新高考数学一轮复习过关训练第31课 平面向量基本定理及坐标表示（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page55页，共=sectionpages55页第31课平面向量基本定理及坐标表示学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得SKIPIF1<0，然后求得SKIPIF1<0.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题意得SKIPIF1<0，再分析求解即可.【详解】如下图所示，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0为三角形SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0.故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则与SKIPIF1<0共线的单位向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出SKIPIF1<0的坐标，除以SKIPIF1<0，再考虑方向可得．【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0同向的单位向量为SKIPIF1<0，反向的单位向量为SKIPIF1<0．故选：C．6．（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上任一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵BC//EF，∴设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【分析】根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0求解.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．故选：A8．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.【详解】解：因为在平行四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A9．（多选）（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0的值为2 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】先根据向量加法，可直接求出SKIPIF1<0.对选项SKIPIF1<0，直接求出向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的模，然后验证即可；对选项SKIPIF1<0，直接求出余弦值；对选项SKIPIF1<0，直接求出向量SKIPIF1<0的模；对选项SKIPIF1<0，直接求出正弦值.【详解】根据向量的加法可得：SKIPIF1<0根据诱导公式及同角三角函数的关系，且SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.对选项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0错误；对选项SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0正确；对选项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0故有：SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0错误；对选项SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0正确.故选：BD.10．（多选）（2022·福建·三明一中模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直结合向量的模长公式可判断B选项；由已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共线，求出SKIPIF1<0的取值范围，可判断C选项；利用平面向量的几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，A对；对于B选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，B对；对于C选项，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，则SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，C错；对于D选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0，D对.故选：ABD.11．（多选）（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】BC【分析】由已知条件可得点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线，且SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为中线，所以点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0故选：BC．12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程,即可求得答案.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，代入结合向量相等运算．【详解】根据题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．14．（2022·全国·高三专题练习）在边长为SKIPIF1<0的等边SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，由平面向量三点共线定理得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．（2022·浙江大学附属中学高三阶段练习）已知正三角形SKIPIF1<0的边长为2，D是边SKIPIF1<0的中点，动点P满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】构建以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为x、y轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，由向量线性关系的坐标表示列方程得到SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值.【详解】由题设，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆上或圆内，构建以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为x、y轴的直角坐标系，如下图示：所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<016．（2022·全国·高三专题练习）平面内给定两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值.解：(1)由已知SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.(2)由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.17．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求D点的坐标；(2)设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，求实数k的值.解：(1)设SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以实数SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0，AC与MN相交于点E．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0．解：(1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0(2)设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为M，E，N三点共线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0﹒【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆上的一点，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先解三角形得到SKIPIF1<0为直角三角形，建立直角坐标系，通过SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0，借助三角函数求出最小值.【详解】由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），设P的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形SKIPIF1<0按上述操作作图后，得如图所示的图形，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】如图，以A为原点，分别以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，设正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，则正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0边长为SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1