高中数学 加练 专题8　第73练　双曲线

第73练双曲线(分值：40分)一、单项选择题(每小题5分，共10分)1.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)满足ba=52，且与椭圆x2A.x24-y25=1 B.C.x25-y24=1 D.答案A解析由椭圆的标准方程为x212+y可得12-3=3，因为双曲线C与椭圆x212+y23=1有公共焦点，所以在双曲线C又双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)满足ba=则由a2+b2=c2，得a2+52a2=9，解得a2=4，可得b所以双曲线C的方程为x24-y2.已知双曲线Γ：x2-y23=1的左焦点为F，点A，B在Γ的右支上，且|AB|=6，则|FA|+|FB|的最小值为(A.4 B.6 C.10 D.14答案C解析由题意得a2=1，则a=1.设双曲线的右焦点为F2，由双曲线的定义可知，点A在双曲线的右支上，则|FA|-|F2A|=2，即|FA|=|F2A|+2；同理，点B在双曲线的右支上，则|FB|-|F2B|=2，即|FB|=|F2B|+2.所以|FA|+|FB|=(|F2A|+2)+(|F2B|+2)=|F2A|+|F2B|+4.易知|F2A|+|F2B|≥|AB|，当且仅当A，B，F2三点共线时，等号成立.又|AB|=6，则|F2A|+|F2B|+4≥|AB|+4=6+4=10，即|FA|+|FB|≥10.所以|FA|+|FB|的最小值为10.二、多项选择题(每小题6分，共12分)3.若P是双曲线C：x2-y2=2上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则下列结论中正确的是()A.双曲线C的虚轴长为2B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2C.PF1的最小值是D.双曲线C的焦点到其渐近线的距离是2答案BC解析由双曲线C：x2-y2=2，得双曲线C：x22-y设双曲线C的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则a=2，b=2，c=2.选项A，双曲线C的虚轴长为22，故A错误；选项B，F1F2=4，又PF1⊥则P得PF1故△PF1F2的面积为12PF1选项C，易知PF1min=c-a=2-2选项D，易得双曲线C的焦点坐标为±2，0，渐近线方程为x±所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为22=2，故D错误4.已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y=3x，且F1到l的距离为33，P为C在第一象限上的一点，点Q的坐标为(2，0)，PQ为∠F1A.双曲线C的方程为x29-B.双曲线C的离心率为2C.|PF1|=3|PF2|D.点P到x轴的距离为3答案ABD解析对于A，由F1(-c，0)到渐近线y=3x的距离为33，得3c2=33，解得c由渐近线方程为y=3x，得ba=3，结合a2+b2=c2可得a=3，b=33则双曲线C的方程为x29-y227对于B，e=ca=2，故B对于C，由PQ为∠F1PF2的平分线，可得PF1|PF2|=对于D，由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=6，则|PF1|=12，|PF2|=6，在△PF1F2中，cos∠F1PF2=122+62-1222×12×6=设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2=12·|F1F2|·d=12|PF1|·|PF2即12×12×d=12×12×6×154，解得d=315三、填空题(共5分)5.过双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交双曲线C于A，B两点，D为AB中点，O为坐标原点，若kABkOD=答案6解析由双曲线的对称性，可设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线为y=k(x-c)，k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x2a2-y2b2=1，y=k(x-c)，整理得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-(a2k2c2+a则x1+x2=2a2k2ca2k又D为AB的中点，所以Da2则kOD=kb2c由kABkOD=12，可得b2a2则a2=2b2，即3a2=2c2，则双曲线C的离心率e=ca=6四、解答题(共13分)6.(13分)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线(1)求双曲线C的方程；(4分)(2)直线l：x=my+1与双曲线C的右支交于A，B两点，点D在双曲线C上，且AD⊥x轴.求证：直线BD过点F.(9分)(1)解由焦点坐标为F(2，0)，得c=2，所以a2+b2=22，又双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)得-ba=-1，即ba=1，所以a2=b2所以双曲线C的方程为x22-y(2)证明由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，所以m≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x1，-y1)，由(1)可知，双曲线C的渐近线为y=±x，又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则1m>1，即0<|m|<1联立x=my+1，x2-y2=2，消去x得则Δ=4m2+4(m2-1)=4(2m2-1)>0，得22<|m|<1由根与系数的关系得y1+y2=-2mm2-1，y1y2=-1m2-1，则y1+y又F(2，0)，所以FB=(x2-2，y2)