专题21 一次函数与二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式压轴题七种模型全攻略（解析版）2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略苏科版

第第页专题21一次函数与二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一两直线的交点与二元一次方程组的解】 1【考点二图像法解二元一次方程组】 3【考点三求直线围成的图形面积】 5【考点四已知直线与坐标交点求方程的解】 8【考点五利用图像法解一元一次方程】 9【考点六由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 11【考点七根据两条直线的交点求不等式的解集】 13【过关检测】 15【典型例题】【考点一两直线的交点与二元一次方程组的解】例题：（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是．【答案】【分析】函数图象交点的坐标是对应方程组的解，据此即可求解．【详解】解∶一次函数和的图象交于点，方程和的解，二元一次方程组的解是．故答案：．【点睛】本题考查了两个一次函数图象交点与对应方程组解的关系，理解二者之间的关系是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知直线与的交点为，则方程组的解是．【答案】【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此点的横坐标与纵坐标的值均符合方程组中两个方程的要求，因此方程组的解应该是．【详解】解：直线与的交点为，即，满足两个解析式，则是即方程组的解．因此方程组的解是，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．2．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，则方程组的解是．【答案】【分析】方程组的解即为其所对应的一次函数交点的横纵坐标，据此即可解答．【详解】解：方程组即为，∵一次函数与图象的交点坐标是，∴方程组的解为：；故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的交点与对应的方程组的关系，明确方程组的解即为其所对应的一次函数交点的横纵坐标是解题的关键．【考点二图像法解二元一次方程组】例题：（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，已知函数和的图象交于点P，点P的横坐标为2，则关于x，y的方程组的解是．【答案】【分析】由一次函数解析式求得交点的坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】解：把代入，得出，函数和的图象交于点，即，同时满足两个一次函数的解析式．所以关于，的方程组的解是．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式训练】1．（2023·全国·七年级专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得，二元一次方程组的解是．【答案】【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【详解】解：∵函数和的图象的交点的坐标为，∴二元一次方程组的解是．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．2．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是．【答案】【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答．【详解】解：把代入得：，∴，∵点P为一次函数与的图象交点，∴方程组的解是；故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解．【考点三求直线围成的图形面积】例题：（2023春·四川巴中·八年级校考期中）已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点，，若点在一次函数的图象上，则的面积为．【答案】3【分析】将两一次函数的解析式联立，求出点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出、、的坐标，然后根据的面积的面积的面积求解．【详解】解：由，解得，则．一次函数与的图象与轴分别交于点，，，．点在一次函数的图象上，，解得，．的面积的面积的面积．故答案为：3．

【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．【变式训练】1．（2023春·福建厦门·八年级厦门市第十一中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A，直线：分别与交于点G，与x轴交于点B．若，则k的值是．【答案】或9【分析】求出A、B、G的坐标，由列出方程即可求解．【详解】解：对于直线：与x轴交于点A，当时，，解得，∴，对于直线：，当时，，解得，∴，联立方程组，解得，∴，∵，∴，解得或9．故答案为：或9．【点睛】本题主要考查了两直线相交问题，三角形的面积，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据列出k的方程．2．（2022秋·广东河源·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，与一次函数的图象交于第一象限内的点C．(1)分别求出A、B、C的坐标；(2)求出的面积．【答案】(1)A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为(2)24【分析】（1）分别令x，y为0，即可解得B、A两点坐标，再解方程组，即可解得C点的坐标；（2）即可求得面积．【详解】（1）解：根据题意，令，解得，∴B点的坐标为，令，解得，∴A点的坐标为，∵一次函数的图象与一次函数交于C，，解得：，∴C点的坐标为；（2）解：由（1）知，，由图象知．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题关键．【考点四已知直线与坐标交点求方程的解】例题：（2023春·八年级课时练习）直线过点，，则关于x的方程的解为．【答案】【分析】所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标，确定出解即可．【详解】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标，直线过点，方程的解为，故答案为：．【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，掌握任何一元一次方程都可以转化为(，为常数，)的形式，所以解一元一次方程可以转化为，当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值.从图像上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值，是解答本题的关键．【变式训练】1.（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为．

【答案】【分析】先根据一次函数的图象交x轴交于点可知，当x＝1时函数图象在x轴上，故可得出结论．【详解】解：∵直线与x轴交于点，由函数图象可知，当时函数图象在x轴上，即，∴的解是．故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．2.（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）一次函数中，与的部分对应值，如下表：那么，一元一次方程的解是．01202【答案】1【分析】此题实际上是求当时，所对应的的值，根据表格求解即可．【详解】解：根据表格可得：当时，，即一元一次方程的解是，故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点与一元一次方程的解的关系是解题的关键．【考点五利用图像法解一元一次方程】例题：（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图像可知，关于的方程的解是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线与直线相交于点即可得出方程的解．【详解】解：直线与直线相交于点，关于的方程的解是，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用图象法解一元一次方程，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．【变式训练】1.（2023春·山东烟台·七年级统考期末）如图，直线和直线相交于点，则方程的解是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】两直线的交点的横坐标即为两直线解析式所组成的方程的解．【详解】解：和直线相交于点，方程的解是．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值．2.（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（

）

A．或 B． C． D．【答案】C【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【详解】∵直线和直线相交于点，∴的解是：，故选：．【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解就是已知两条直线交点的横坐标的值．【考点六由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】例题：（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集为．

【答案】【分析】写出直线在轴下方所对的自变量的范围即可．【详解】解：根据图象可知，当时，，即：，∴不等式的解集为，∵当时，，∴的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻找使一函数的值大于(或小于)0的自变量的取值范围，从函数图像的角度看，就是确定直线在轴上或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【变式训练】1．（2023春·吉林·八年级校考期末）如图，直线经过点，当时，x的取值范围是．【答案】/【分析】直线经过点，根据函数的图象即可写出不等式的解集．【详解】解：直线经过点，当时，x的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，数形结合是解决本题的关键．2．（2022春·河南焦作·八年级校考期中）如图，若一次函数的图象经过点，则不等式的解集为．

【答案】【分析】观察图象，寻找的这一部分图象，对应的的范围就是不等式的解集．【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴当时，，由图象可知，不等式的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与不等式，掌握一次函数图象的性质以及观察方法是解题的关键．【考点七根据两条直线的交点求不等式的解集】例题：（2023春·四川眉山·八年级校考阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是．【答案】【分析】函数和的图象交于点，求不等式的解集，就是看函数在什么范围内的图象对应的点在函数的图象上方．【详解】解：从图象得到，当时，的图象对应的点在函数的图象上方，∴不等式的解集为：．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．【变式训练】1．（2023春·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考期中）如图，直线与（且为常数）的交点坐标为，则关于的不等式的解集为．

【答案】【分析】根据函数图象，写出直线的图象在直线的上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：关于的不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．2．（2023春·四川德阳·八年级统考阶段练习）如图，函数与的图象交于点，那么不等式的解集是．

【答案】【分析】函数与的图象的交点由图象可直接得到答案，以交点为分界，交点左边，结合图象可得答案．【详解】解：由图象可得：函数与的图象交于点，关于x的不等式的解集是，故答案为：．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从图象中得到信息，掌握数形结合思想的应用．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，已知一次函数的图像经过点，则不等式的解集为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由一次函数的图象过点，且y随x的增大而减小，从而得出不等式的解集．【详解】解：由一次函数的图象可知，此函数y随x的增大而减小，∵一次函数的图象与y轴交于点，∴当时，有，即，即，故选A．【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．2．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）已知一次函数和的图像都经过点，且与轴分别交于点，那么的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根据待定系数法确定一次函数关系式，作出图象，数形结合，在平面直角坐标系中求出三角形面积即可得到答案．【详解】解：一次函数图像都经过点，，解得，即；一次函数图像都经过点，，解得，即；一次函数与轴分别交于点，如图所示：

，故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象与性质，根据待定系数法确定函数关系式，作出图象，掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．3．（2023秋·广东佛山·八年级校考期中）如图，直线与x轴交于点，下列说法正确的是（）

A．B．直线经过第三象限C．关于x的方程的解为D．若，是直线上的两点，若，则【答案】C【分析】由直线的图象可知，即可判断A；又可得出，即得出直线经过第一、二、四象限，可判断B；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断C．【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方，∴，故A错误，不符合题意；∵，∴．又∵，∴直线经过第一、二、四象限，故B错误，不符合题意；∵直线与x轴交于点，∴关于x的方程的解为，故C正确，符合题意；∵直线经过第第一、二、四象限，∴y随x的增大而减小．∵，∴，故D错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．4．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（

）

A．关于x的不等式的解集是B．关于x的方程的解是C．当时，函数的值比函数的值大D．关于x，y的方程组的解是【答案】A【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【详解】解：一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，关于的不等式的解集是，选项A判断错误，符合题意；关于的方程的解是，选项B判断正确，不符合题意；当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．二、填空题5．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，直线过点和点，则方程的解是．

【答案】【分析】根据直线与轴的交点，即可求解．【详解】解：∵直线过点，∴方程的解是，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数形结合是解题的关键．6．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，直线经过两点，则不等式组的解集为．

【答案】/【分析】先在坐标系中画出、的图象，再数形结合，找打在图象下方、图象上方区域内，函数的自变量的范围，即可作答．【详解】在坐标系中画出、的图象，如图，

直线经过两点，则结合图象可知：的解集为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，注重数形结合，是解答本题的关键．7．（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，一次函数和相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是．

【答案】【分析】根据一次函数图像的交点，图形结合即可求解不等式的解集．【详解】解：∵一次函数和相交于点，∴当时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查根据一次函数图像的交点求不等式的解集，理解图形，掌握一次函数图像的性质是解题的关键．8．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为．

【答案】【分析】由两直线的交点，求出，再求出方程组的解即可．【详解】解：将代入，可得，，直线与直线相交于点，方程组的解为，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的解与一次函数交点的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．三、解答题9．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，根据图中信息解答下列问题：

(1)求关于的不等式的解集；(2)当时，求的取值范围；(3)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)当时，(3)当时，【分析】（1）利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．（2）结合两条直线的交点坐标为来求得解集．（3）结合函数图象直接写出答案．【详解】（1）解：∵直线与y轴的交点是，∴当时，，即不等式的解集是；（2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，当函数的图象在的下面时，有．∴当时，；（3）解：由图可知，两条直线的交点坐标是，当函数的图象在的上面时，则，又时，，当时，．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．10．（2023春·福建泉州·八年级校考期中）如图，过点的直线：与直线：交于．

(1)求直线对应的表达式；(2)直接写出方程组的解；(3)求三角形的面积．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）先把代入求出得到点坐标为，然后把点，代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值即可得到直线的表达式；（2）根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可直接得到答案；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）解：把代入，得，则点坐标为；把，代入，得，解得，所以直线的表达式为；（2）解：∵直线：与