第16课不等式的基本性质（教师版）八年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（浙教版）

第16课不等式的基本性质目标导航目标导航学习目标1.理解不等式的三个基本性质.2.会运用不等式的基本性质进行不等式的变形.知识精讲知识精讲知识点01不等式的基本性质不等式的基本性质1：a<b,b<ca<c.这个性质也叫做不等式:的传递性；不等式的基本性质2：不等式的两边都加上(或减去)同一个数后得到的不等式仍成立；a>ba+c>b+c,ac>bc;a<ba+c<b+c,ac<bc.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立;不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立.a>b,且c>0ac>bc,a>b,且c<0ac<bc,能力拓展考点01不等式的基本性质能力拓展【典例1】若x＞y，用“＞”或“＜”填空：（1）x﹣3＞y﹣3（2）﹣3x＜﹣3y（3）＞（4）﹣＜﹣【思路点拨】（1）不等式两边同时减去3，符号不变；（2）不等式两边同时乘以﹣3，符号改变；（3）不等式两边同时除以2，符号不变；（4）不等式两边同时除以﹣2，符号改变．【解析】解：∵x＞y，∴（1）x﹣3＞y﹣3；（2）﹣3x＜﹣3y；（3）＞；（4）﹣＜﹣．【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．【即学即练1】1．下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得a﹣2＞b+2 B．如果a＜b，那么﹣a＜﹣b C．如果a＞b，那么3a+1＞3b+1 D．如果a＞b，那么ac2＞bc2【思路点拨】根据不等式的性质逐个判断即可．①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【解析】解：A．不妨设a＝1，b＝0，则a﹣2＜b+2，故本选项不合题意；B．如果a＜b，那么，故本选项不合题意；C．如果a＞b，那么3a＞3b，所以3a+1＞3b+1，故本选项符合题意；D．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键．2．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a“的形式：（1）x+3＜﹣1；（2）3x＞27；（3）﹣＞5；（4）5x＜4x﹣6．【思路点拨】根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可．【解析】解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减3，不等号的方向不变，得x+3﹣3＜﹣1﹣3即x＜﹣4；（2）根据不等式性质2，不等式两边都除以3，不等号的方向不变，得3x÷3＞27÷3即x＞9；（3）根据不等式性质2，不等式两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，得﹣×（﹣3）＜5×（﹣3）即x＜﹣15；（4）根据不等式性质1，不等式两边都减4x，不等号的方向不变，得5x﹣4x＜4x﹣6﹣4x即x＜﹣6．【点睛】本题考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1．已知a＞b，则下列不等式中，不成立的是（）A．a+c＞b+c B． C．a﹣b＞0 D．1﹣a＞1﹣b【思路点拨】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．【解析】解：A、∵a＞b，∴a+c＞b+c，故A不符合题意；B、∵a＞b，∴＞，故B不符合题意；C、∵a＞b，∴a﹣b＞b﹣b，∴a﹣b＞0，故C不符合题意；D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．2．若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（）A．﹣a＜﹣b B． C．a+c＞b+c D．ac2＞bc2【思路点拨】根据不等式的性质进行判断即可．【解析】解：a＜b，两边同时乘以一个小于0的值﹣1，可得﹣a＞﹣b，故A错误，不符合要求；a＜b，两边同时除以一个小于0的值c，可得，故B正确，符合要求；a＜b，两边同时加上c，可得a+c＜b+c，故C错误，不符合要求；a＜b，两边同时乘以一个大于0的值c2，可得ac2＜bc2，故D错误，不符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．3．若a＞b，则ac＜bc成立，那么c应该满足的条件是（）A．c＞0 B．c＜0 C．c≥0 D．c≤0【思路点拨】由于原来是“＞”，后来变成了“＜”，说明不等号方向改变，那么可判断利用了不等式性质（3），从而可知c＜0．【解析】解：∵a＞b，∴ac＜bc，∴不等号的反方向改变，∴利用了不等式性质（3），∴c＜0．故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．下列说法正确的是（）A．若a＝b，则ac＝bc B．若a＝b，则＝ C．若a＞b，则a﹣1＞b+1 D．若＞1，则x＞y【思路点拨】根据不等式的性质求解判断即可．【解析】解：A．若a＝b，则ac＝bc，故A说法符合题意；B．若a＝b，则＝（c≠0），故B说法不符合题意；C．若a＞b，a﹣1不一定大于b+1，故C说法不符合题意；D．若＞1，当y＜0时，则x＜y，故D说法不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．5．由﹣3＞﹣4，得﹣3x＞﹣4x，则x的值可能是（）A．﹣1 B．﹣ C．0 【思路点拨】由不等式的基本性质2知，当﹣3＞﹣4，x＞0时，﹣3x＞﹣4x，【解析】A、∵﹣1＜0，∴x的值不可能是﹣1，故不符合题意；B、﹣0.5＜0，∴x的值不可能是0.5，故不符合题意；C、x的值不可能是O，故不符合题意；D、2.5＞0，∴x的值可能是2.5，故符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．6．已知a＞b，则﹣＜﹣（填＞、＜或＝）【思路点拨】根据a＞b，应用不等式的基本性质，判断出﹣与﹣的大小关系即可．【解析】解：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴﹣a﹣c＜﹣b﹣c．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．7．如果3x＜0，则2x＜x（填“＞”或“＜”）．【思路点拨】根据不等式的性质求出x＜0，求出2x﹣x＜0，再得出答案即可．【解析】解：∵3x＜0，∴x＜0，∴2x﹣x＝x＜0，即2x＜x．故答案为：＜．【点睛】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：（1）若x+2＞5，则x＞3，根据不等式的性质1；（2）若x＜﹣3，则x＜﹣，根据不等式性质2；（3）若a﹣3＜9，则a＜12，根据不等式性质1；（4）若﹣x＜﹣1，则x＞，根据不等式性质3．【思路点拨】根据不等式的性质解答即可．【解析】解：（1）若x+2＞5，则根据不等式的性质1得，x+2﹣2＞5﹣2，即x＞3；（2）若x＜﹣3，则根据不等式性质2得，×x＜﹣3×，即x＜﹣；（3）若a﹣3＜9，则根据不等式性质1，a﹣3+3＜9+3，即a＜12；（4）若﹣x＜﹣1，则根据不等式性质3，﹣×（﹣x）＞﹣1×（﹣），即x＞．【点睛】此题考查了不等式的性质：不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．9.根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式（a为常数）．（1）5x﹣1＜﹣6；（2）﹣＞﹣1；（3）3x+5＞4﹣x；（4）5﹣6x≥12；（5）＞﹣1．【思路点拨】（1）根据不等式的性质1得到5x＜﹣5，再根据不等式的性质2得到x＜﹣1；（2）根据不等式的性质3得到x＜2；（3）根据不等式的性质1得到4x＞﹣1，再根据不等式的性质2得到x＞﹣；（4）根据不等式的性质1得到﹣6x≥7，再根据不等式的性质3得到x≤﹣；（5）根据不等式的性质2得到1﹣2x＞﹣3，根据不等式的性质1得到﹣2x＞﹣4，根据不等式的性质3得到x＜2．【解析】解：（1）两边同时加1得，5x＜﹣5，两边同时除以5得，x＜﹣1；（2）两边同时除以﹣得，x＜2；（3）两边同时加x得，4x+5＞4，两边同时减5得，4x＞﹣1，两边同时除以4得，x＞﹣．（4）两边同时﹣5得，﹣6x≥7，两边同时除以﹣6得，x≤﹣．（5）两边同时乘以3得，1﹣2x＞﹣3，两边同时减1得，﹣2x＞﹣4，两边同时除以﹣2得，x＜2．【点睛】本题考查了不等式的性质，灵活运用不等式的三个性质是解题的关键．题组B能力提升练10．下列不等式的变形正确的是（）A．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc B．若a＜b，则1﹣2a＜1﹣2b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b【思路点拨】根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．【解析】解：A、不等式a＜b的两边同时乘以c，不等号的方向不变，即ac＜bc，这时必须c＞0，原变形错误，故此选项不符合题意；B、不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，再加上1，不等号的方向改变，即1﹣2a＞1﹣2b，原变形错误，故此选项不符合题意；C、不等式a＞b的两边同时乘以c2，不等号的方向不变，即ac2＞bc2，这时必须c≠0，原变形错误，故此选项不符合题意；D、不等式ac2＞bc2的两边同时除以c2，因为c2＞0，所以不等号的方向不变，即a＞b，原变形正确，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．11．以下展示四位同学对问题“已知a＜0，试比较2a和a的大小”的解法，其中正确的解法个数是（）①方法一：∵2＞1，a＜0，∴2a＜a；②方法二：∵a＜0，即2a﹣a＜0，∴2a＜a；③方法三：∵a＜0，∴两边都加a得2a＜a；④方法四：∵当a＜0时，在数轴上表示2a的点在表示a的点的左边，∴2a＜a．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据不等式的基本性质解答．不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【解析】解：①：∵2＞1，a＜0，不等式两边乘以同一个负数a，不等号的方向改变．∴2a＜a；故本选项正确；②∵a＜0，即2a﹣a＜0，不等式两边加同一个数a，不等号的方向不变．∴2a＜a；故本选项正确；③∵a＜0，∴两边都加a，不等号的方向不变，∴2a＜a；故本选项正确；④∵当a＜0时，在数轴上表示2a的点在表示a的点的左边，∴2a＜a．故本选项正确；综上所述，正确的解法有4种．故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质、数轴．数轴上的数右边的数总是大于左边的数．12．若关于x的不等式ax＞2，可化为x＜，则a的取值范围是a＜0．【思路点拨】依据不等式的性质解答即可．【解析】解：∵不等式ax＞2，可化为x＜，∴a＜0．故答案为：a＜0．【点睛】本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．13．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是﹣1．【思路点拨】根据题目的已知可得a﹣1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可．【解析】解：由题意得：a﹣1＜0，∴a＜1，∴1﹣a＞0，a﹣2＜0，∴|1﹣a|﹣|a﹣2|＝1﹣a﹣（2﹣a）＝1﹣a﹣2+a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了不等式的性质，绝对值，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．14．（1）如果m+n＞2n+1，请比较m与n的大小，给出你的理由；（2）已知x＞y，m＝n．试比较mx和ny的大小．【思路点拨】（1）不等式变形得：m﹣n＞1＞0，从而得到m＞n；（2）分三种情况分别比较大小即可．【解析】解：（1）m＞n，理由如下：∵m+n＞2n+1，∴m+n﹣2n＞1，∴m﹣n＞1＞0，∴m＞n；（2）当m＝n＝0时，mx＝ny；当m＝n＞0时，∵x＞y，∴mx＞ny；当m＝n＜0时，∵x＞y，∴mx＜ny；综上所述，当m＝n＝0时，mx＝ny；当m＝n＞0时，mx＞ny；当m＝n＜0时，mx＜ny．【点睛】本题考查了不等式的性质，考查分类讨论的思想，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．15．（1）若m＞n，比较﹣2m+1与﹣2n+1的大小，给出你的理由；（2）若m＜n，比较ma和an的大小，给出你的理由．【思路点拨】（1）由不等式的性质：两边同时乘以﹣2得﹣2m＜﹣2n，两边同时加1得﹣2m+1＜﹣2n+1；（2）分三情况讨论：当a＝0时，当a＞0时，当a＜0时，以此即可解答．【解析】解：（1）﹣2m+1＜﹣2n+1，理由如下：∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n，∴﹣2m+1＜﹣2n+1；（2）①当a＝0时，ma＝an；②当a＞0时，∵m＜n，∴ma＜an；②当a＜0时，∵m＜n，∴ma＞an；综上，当a＝0时，ma＝an；当a＞0时，ma＜an；当a＜0时，ma＞an．【点睛】本题主要考查不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．16．对于任意实数a，请利用不等式的基本性质比较下列含a的式子的大小，写出推导过程，并写出每一步的详细依据．（1）比较a与a+2的大小；（2）比较a与a的大小．【思路点拨】运用不等式的基本性质来求解，注意分情况讨论．【解析】解：（1）a为任意实数，则a＜a+2a加上一个正数总大于它本身，（2）a为任意实数，①当a＞0时，a＞a，∵a＞0，∴2a＞a等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，∴a＞a，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变②当a＜0时a＜a，∵a＜0，∴2a＜a等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，∴a＜a，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变③当a＝0时a＝a，【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质来求解，解题的关键是分3种情况讨论看不等号的方向．17．下列不等式分别在什么情况下成立？（1）a＞﹣a（2）2a＜a．【思路点拨】（1）不等式两边同时加上a得到2a＞0，然后不等式两边同时除以2可求得a的取值范围；（2）不等式两边同时减去a可求得a的取值范围．【解析】解：（1）a+a＞﹣a+a得：2a＞0，由不等式的基本性质2得：a＞0．（2）2a﹣a＜a﹣a得：a＜0．【点睛】本题主要考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．18.利用不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）x+5＞﹣2；（2）4x＜36；（3）﹣x≥3；（4）﹣4x+2＜10；（5）3x﹣1≥x；（6）＞x﹣1．【思路点拨】（1）移项，合并同类项即可；（2）不等式的两边都除以4即可；（3）不等式的两边都乘以﹣2即可；（4）移项，合并同类项，系数化成1即可；（5）移项，合并同类项，系数化成1即可；（6）去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解析】解：（1）x+5＞﹣2，不等式的两边都减去5得：x＞﹣7；（2）4x＜36，不等式的两边都除以4得：x＜9；（3）﹣x≥3，不等式的两边都乘以﹣2得：x≤﹣6；（4）﹣4x+2＜10，﹣4x＜10﹣2，﹣4x＜8，x＞﹣2；（5）3x﹣1≥x，3x﹣x≥1，x≥1，x≥；（6）＞x﹣1，1+2x＞3x﹣3，2x﹣3x＞﹣3﹣1，﹣x＞﹣4，x＜4．【点睛】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．题组C培优拔尖练19．有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是R．【思路点拨】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可．【解析】解：由图1可知：S＞P，由图2可知：R+P＞Q+S，∴R﹣Q＞S﹣P＞0，R﹣S＞Q﹣P∴R＞Q，由图3可知：R+Q＝S+P，∴R﹣S＝P﹣Q，∴P﹣Q＞Q﹣P，∴P﹣Q＞0∴R﹣S＞0∴R＞S，所以R最重，故答案为：R．【点睛】此题考查了杠杆和不等式的有关知识，利用跷跷板的不平衡来判断四个数的大小，体现了数形的结合的数学思维．20．小燕子竟然推导出了0＞5的结论，请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里？已知x＞y，两边都乘以5，得5x＞5y，两边都减去5x，得0＞5y﹣5x，即0＞5（y﹣x），两边都除以（y﹣x），得0＞5．【思路点拨】根据题意，问题出在：两边都除以（y﹣x），得0＞5；然后根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得两边都除以（y﹣x），得0＜5．【解析】解：问题出在：两边都除以（y﹣x），得0＞5；∵x＞y，∴y﹣x＜0，∴