2021年北师大版七年级数学上册寒假综合复习训练：第5章一元一次方程（含答案）

2021年北师大版七年级数学上册寒假综合复习训练：第5章一元一次方程（含答案）

1.在2019年10月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数（如图，如框出了10,

17,24）,则这三个数的和不可能的是（）

A.30B.40C.45D.51

2.一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为lOcM,请你根据图中

标明的数据，计算瓶子的容积是（）cwA

A.80B.70C.60D.50

日一二三四五六

12345

6789画1112

13141516171819

20212223242526

2728293031

3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难,

次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天

健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关

口，则此人第一和第六这两天共走了（）

A.102里B.126里C.192里D.198里

4.书架上，第一层的数量是第二层书的数量x的2倍，从第一层抽8本到第二层，这时第

一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本.依上述情形，所列关系式成立的是（）

A.2%——x+3B.2x——(x+8)+3

22

C.2x-8=」x+3D.2v-8=」(x+8)+3

22

5.下列各式中：①x=0；(2)2x>3；③/+1一2=0；④工+2=0；⑤3x-2；⑥x=x-l；

x

⑦x-y=0；⑧孙=4,是方程的有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

6.下列说法：

①若a+b=O,且abWO,贝！Ix=1是方程ax+b=O的解；

②若a-6=0,且ab^O,贝Ux=-1是方程ax+b=O的解;

③若ax+b=O,贝I]x=-—；

a

④若（a-3），。-21+匕=0是一元一次方程，则a=i.

其中正确的结论是（）

A.只有①②B.只有②④C.只有①③④D.只有①②④

7.已知方程/卜1+%=0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（）

A.-1B.1C.AD.-A

22

8.已知关于x方程x-生更=2担-1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是

63

（）A.-4B.-3C.2D.3

9.在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不

可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化

的思想，比如在1+5金/二+…中，“…”代表按规律不断求和，设1+

1111则有解得故《凸凸—+类

-++--•+・・・=x.x=l+Lx,x=2,1+”=2.

2222322222324

似地H--T…的结果为)

3234

496

A.B.C.D.2

385

10.已知方程|x|=ax+l有一个负根而且没有正根，那么”的取值范围是（）

A.a>-1B.a=\C.D.非上述答案

11.如果关于x的方程3x-5m=3与方程2x+10=2的解相同，那么根=（）

A.-2B.-3C.3D.1

12.小林从学校出发去石博园游玩，早上去时以每小时5千米速度行进，中午以每小时4

千米速度沿原路返校，结果回校所用的时间比去时所用的时间多20分钟，问小林学校与

石博园之间的路程是多少？设小林学校离石博园x千米，那么所列方程是（）

工工C.卑JD.三」」

A.5x=4尢+20B.-20

534543

13.已知（相2-9）/-（m-3）x+6=0是以x为未知数的一元一次方程，如果间那

么|a+阑+|。-〃力的值为（）

A.2B.4C.6D.8

14.某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原

有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样.有A、B两组检验员，其中A组

有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完

毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间8组检验员

也检验完余下的五个车间的所有成品.如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检

验员人数为（）

A.8人B.10人C.12人D.14人

15.小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x=l-二皂，他翻阅了答案知道

5

这个方程的解为x=l,于是他判断♦应该是.

16.比〃的3倍大5的数等于。的4倍用等式表示为.

17.已知方程（a-2）。6=0是关于x的一元一次方程，则“=.

18.已知x=2是关于x的一元一次方程1-2ar=x+a的解，则a的值为.

19.我们规定一种运算：b|_23

F=adbc（例如:=2X5-3义4=10-12=-2.按照这

45

X_

种运算的规定，请解答下列问题：当》=时，~2-'=3.

122

20.若有理数x满足方程|1-x|=l+|x|,则化简|x-l|的结果是.

21.已知a,b为定值,关于x的方程处曳=1-生处，无论k为何值，它的解总是1,

36

贝！1a+h=.

22.科学考察队的一辆越野车需要穿越650千米的沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶

600千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点P,越野车装满油从起点A出发,

到储油点P时从车中取出部分油放进P储油点，然后返回出发点A,加满油后再开往P,

到P储油点时取出储存的所有油放在车上，再到达终点.用队长想出的方法，这辆越野

车穿越这片沙漠的最大距离是千米.

23.阅读下列材料：

关于x的方程

X3+x=13+1的解是x=l；

^+X—23+2的解是x—2；

x3+x=(-2)3+(-2)的解是x=-2；

以上材料，解答下列问题：

(1)观察上述方程以及解的特征，

请你直接写出关于x的方程/+X=43+4的解为.

(2)比较关于x的方程与上面各式的关系，猜想它的解是.

(3)请验证第(2)问猜想的结论，

(4)利用第(2)间的结论，

求解关于x的方程(x-1)3+广(”+1)3+a+2的解.

24.阅读题：课本上有这样一道例题：“解方程：春々+15)=!46-7)

523

解：去分母得：6(x+15)=15-10(x-7)…①

6x+90=15-10x+70…②

\6x=-5…③

X=———(4)

]6

请回答下列问题：

(1)得到①式的依据是;

(2)得到②式的依据是;

(3)得到③式的依据是；

(4)得到④式的依据是.

25.已知(|〃?|-1)(m-1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求的值.

26.我们规定，若关于x的一元一次方程(mWO)的解为〃-则称该方程为差解

方程，例如：5工=空的解为x=9具7,则该方程5x=至就是差解方程.

4444

请根据上边规定解答下列问题

(1)若关于x的一元一次方程3x="l是差解方程，则a=.

(2)若关于x的一元一次方程3x=a+b是差解方程且它的解为x=a,求代数式4a2b-[2a2

-2(ab2-2a2b)]的值(提示：若〃?+〃+1=如移项合并同类项可以把含有m的项抵消

掉，得到关于n的一元一次方程，求得〃=-1)

27.解方程纥L=

34

28.先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题.

解方程：pc-3|=2.

解：当X-3N0时，原方程可化为x-3=2,解得x=5；

当x-3<0时，原方程可化为x-3=-2,解得x=l.

所以原方程的解是x=5或x=1.

(1)解方程：|3x-2|-4=0.

(2)解关于x的方程：\x-2\=b+\

29.小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化0.1为

分数，解决方法是：设x=0.3>即x=0.333…，将方程两边都X10,得10x=3.333…，

即10x=3+0.333…，又因为x=0.333…，所以10x=3+x,所以9x=3,即犬=工，所以03

-_-1-.

3

尝试解决下列各题:

（1）把o.；化成分数为.

（2）请利用小明的方法，把纯循环小数0.；g化成分数.

30.阅读下列材料：

我们知道|川的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即国=仇-0|；这个结论

可以推广为阳-X2|表示在数轴上数XI,%2对应点之间的距离.绝对值的几何意义在解题

中有着广泛的应用：

例1：解方程同=4.

容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4,即该方程的解x=±4；

例2：解方程W+ll+lx-2|=5.

由绝对值的儿何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的

x的值.在数轴上，-1和2的距离为3,满足方程的x对应的点在2的右边或在-1的

左边.若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x=3；同理，若x对应点在-1的左

边，可得x=-2.所以原方程的解是x=3或x=-2.

例3：解不等式

在数轴上找出|x-1|=3的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2,4,如图2,在-2

的左边或在4的右边的x值就满足|x-1|>3,所以|x-1|>3的解为-2或x>4.

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程卜+3|=5的解为；

（2）方程以-2017|+|x+l|=2020的解为；

(3)若|x+4|+|x-3|211,求x的取值范围.

图1图2

参考答案：

1.在2019年10月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数(如图，如框出了10,

17,24),则这三个数的和不可能的是()

日——四五六

12345

6789河I1112

13141516171819

20212223242526

2728293031

A.30B.40C.45D.51

解：设三个数中间的一个数为笳则另外两个数分别为x-7、x+7,

根据题意得：(x-7)+%+(x+7)=30或(x-7)+x+(x+7)=40或(x-7)+x+(x+7)

=45或(x-7)+x+(x+7)=51,

解得：x=10或工=理■或x=15或x=17,

3

又.."=丝不符合题意，

3

.•.这三个数的和不可能是40.

故选：B.

2.一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示)，已知瓶子的底面积为10。病，请你根据图中

标明的数据，计算瓶子的容积是()cm3.

A.80B.70C.60D.50

解：设体积为v,则v-10X2=10X4,

解得v=60.

故选：c.

3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，

次日脚痛减一半，六朝才得到其关其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一

天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天

才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（）

A.102里B.126里C.192里D.198里

解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2r里，依此往前推，第一天走的路

程为32%里，

依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378,

解得：x=6.

32r=192,

6+192=198,

答：此人第一和第六这两天共走了198里，

故选：D.

4.书架上，第一层的数量是第二层书的数量x的2倍，从第一层抽8本到第二层，这时第

一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本.依上述情形，所列关系式成立的是（）

A.2x=—x+3B.2x=—（JC+8）+3

22

C.2x-8=』x+3D.2A--8=A（X+8）+3

22

解：由题意知，第一层书的数量为2x本，则可得到方程2%-8=工（x+8）+3.

2

故选：D.

5.下列各式中：①x=0；②2x>3；③，+x-2=0；④工+2=0；⑤3x-2；⑥x=x-l；

X

⑦x-y=0；⑧孙=4,是方程的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

解：（1）根据方程的定义可得①③④⑦⑧是方程；

（2）②2%>3是不等式，不是方程；

（3）⑤3x-2不是等式，就不是方程.

（4）⑥x=x-1,是方程，

故有6个式子是方程.

故选：D.

6.下列说法：

①若a+6=0,且abWO,则x=l是方程ar+Z?=O的解；

②若a-b=0,且ab^O,贝！1x=-1是方程ax+b=O的解；

③若ax+b—O,贝UX---；

a

④若（a-3）小y+匕二。是一元一次方程，则a=1.

其中正确的结论是（）

A.只有①②B.只有②④C.只有①③④D.只有①②④

解：①HW0,所以一次项系数不是0,则x=l是方程ar+/?=0的解；

同理，②若“-6=0,且贝!|x=-1是方程ar+b=O的解；

④若（。-3）小胃+匕二。是一元一次方程，则。=1也是正确的.

③若ax+/>=0,则x=-已没有说明“W0的条件.

a

其中正确的结论是只有①②④.

故选：D.

7.已知方程/左、人=0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于()

A.-1B.IC.—

2

解：由一元一次方程的特点得，2%-1=1,

解得：k=l,

工一元一次方程是：x+l=O

解得：x=-1.

故选：A.

8.已知关于x方程x-支些=主里-1的解是非正整数，则符合条件的所有整数。的和是

63

()

A.-4B.-3C.2D.3

解：x-生更=三且

63

6x-(4-or)=2(x+a)-6

6x-4+or=2x+2^-6

6x+ax-2x=2a-6+4

(〃+4)x=2a-2

X一-2-a---2，

a+4

•・•方程的解是非正整数，

.-.2az2_^0;

a+4

解得：-4V〃W1,

当〃=-3时，x=-8；

当a--2时，x=-3；

当。=-1时，X=-—（舍去）；

3

当“=o时，%=-A（舍去）；

2

当a=1时，x=0；

则符合条件的所有整数”的和是-3-2+1=-4.

故选：A.

9.在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不

可割，则与圆周合体而无所失矣”,这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化

的思想，比如在1+工」744r$+…中，，，…”代表按规律不断求和，设1+

2222324

l+2x,解得x=2,故1+《凸$二+”=2.类

■不…X.则有X

2234

22222

似地才二•+…的结果为

1+J4^4r（）

323436

A.AB.9C.且D.2

385

解：设1+~X-+一^-+•——+•••=x«

323436

则咔卡寸+…二咔。

.,1

,•X=l+—7X）

32

解得

故选：B.

10.己知方程|M=OX+1有一个负根而且没有正根，那么〃的取值范围是（）

A.a>-1B.a=lC.a^lD.非上述答案

解：令），=|x|和y=or+l,

而函数y=or+l必过点（0,1）,

•.•方程|x|=ar+l有一个负根而且没有正根，

，直线y=ox+l与函数y=|x|在第二象限只有交点，

故选：C.

11.如果关于x的方程3x-5〃?=3与方程2x+10=2的解相同，那么〃尸（）

A.-2B.-3C.3D.1

解：方程2%+10=2的解为x=-4,

•方程3x-5〃?=3与方程2x+10=2的解相同，

二方程3x-5〃?=3的解为x=-4

当x=-4时.，-12-5m=3

解得m=-3

故选：B.

12.小林从学校出发去石博园游玩，早上去时以每小时5千米速度行进，中午以每小时4

千米速度沿原路返校，结果回校所用的时间比去时所用的时间多20分钟，问小林学校与

石博园之间的路程是多少？设小林学校离石博园x千米，那么所列方程是（）

A.5x=4x+20B.-^--20C.三dJD.三』」

54.534543

解：设小林学校离石博园x千米，根据题意得三

534

故选：c.

13.己知（〃z-3）x+6=0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|W|加那

么-刑的值为（）

A.2B.4C.6D.8

解：•・•一元一次方程则7系数为0,且x系数H0

・"2-9=0,汴=9,

加=±3,-（机-3）W0,

••tn~~~3,

|a|W|-3|=3,

工-3，W3,

；.mWaW-m,

.'.a-m^O,\a-m\—a-m,

a+，"W0,\a+m\=-a-tn,

.,•原式=-a-m+a-m--2m—6.

故选：C.

14.某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原

有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样.有A、B两组检验员，其中A组

有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完

毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员

也检验完余下的五个车间的所有成品.如果每个检验员的检验速度一样快，那么8组检

验员人数为（）

A.8人B.10人C.12人D.14人

解：设每个车间原有成品。件，每个车间每天生产/7件产品，根据检验速度相同得：

2a+2X2b=2a+2X5b,

2-------3

解得。=4）；

则A组每名检验员每天检验的成品数为：2Ca+2b）+（2X8）=12方+16=34

4

那么8组检验员的人数为：5Ca+5b）+（3匕）+5=45匕+30+5=12（人）.

44

故选：C.

15.小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x=l-33,他翻阅了答案知道

5

这个方程的解为x=l,于是他判断・应该是1.

解：・用a表示，把x=l代入方程得1=1-上生，

5

解得：a—\.

故答案是：L

16.比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为3a+5=等.

解：根据题意得:3a+5=4a.

故答案为：34+5=4〃.

17.已知方程（a-2）*-1+6=0是关于x的一元一次方程，则。=-2.

解：由（a-2）如门+6=0是关于x的一元一次方程，得

同-1=1且a-2W0,

解得a--2.

故答案为：-2.

18.己知x=2是关于x的一元一次方程1-2av=x+a的解，则a的值为.

-5-

解：把x=2代入方程得1-44=2+”,

解得“=-X.

5

故答案是：-工.

5

ab23

例如

19.我们规定一种运算:=2X5-3X4=10-12=-2.按照这

cd45

x

种运算的规定，请解答下列问题：当》=3时，5

一4一,

解：根据题意得：x+x=g,

2

解得：8=3,

4

故答案为：-

4

20.若有理数x满足方程|1-x|=l+|x|,则化简lx-II的结果是1-x.

解:①当xWO时,|1-x\=\-x,l+|x|=l-x,满足题意；

②当OVxVl时，|1-x\=l-x,l+|x|=l+x,不满足题意；

③当工21时，|1-x\=x-1,l+|x|=l+x,不满足题意.

综上可得：xWO,故卜-1|=1-%.

故答案为：1-冗.

21.己知m〃为定值，关于x的方程处包=1-丝处，无论大为何值，它的解总是1,

36

则a+b=0.

解：把x=l代入方程处曳=1-生也工，得：

36

kia=1_2+bLT

36

2(k+a)=6-(2+从)，

2k+2a=6-2-bk,

2k+bk+2a-4=0,

(2+b)k+2a-4=0,

：无论k为何值，它的解总是1,

：.2+b=0,2a-4=0,

解得：h=-2,a=2.

则a+b=0.

故答案为：0.

22.科学考察队的一辆越野车需要穿越650千米的沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶

600千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点P,越野车装满油从起点A出发,

到储油点P时从车中取出部分油放进P储油点，然后返回出发点4,加满油后再开往P,

到P储油点时取出储存的所有油放在车上，再到达终点.用队长想出的方法，这辆越野

车穿越这片沙漠的最大距离是800千米.

解：设点P与点A距离为100“，每次装满汽油最多只能驶600千米，则100千米的油耗

为工箱，

6

则第一次到达点尸时，用油包箱，最多取出的1-2义至=(1-la)箱油，

663

车第二次到达点P时，还有(1-包)箱油，

6

加上点P的油为1-旦+1-工m这些油应该小于等于1箱油，

63

即1-旦+1解得：a)2,

63

当“=2时，即AP=200,

当第一次到达点P时，考虑到车正好返回，往返共400千米，最多留下200千米的油;

当第二次到达点P时，还有400千米的油，加上点P存有的200千米的油，共计600千

米的油，这样最大距离为200+600=800,

故答案为800.

23.阅读下列材料：

关于x的方程

x3+x=13+1的解是x=l；

X3+X=23+2的解是X=2；

x3+x=(-2)3+(-2)的解是x=-2；

以上材料，解答下列问题：

(1)观察上述方程以及解的特征，

请你直接写出关于x的方程X3+X=43+4的解为x=4.

(2)比较关于x的方程f+xul+a与上面各式的关系，猜想它的解是x=a.

(3)请验证第(2)问猜想的结论，

(4)利用第(2)问的结论，

求解关于x的方程(x-1)3+x=(a+1)3+什2的解.

解：(1)根据阅读材料可知：

关于x的方程?+X=43+4的解为x=4；

故答案为：x=4；

(2)关于x的方程/+x=/+a它的解是》=公

故答案为：x=af

(3)把x=a代入等式左边=/+a=右边;

(4)(x-1)(〃+l)3+〃+2整理，得

(x-1)3+x-1=(a+1)3+q+l,

所以x-l=a+l,

解得工=〃+2.

24.阅读题：课本上有这样一道例题：“解方程：-(+15)=--T(X-7)

5X23

解：去分母得：6(x+15)=15-10(X-7)…①

6x+90=15-10x+70…②

16x=-5…③

x=二…④

X16

请回答下列问题：

(1)得到①式的依据是等式性质2：等式两边同时乘(或除以)相等的非零的数或式

子，两边依然相等.；

(2)得到⑵式的依据是乘法分配律；

(3)得到⑶式的依据是等式性质1：等式两边同时加上(或减去)相等的数或式子,

两边依然相等.；

(4)得到④式的依据是等式性质2：等式两边同时乘(或除以)相等的非零的数或式

子，两边依然相等..

解：

(1)得到①式的依据是等式性质2：等式两边同时乘(或除以)相等的非零的数或式子，

两边依然相等.

(2)得到②式的依据是乘法分配律.

(3)得到③式的依据是等式性质1：等式两边同时加上(或减去)相等的数或式子，两

边依然相等.

(4)得到④式的依据是等式性质2.

25.已知(|阑-Dx2-(〃?-1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求机的值.

解：根据题意得，|〃?|-1=0且机-1W0,

解得m=\或m--1且mWl,

••"2=-1.

故答案为：-1.

26.我们规定，若关于x的一元一次方程，nx="(m#0)的解为〃-机，则称该方程为差解

方程，例如：5犬=空的解为x=»里-5,则该方程5x=至就是差解方程.

4444

请根据上边规定解答下列问题

(1)若关于x的一元一次方程3x=a+l是差解方程，则。=工.

一2一

(2)若关于x的一元一次方程3x=a+b是差解方程且它的解为x=a,求代数式4a2b-[2a2

-2(a/-2/8)]的值(提示：若，"+〃+1=加，移项合并同类项可以把含有〃?的项抵消

掉，得到关于〃的一元一次方程，求得〃=-1)

解：(1)•.•关于x的一元一次方程3x=a+l是差解方程，

-3

3

解，得a.

2

故答案为：—

2

(2)•.•关于x的一元一次方程3x=a+b是差解方程且它的解为x=m

：.a-^—^-—a+b-3

3

解，得2="^，b—3.

2

4a2b-[2a1-2(a序-2a1b)]

2

=4ab-(2/-2昉2+442/J)

=4a2b-2a2+2abz-4a2b

--2a2+2"2

当W，b=3时，

a2

原式=-2X0+2X2X9

42

-4--5.

2

27.解方程型=

34

解：去分母得4(2x-l)=12-3(x+2),

去括号得8x-4=12-3x-6,

移项得8x+3x=12-6+4,

合并得llx=10,

系数化为1得》=改.

11

28.先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题.

解方程：lx-3|=2.

解：当x-3》0时，原方程可化为x-3=2,解得x=5；

当x-3<0时，原方程可化为x-3=-2,解得x=l.

所以原方程的解是x=5或x=1.

(1)解方程：|3x-2|-4=0.

(2)解关于x的方程：2|=6+1

解：(1)当3x-220时，原方程可化为3x-2-4=0,解得x=2；

当3x-2V0时，原方程可化为-(3x-2)-4=0,解得x=-2.

3

所以原方程的解是x=2或x=-2.

3

(2)①当b+l<0,即方<-1时，原方程无解，

②当〃+1=0,即b=-1时：

原方程可化为：x-2=0,解得x=2；

③当〃+1>0,即-1时：

当X-2N0时，原方程可化为x-2=8+1,解得