2022年全国甲卷数学(文科)高考真题文档版(带答案)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

数学（文科）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4={-2,-1,0,1,2},8={x|0,,x<g},则AB=（）

A.（0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

12345678910

居民境号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.若z=l+i.则|iz+3彳|=（）

A.475B.472C.275D.272

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1.则该多面体

的体积为（）

A.8B.12C.16D.20

5.将函数/(x)=sin(^yx+■|)(^y>0)的图像向左平移5个单位长度后得到曲线C,若C

关于y轴对称，则①的最小值是()

1clclr1

A.-B.-C.-D.一

6432

6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为()

7.函数/(x)=(3X—3T)cosx在区间一%工的图像大致为()

X

A.-1B.C.-D.1

22

9.在长方体ABC。—A4CA中，己知8Q与平面ABC。和平面A448所成的角均为

30°,则()

A.AB=2ADB.AB与平面封与^。所成的角为30°

C.AC=CB{D.BQ与平面3与G。所成的角为45°

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为27r，侧面积分别为S甲和S乙，

体积分别为埼和力.若萨=2,则a=（）

s乙吃

A.V5B.2夜C.MD.

4

丫221

11.已知椭圆。：^+与=1（。>。>0）的离心率为2,分别为。的左、右顶点，B

ah3

为。的上顶点.若3A・%=—1,则C的方程为（）

2222222

xyxy_yx.

A.1=1B.-----1-----=1C.1------=1D.hy2=1

181698322

12.已知|9'〃=10,Q=1（F—一9,则（）

A.a>O>hB.a>b>0C,b>a>0D.h>0>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。=（加,3）,力=（1,优+1）.若aJ_b,贝iJ/%=.

14.设点〃在直线2x+y—1=0上，点（3,0）和（0,1）均在《〃上，则M的方程为

15.记双曲线C:二一与=1（。>0,。>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

a~b~

无公共点”的e的一个值______________.

A.Q

16.已知△A8C中，点。在边BC上，AADB=120°,AD=2,CD=2BD.当一取得

AB

最小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由4和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行

情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：犬=——niad-bcf——

(a+h)(c+d)(a+c)(〃+d)

0.1000.0500.010

~T~2.7063.8416.635

18.(12分)

记S“为数列J｛a,,｝的前八项和.已知名•+〃=2%+1.

(I)证明：｛a,,｝是等差数列；

(2)若包,外，a9成等比数列，求S“的最小值.

19.(12分)

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABC。是

边长为8(单位：cm)的正方形，△以^△F3C,Z\G8,ZV/D4均为正三角形，且它

们所在的平面都与平面A8CD垂直.

(1)证明：防〃平面A8CD；

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

20.(12分)

已知函数/(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=/(x)在点处的切线也是曲线

y=g(x)的切线.

(1)若玉=-1,求a：

(2)求。的取值范围.

21.(12分)

设抛物线。：^=2「虫>>0)的焦点为£点。5,0),过户的直线交C于M,N两点.当

直线MZ)垂直于x轴时，

(1)求C的方程：

(2)设直线A/D,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A3的倾斜角分别为

a，B.当a取得最大值时，求直线AB的方程.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

'2+t

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为｛6G为参数)，曲线C2的参数方程为

y=4t

2+$

x=------

6(s为参数).

(i)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

2cos。一sin6>=0,求G与G交点的直角坐标，及G与C2交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

己知a,"c均为正数，且〃+入2+4c，2=3,证明：

(1)a+b+2c,,3

(2)若。=2c,则工+,.3

ac

答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

3一一

13.---##—0.75

4

14.21)2+("1)2=5

15.2(满足l<e4百皆可)

16.G-1##一1+百

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(―)必考题：共60分.

127

17.(1)4B两家公司长途客车准点的概率分别为一，-

138

(2)有

18.(1)证明见解析；

(2)-78.

19.(1)

如图所示:

分别取的中点M,N,连接MN,因为工£48,一FBC为全等的正三角形，所以

EM±AB,FNLBC,EM=FN,又平面£48_L平面ABC。，平面£48c平面

ABCD=AB,EMu平面EAB，所以J_平面ABCD，同理可得FN，平面ABCD,

根据线面垂直的性质定理可知EM//FN,而EM=FN,所以四边形EMNE为平行四边

形，所以EF//MN，又£尸a平面ABCD,MNu平面ABCD，所以砂//平面ABCD.

、640/T

(2)>/3.