纲分析方法的讨论量纲分析方法只是从物理方程量纲的一致性出发，对相互联系的物理量之间进行的分析，分析所得到的物理方程是否符合客观规律，很大程度上还依赖于对所研究问题影响因素确实定，而上述量纲分析方法本身对变量的选取却不能提供任何指导和启示。如：如果选取了非重要变量，人为使问题复杂化；如果漏选了不能忽略的影响因素，量纲分析所得到的物理方程也是错误的。因此，量纲分析的正确使用尚依赖于研究人员对所研究的流动现象要有全面和透彻地了解。量纲分析方法的讨论另一方面，量纲分析并没有给出流动问题的最终解，它只提供了这个解的根本结构，函数的数值关系还有待于实验确定。量纲分析的结构未能给出直接的函数关系，但它为进一步的实验研究提供了很好的依据和理论指导，所以说量纲分析是流体力学的重要手段之一。具体使用量纲分析时还必须住意：确定表征物理过程的特征量时，不要错选、漏选、多项选择都降导致错误的结论；所选的根本物理量，要能表达其余的所有特征量，因此尽量在几何学量、运动学量和动力学量中各选一个；但通过量纲分析所得的物理过程中的表达式存在无量纲系数时，量纲分析无法给出其具体数值，只能通过有关实验求得；量纲分析方法无法区别那些量纲相同而物理意义不同的量。例如，流函数ψ，势函数φ，运动粘度ν，他们的量纲都是[L2/T]，显然物理意义不同。第五章量纲分析和相似理论5.1量纲与物理方程的量纲齐次性5.2量纲分析与П定理5.3流动相似的概念5.4相似准那么5.5相似准那么数确实定〔自学〕5.6模型实验第五章量纲分析与相似原理5.3流动相似的概念几何相似同类现象相似现象流动相似形状相似尺度成比例遵循同一方程物理量成比例尺度成比例时间成比例速度成比例力成比例几何相似时间相似运动相似动力相似流动相似性：相似的概念最早出现于几何相似。几何相似：即假设两个几何图形的对应边成一定的比例，那么这两个图形几何相似。流动相似：两个流动的对应点上同名物理量〔如线性长度、速度、压强、各种力等〕应具有各自的比例关系。分类说明的话，就是应满足两个流动的几何相似、运动相似和动力相似以及初始条件和边界条件相似和初始条件相似。第五章量纲分析与相似原理5.3流动相似的概念1几何相似如果两个流动的线性变量间存在着固定的比例关系，即原型和模型对应的线性长度的比值相等，那么这两个流动具有几何相似。如以l表示某一线性尺度，那么有长度比尺：面积比尺体积比尺第五章量纲分析与相似原理5.3流动相似的概念2运动相似运动相似是指流体运动的速度场相似。也就是指两个流动各对应点〔包括边界上各点〕的速度u方向相同，其大小成一固定的比尺λu，即相应断面的平均速度具有同样的比尺：第五章量纲分析与相似原理5.3流动相似的概念2运动相似注意到:流速是位移对时间t的导数dl/dt,那么时间比尺为：在运动相似的条件下，加速度比尺为：在加速度比尺中，重力加速度g可以认为是一个特例。第五章量纲分析与相似原理5.3流动相似的概念3动力相似第五章量纲分析与相似原理5.3流动相似的概念动力相似是指两种流动相应点上同名的动力学的量成比例，主要指两种流动的力场相似。动力相似中的密度比尺、动力粘度比尺以及作用力比尺3动力相似动力相似中的密度比尺、动力粘度比尺以及作用力比尺分别表示为：其中作用力通常有重力G、粘滞力T、弹性力E和外表张力S。第五章量纲分析与相似原理5.3流动相似的概念4边界条件和初始条件相似边界相似：指两个流动相应的边界性质相同。如原型中的固壁面，模型中相应局部也是固壁面；原型中的自由面，模型中相应局部也是自由面。对于非恒定流，还要满足初始条件相似。第五章量纲分析与相似原理5.3流动相似的概念有些书上将边界相似归结于几何相似。恒定流无需初始条件相似。5总结：两个流动相似两个流动相似就意味着几何相似、运动相似和动力相似，这三者是相互联系的，例如，运动相似要求速度成比例，也就要求对应的时刻和对应的位移成比例，即又如动力相似，要求作用力成比例，有牛顿第二定律有：作用力比尺可以用密度比尺、时间比尺和长度比尺来表示。第五章量纲分析与相似原理5.3流动相似的概念第五章量纲分析和相似理论5.1量纲与物理方程的量纲齐次性5.2量纲分析与П定理5.3流动相似的概念5.4相似准那么5.5相似准那么数确实定〔自学〕5.6模型实验第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么上一节答复了什么是相似流动问题，这一节讨论如何保证两种流动的相似。首先，假设要保证两个流动相似必须满足几何相似，这是流动相似的必要条件，其次，假设满足了动力相似，那么可以保证两个流动完全相似。动力相似主要是指作用力成比例：ρl2u2为惯性力。该式为原型中的作用力与惯性力之比。令无量纲为Ne称为牛顿数。得到：假设两种流动动力相似，其牛顿数对应相等。写成比尺关系：牛顿一般相似性原理。牛顿一般相似性原理。等称为相似判据。对于动力相似的流动，相似判据为1。第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么得到：假设两种流动动力相似，其牛顿数对应相等。等称为相似判据。对于动力相似的流动，相似判据为1。在相似原理中，两个动力相似的流动中，无量纲量，如牛顿数，称为相似准数；动力相似条件〔相似准数相等〕，称为相似准那么。相似准那么是判断流，是否相似的依据。所以牛顿一般性相似原理，又称为牛顿相似准那么。第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么注意：按照牛顿一般相似原理：两个相似流动的牛顿数应相等。要求各种性质的作用力与惯性力之间都要成相同的比例。也就是说：由于各种力的性质不同，影响它的因素也不同，要做到这一点是及其困难的。解决方法：抓住主要矛盾，使主要力相似。第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么几个主要的模型相似准那么：1、雷诺准那么〔也叫粘滞力准那么〕：当主要作用力为粘滞力时：写成比尺关系粘滞力相似准那么，或粘滞力模型相似律，也成雷诺准那么或雷诺相似律第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么几个主要的模型相似准那么〔续〕：2、佛汝德准那么〔重力相似准那么〕：当主要作用力为重力G时：写成比尺关系重力相似准那么，或重力模型相似律，也称佛汝德准那么或佛汝德相似律。第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么雷诺准那么和佛汝德准那么的差异：在地球上做实验，模型与原型采用同样的流体：重力相似要求：粘滞力相似要求：矛盾，难于统一。在地球上做实验，模型与原型采用同样的不同液体：重力相似要求：粘滞力相似要求：第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么在地球上做实验，模型与原型采用同样的不同流体：要保证同样的流速比尺，就要求运动粘性系数的比尺与长度比尺之间有：技术上很难做到同时保证重力相似和粘滞力相似。因此，模型实验中只要保证主要的作用力相似，并按照主要力相似的模型律来进行模型设计，就可以满足工程实际的要求。第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么几个主要的模型相似准那么〔续〕：3、欧拉准那么〔重力相似准那么〕：当主要作用力为压力时：写成比尺关系可以证明：在重力相似准那么的同时，也满足了压力相似所要求的欧拉数相等的准那么，称为导出准那么。第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么几个主要的模型相似准那么〔续〕：4、柯西准那么〔弹性力相似准那么〕：当主要作用力为弹性力时：写成比尺关系第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么可以用于水击研究中。几个主要的模型相似准那么〔续〕：4、柯西准那么〔弹性力相似准那么〕：当主要作用力为弹性力时：第五章量纲分析与相似原理5.4相似准那么声音在流体中传播速度〔声速〕：第五章量纲分析和相似理论5.1量纲与物理方程的量纲齐次性5.2量纲分析与П定理5.3流动相似的概念5.4相似准那么5.5相似准那么数确实定〔自学〕5.6模型实验5.5相似准那么数确实定〔自学〕量纲分析法对不可压缩粘性流体的流动：ρ，V，l，μ，g，Δp，ω

雷诺数佛鲁德数

欧拉数斯特哈尔数

优点：适用未知物理方程的流动。

缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。第五章量纲分析与相似原理方程分析法以N-S方程x方向的投影式为例

(*)令代入(*)式得

5.5相似准那么数确实定〔自学〕第五章量纲分析与相似原理优点：导出的相似准那么数物理意义明确；缺点：不能用于未知物理方程的流动。

无量纲方程既适用于模型也适用于原型。第五章量纲分析与相似原理方程分析法5.5相似准那么数确实定〔自学〕根据物理法那么或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用这些力的量级比值构成相似准那么数。与流体微元尺度相应的特征物理量

l与流体微元速度相应的特征速度

V与流体微元质量相应的特征质量

与流体微元粘性相应的粘度系数

与流体微元压强相应的压强差

与流体微元不定常运动相应的特征角速度3.物理法那么分析法第五章量纲分析与相似原理5.5相似准那么数确实定〔自学〕迁移惯性力粘性力重力迁移惯性力压差力不定常惯性力优点：导出的相似准那么数物理意义明确；适用于未知物理方程的流动。缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。

3.物理法那么分析法第五章量纲分析与相似原理5.5相似准那么数确实定〔自学〕Re

数(雷诺数)

低雷诺数粘性流动平板边界层外流速度距前缘距离钝体绕流

来流速度截面宽度圆管流动

平均流速管直径

V

l区分粘性流动层流与湍流态边界层外无粘流边界层内以为界区分层流与湍流态第五章量纲分析与相似原理5.5相似准那么数确实定〔自学〕Fr

数(弗鲁德数)

明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船长

V

lFr数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。第五章量纲分析与相似原理5.5相似准那么数确实定〔自学〕Eu

数(欧拉数)

p可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差；V为特征速度，ρ为流体密度。在描述压强差时，Eu数常称为压强系数:当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强pv时，Eu数又称为空泡数或空蚀系数第五章量纲分析与相似原理5.5相似准那么数确实定〔自学〕4．Sr数〔斯特哈尔数〕

l为特征长度，V为特征速度，ω

为脉动圆频率。

Wo数〔沃默斯利数〕v为流体的运动粘度系数，Wo数也称为频率参数表示不定常惯性力与粘性力之量级比,用于描述粘性流体脉动流特征。第五章量纲分析与相似原理5.5相似准那么数确实定〔自学〕5．Ma数〔马赫数〕Ma=V/c

V为特征速度，c为当地声速。

6．We数〔韦伯数〕σ为液体的外表张力系数。We数表示惯性力与外表张力之量级比，研究气液，液液及液固交界面上的外表张力作用。第五章量纲分析与相似原理5.5相似准那么数确实定〔自学〕7．Ne数〔牛顿数〕F为外力，Ne数表示外力与流体惯性力之量级比，用于描述运动物体在流体中产生的阻力、升力、力矩和〔动力机械的〕功率等等影响。分别称为阻力系数升力系数

力矩系数

动力系数〔D为动力机械旋转部件的直径，n为转速。〕第五章量纲分析与相似原理5.5相似准那么数确实定〔自学〕第五章量纲分析和相似理论5.1