2023北京西城区高一（上）期末数学试卷及答案

2023北京西城高一（上）期末数学2023.1本试卷共6页，共分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共分）一、选择题共小题，每小题分，共分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A={x|−5≤x，B={x|x2≤，则AB=（A）[−（）(−（D）[−（）[−（2）已知命题p:x1，x≤1，则p为2（A）x≥1,（）x1,x2211（）x1,x211x（D）x≥1,x2（3）如图，在ABCD−=（A）CB（）（）（D）CD（4）若ab，则下列不等式一定成立的是11（A）（B）a2b2（）e−ae−b（D）lnalnbab2x+1x−2（5）不等式≤1的解集为（A）[−2]（）[−2)（）(−,−（D）(,(2,+)（6）正方形ABCD的边长为|+2|=（A）1（B）3（）3（D）5（7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C（单800位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：km）之间满足的关系为C=最小时，s的值为+2s+2000，则当Cs（A）20（B）2（）40（D）400（8log23=a，则2+2a=（A）8（）（D）18（）12（9）已知a为单位向量，则“|a+b|−|b=1”是“存在0，使得b=a”的（A）充分而不必要条件（）充分必要条件（）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（10.控制事故的关键，而能见度x（单位：米）是影响疏散的重要因素.k与能见度x满足函数关系：，x+0.1≤≤a,b是常数）.如图记录了两k=axbx（1x，次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b的值是（参考数据：lg30.48）（A）−0.24（）0.24（）−0.48（D）0.48第二部分（非选择题共110二、填空题共小题，每小题5分，共（）函数f(x)=log2−x)+x的定义域是_____.（名学生每周的自习时间)习时间的范围是，样本数据分组为，20)[20,22.5)[22.5,.根据频率分布直方图，这名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是_____.（13）写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)=_____.①对x,x+)，有f(xx)=f(x)+f(x)；121212②当x(4,+)时，f(x)1恒成立.2xa,+x≥（14）已知函数f(x)=若a=−4，则f(x)0的解集为_____；ax,x若xR，f(x)0，则a的取值范围为_____.1（15）数f(x)的定义域为R，且xR，都有①f(0)=1或−1；f(−x)=，给出下列四个结论：f(x)②f(x)一定不是偶函数；③若f(x)0，且f(x)在(−,0)上单调递增，则f(x)在(0,+)上单调递增；④若f(x)有最大值，则f(x)一定有最小值.其中，所有正确结论的序号是_____.三、解答题共小题，共分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）､0.25,0.2.如果他连续打靶两次，且每次打靶的命中结果互不某射手打靶命中9环10环的概率分别为影响.（Ⅰ）求该射手两次共命中20环的概率；（Ⅱ）求该射手两次共命中不少于19环的概率.（17）（本小题15分）x已知函数f(x)=.x+12（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）证明函数f(x)在+)上是减函数；（Ⅲ）写出函数f(x)在(−,−1]上的单调性（结论不要求证明）.（1814分）甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示.2017年2018年2019年2020年2021年4.802022年4.79甲乙4.944.864.904.904.954.864.824.844.744.72（Ⅰ）计算乙从201720226年的视力平均值；（Ⅱ）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（Ⅲ）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）（1915分）f(x)=1−x−c，其中cR.函数（Ⅰ）若c=0，求f(x)的零点；（Ⅱ）若函数f(x)有两个零点x,x(xx)，求4x+x的取值范围.121212（2013某商贸公司售卖某种水果经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）1与时间t（1≤t≤20，tNr=t+10p(与时间4t之间的函数关系式为p=120−t.（Ⅰ）求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？（Ⅱ）在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(mN*)元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间tm的取值范围.（2115设函数f(x)的定义域为DI=[a,b](ab,ID)I为f(x)的一个“区间”.性质：对任意xI，有f(x)I；性质：对任意xI，有f(x)I.（Ⅰ）分别判断区间是否为下列两函数的“3①y=3−x；②y=；x（Ⅱ）若[0,m](m是函数f(x)=−x2+2x的“m的取值范围；f(x)−f(x)Rf(x)x,xRxx211.12122−1求证：f(x)存在“xR，使得x不属于f(x)的所有“区间”.00参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.A6.D2.C7.A3.B8.D4.C5.C9.B10.A二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.[0,1)12.60a4]13.log2x（答案不唯一，对数函数的底数即可）(−,0)(2,+)−1a014.，15.注：第题第一问2315题全部选对得50分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.1613分）解：记事件A：某射手第i次打靶，命中9B：某射手第i次打靶，命中iii=1,2，则P(A)=P(A)=，P(B)=P(B)=0.2.其中（Ⅰ）因为B,B相互独立，所以121212P(BB)=P(B)P(B)=0.20.2=0.04.1212即连续打靶两次，命中环的概率为0.04.（Ⅱ）连续打靶两次，命中不少于环，可能第一次命中9环，第二次命中10可能第一次命中10环，第二次命中9环，还可能两次都命中即AB+BA+BB.121212因为A与B，B与A，B与B相互独立，且AB，BA，BB互斥，因此121212121212P(AB+BA+BB)=P(AB)+P(BA)+P(BB)121212121212=P(A)P(B)+P(B)P(A)+P(B)P(B)121212=0.250.2+0.20.25+0.20.2=0.14.即连续打靶两次，命中不少于环的概率为0.14.1715分）解：（Ⅰ）因为函数的定义域为R，所以xR时，−xR.−x又因为f(−x)==−f(x)，所以函数f(x)是奇函数.x2+1（Ⅱ）任取x,x+)，且xx，则1212121(x221+−2(x+2f(x)−f(x)=−=122+12+12+2+x1x(122(xx−x−x)1x22(1+x−xx1221−2==1221.2+2+2(12+2+2因为1≤xx，所以x−x0，xx−10，122112所以f(x)−f(x)0，即f(x)f(x).1212x根据函数单调性定义，f(x)=在+)上是减函数.x+12（Ⅲ）f(x)在(−,−上是减函数.1814分）解：（Ⅰ）乙从201720226年的视力平均值为4.86+4.90+4.86+4.84+4.74+4.72=4.82.6（Ⅱ）甲的视力值比乙高0.05以上的年份有：2017年、2019年、2021年、年.从年到年这6年中随机选取2年，所有可能的结果有15种，它们是：(2017,2018),(2017,2019),(2017,2020),(2017,2021),(2017,2022),(2018,2019),(2018,2020),(2018,2021),(2018,2022),(2019,2020),(2019,2021),(2019,2022),(2020,2021),(2020,2022),(2021,2022).用A表示“这两年甲的视力值都比乙高0.05以上”这一事件，则A中的结果有6个，它们是：(2017,2019),(2017,2021),(2017,2022),(2019,2021),(2019,2022),(2021,2022),62P()==.概率15（Ⅲ）甲和乙的视力平均值从2017年开始连续三年的方差最小．1915分）解：（Ⅰ）当c=0时，5f(x)=1−x，令1−x=0，解得x=10，所以函数零点为x=10.1−x−c,0x≤（Ⅱ）由已知，f(x)=x−1−c,x当c0时，f(x)有两个零点x,x(xx)，12121−x=c，x−1=c，所以x1=−c，2=+c，1240所以4x1+x2=4−c+c+=+1010c10c402c1010c=40.≥1040当且仅当=1010c，即c=lg2时，等号成立，10c所以4x+x[40,+).122013分）解：（Ⅰ）设第t日的销售利润为ft)，则111ft)=rp=(t+−t)=−t2+t+1200=−t−10)+1250.2422当t=10时，ft)=.所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.（Ⅱ）设捐赠之后第t日的销售利润为g(t)，则1122gt)=(t+10−m−t)=−t++2mt+1200−120m.4依题意，m应满足以下条件：①mN；19+20②10+2m=19.5，即m4.75；21③mt+对于1≤t≤20,tN均成立，即m≤10.25.≤4综上5≤m≤10，且mN*.2115分）解：（Ⅰ）①是，②不是.（Ⅱ）记I=m]，S={f(x)|xI}，注意到f(0)=0[0,m]，因此，若I为函数f(x)的“区间，则其不满足性质②，必满足性质①，SI.即f(x)=−x2+2x=−(x−+1.2当0m1时，f(x)在I上单调递增，且f(m)−m=−m(m−0，所以S=f(m不包含于I=m]，不合题意；当1≤m≤2时，S=[f(0),f=[0,m]=I，合题意；当m2时，f(m)f(2)=f(0)=0，所以f(m)I，不合题意.综上，m2].（Ⅲ）对于任意区间I=[a,b](ab)，记S={f(x)|xI}，依题意，f(x)在I上单调递减，则S=[fbf(a.fb)−f(a)因为1，所以f(a)−fb)b−a，b−a即S的长度大于I的长度，故不满足性质①.因此，如果I为f(x)的“区间”，只能满足性质②，即SI=，即只需存在aR使得f(a)a，或存在bR使得fb)b.f(x)=x不恒成立，所以上述条件满足，所以f(x)一定存在“区间”.因为记g(x)=f(x)−x，先证明函数g(x)有唯一零点：因为f(x)在R上单调递减，所以g(x)在R