重庆市重点学校2023-20324学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

年重庆重点中学高2025届高二上期半期考试数学测试试题卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效。3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟。一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的斜率为（）A．B．C．D．2．已知椭圆的离心率为，则（）A．B．1C．3D．43．已知是等差数列的前n项和，且，则的公差（）A．1B．2C．3D．44．如图，在等边中，点O为底边AC的中点，将沿BO折起到的位置，使二面角的大小为，则异面直线DO与BC所成的角的大小为（）A．B．C．D．5．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的右支交于M，N两点，若，则周长为（）A．16B．24C．36D．406．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（）A．2B．3C．4D．57．数列，满足：，则数列的最大项是第（）项．A．6B．7C．8D．98．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点的反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．己知抛物线，在抛物线内平行于x轴的光线射向抛物线C，交抛物线C于点P（不为原点），生点P作C的切线l，过坐标原点O作，垂足为Q，反射光线与直线OQ交于点T，点，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（）A．是等差数列B．成等差数列，公差为C．当或时，取得最大值D．时，n的最大值为3310．已知圆，下列说法正确的是（）A．过点作直线与圆O交于A，B两点，则范围为B．过直线上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点C．圆O与圆有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为D．圆O上有2个点到直线的距离等于111．已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，分别为椭圆左右焦点，点，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A．B．若直线l交椭圆于A，B两点，且2为AB中点，则直线l的方程为C．内切圆面积的最大值为D．的最小值为712．在数学中，．已知数列满足，则下列说法正确的是（）A．数列是递增数列B．C．D．三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上一点，则_________．14．己知数列满足，则_________．15．己知数列是公差不为0的等差数列，数列为等比数列，数列的前三项分别为1，2，6，则数列的通项公式为___________．16．我们把形如的函数称为类双勾函数，这类函数有两条渐近线和，它的函数图像是对称轴不在坐标轴上双曲线．现将函数的图像绕原点逆时针旋转一定的角度得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是___________．四、解答题（本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知数列中，，为等差数列，它的前n项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，证明：．18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，．（1）求三棱锥的体积；（2）求二面角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C．（1）求C的轨迹方程；（2）若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．20．（本小题满分12分）设数列的前n项之和为，满足（为常数）．（1）若，求；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列：若存在，求出的值，若不存在，试说明理由．21．（本小题满分12分）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．（1）证明：；（2）取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．22．（本小题满分12分）我们把直线叫做椭圆的上准线．已知一列椭圆的上、下焦点分别是，若椭圆上有一点，使得到上准线的距离是与的等差中项，（1）当取最大值时，求椭圆的离心率；（2）取，并用表示的面积，请探索数列的单调性．2023年重庆重点中学高2025届高二上期半期考试数学参考答案一、单项选择题1-4BCAD4-8CBAB8，由抛物线的光学性质可知，反射光线必经过抛物线的焦点F，设P处的切线与x轴交于N点，则，，，而，，即，，的轨迹为以F为圆心，以1为半径的圆，故．二、多项选择题9．ACD10．AB11．BCD12．ABC12．对A：，当且仅当时，等号成立，即，而，故，可知对，即，即，故数列是递增数列，A正确；对B：，由A知：对，当且仅当时，等号成立，故，B正确；对C：，则，而，即，，即，故，可得，C正确；对D：，而，则，故，可得，则，当时，则，当时，，故．则，D错误；三、填空题13．314．15．16．16．由题意可知，以y轴和为渐近线，其夹角为，故旋转后双曲线的一条渐近线倾斜角为，故双曲线离心率．四、解答题17．解：（1）由条件知，数列是公比为2的等比数列，又由题有，联立解得5分（2）由（1）知则10分18解：（1）由题有，则，同理，有，则平面PAC，是AC的中点．又，则，又，则，则6分（2）由（1）知，故以P为原点PB为x轴，PA为y轴，PC为z轴建立如图所示空间直角坐标系，则．易知，平面PBC，故平面PBC的一个法向量为．，设平面ABC的法向量为则，取设所求二面角的平面角为，则12分19．解：（1）设P点坐标为，由可得，；化简得，即C的轨迹方程为；（2）法一：设W的中点为Q，后面用点差法来处理，比法二简洁很多．法二：由题意知直线MN的斜率不存在时，不妨取，此时；直线MN的斜率存在时，设直线MW的方程为，联立，整理得，由于直线过内一点，必有，设，则，则，由于，故，，综合以上可知．12分20．解：3分（1），则6分（2）；若存在，使得为等差9分，则，故数列的奇数项之间成等差，偶数项之间也成等差，其公差均为2．当n为偶数时，；当n为奇数时，；综上，适合题意．12分21解：（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，连接AM，PM，NF．因为在圆P中，，所以．由题易知右焦点，设点，则，整理得．因为，所以，所以．【这里若学生用双曲