福建省福州第四中学2023-2024学年高一上学期模块检测数学试卷

福州四中20232024学年第一学期第一学段模块检测试卷高一数学命题：林克刚林铭辉一、选择题：（每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.设集合，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集概念直接求解.【详解】由题意得，又因为，所以,故选：B.2.若，，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质以及特殊值来确定正确答案.【详解】A选项，不等式两边同时减去一个数，不等号的方向不变，A选项正确.B选项，当时，，B选项错误.C选项，当时，，C选项错误.D选项，当时，，D选项错误.故选：A3.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解【详解】对于A：的定义域为，且，所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知，在上单调递减，即在上单调递减，故A错误；对于B：的定义域为，且，所以为奇函数，故B错误；对于C：的定义域为，且，所以为偶函数，当时，，由指数函数的性质可知，在上单调递增，故C正确；对于D：的定义域为，且，所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；故选：C.4.幂函数的图象过点，则f(4)等于（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据点求得的解析式，从而求得.【详解】依题意，则.故选：B5.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．【详解】的定义域是，关于原点对称，，偶函数，排除BC；又时，，是增函数，排除A．故选：D．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．6.若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D7.已知函数，若.则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分段函数解析式及函数性质先确定参数范围，再计算参数值，代入对应解析式求函数值即可.【详解】易知，且在上单调递减，作出函数图象如下：所以，所以.故选：B8.己知函数是偶函数，且对任意的，有，若，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性化简不等式，从而求得的取值范围.【详解】依题意，对任意的，有，所以在区间上单调递减，由于是偶函数，所以在区间上单调递增.所以由可得，两边平方得，解得.所以的取值范围是.故选：A【点睛】利用函数的单调性的定义判断函数的单调性，除了利用函数单调性的定义，由，判断的符号来进行求解外，还可以利用、的符号来进行判断.二、选择题：（每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分）9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A.与B.与C.与D.与【答案】CD【解析】【分析】根据函数的两要素逐项判断两个函数的定义域和对应关系是否相同从而可得出答案.【详解】对于A，，，两个函数的对应法则不一样，所以两个函数不是同一函数，故A错误；对于B，，，，，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，故B错误；对于C，，，两个函数定义域和对应法则均相同，所以是同一函数，故C正确；对于D，，，两个函数定义域和对应法则均相同，所以是同一函数，故D正确.故选：CD.10.下列说法中正确的有（）A.命题，则命题p的否定是B.“”是“”的必要条件C.若命题“”是真命题，则a的取值范围为D.“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件【答案】ACD【解析】【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可.【详解】对于A，命题，则命题p的否定是，故A正确；对于B，不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，，即，即，故a的取值范围为，故C正确；对于D，关于x的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.故选：ACD.11.关于函数的结论，下列说法正确的有（）A.的单调减区间是B.单调增区间是C.的最大值为2D.没有最小值【答案】BC【解析】【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得的单调区间，进而求得的最值.【详解】由，得，解得，所以的定义域是，函数的开口向下，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知，的单调减区间是，A选项错误.的增区间是，B选项正确.所以的最大值是，C选项正确.的最小值是，D选项错误.故选：BC12.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（）A.有最小值9B.的最小值是C.ab有最大值D.的最小值是【答案】AB【解析】【分析】根据已知等量关系，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式的最值，注意取值条件.【详解】，当且仅当时等号成立，A对；，当且仅当即时等号成立，B对；，则，当且仅当即时等号成立，C错；由，则，而，所以，当且仅当时等号成立，D错.故选：AB三、填空题：（每题5分，共20分）13.已知集合，且，则_________．【答案】3【解析】【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果．【详解】解：集合，，，且，或，解得，或，当时，，，，不合题意，当时，，，，符合题意．综上，．故答案为：.14.若函数满足，则__________.【答案】【解析】【分析】利用换元法求出函数解析式，再将代入即可.【详解】解：令，则，所以，即，所以.故答案为：.15.若不等式的解集为R，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果.【详解】①当，即时，，解得.②当，即时，若，则原不等式为，恒成立．若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去．综上所述，当时，原不等式的解集为R.故答案为：.16.函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，将其推广：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.则函数图象的对称中心为______；的值为______.【答案】①.②.【解析】【分析】首先判断为奇函数，再确定的对称中心，利用对称性求函数值.【详解】由题设，令，而，故为奇函数，所以关于对称，所以，所以.故答案为：，【点睛】关键点点睛：根据题设描述找到的对称中心为关键，再利用中心对称求函数值.四、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求值：（1）；（2）.【答案】17.18.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可；（2）利用对数运算的性质求解即可.【小问1详解】，【小问2详解】.18.己知.全集.（1）求；（2）求图中阴影部分表示的集合；（3）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.（2）根据集合交集、并集和补集求得正确答案.（3）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】由得，所以.，解得，所以，所以【小问2详解】由（1）得，所以阴影部分表示的集合为.【小问3详解】依题意，，，若是的充分不必要条件，则，且两个等号不同时成立，解得.19.已知是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求函数在上的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明：函数在上单调递减．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性的定义进行证明即可.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以有，当时，，所以；【小问2详解】，当时，即因为，所以，因此，故，于是在上单调递减．20.如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为和，记位于直线左侧的图形面积为.（1）求的值；（2）求的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意先确定所求图形为等腰直角三角形，再运用三角形的面积公式计算即可；（2）根据直线的运动过程中左侧图形的不同形状分类，再分别求解面积可得出结果.【小问1详解】当时，图形为直角边长为的等腰直角三角形，所以；【小问2详解】当时，图形为直角边长为的等腰直角三角形，此时当时，如图，设直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D，过点A作AE垂直x轴于点E，可知，得.因为，所以，则，因此时，，当时，，综上所述，.21.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力、夜间经济已经成为城市经济发展的重要驱动因素.根据城市研究院发布《2023年中国城市夜间经济发展报告》，福州市入选“中国夜经济繁荣度TOP100城市”第二梯队.光明港夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：x10152025305055605550已知第10天的日销售收入为505元.（1）给出以下三个函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（不必说明理由）来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.【答案】（1）（2），的最小值.【解析】【分析】（1）由第10天的日销售收入为505元，求出，再根据表中数据可知时间变换时，先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解；（2）分和，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性即可得出答案.【小问1详解】解：因为第10天的日销售收入为505元，则，解得，由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，函数模型：①；③是单调函数，所以选择模型②：，由，可得，解得，由，解得，所以日销售量与时间的变化的关系式为；【小问2详解】由（2）知，所以，即，当时，由基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立，当时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值.22.已知为偶函数、为奇函数，且满足.（1）求，；（2）若方程有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇