2023年九年级中考数学复习相似三角形的四大模型

相似三角形的四大基本模型模型1“A”字模型模型展示基础模型正“A字”型已知:在△ABC中，点D是AB上的点，点E是AC上的点，DE∥BC结论1:△ADE~△ABCAD怎么用？1、找模型在三角形中遇到“平行”，则考虑正“A字”模型2、用模型“A字”模型用相似三角形结题结论分析结论:△ADE~△ABC证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.∴△ADE~△ABC，∴ADAB=斜“A字”型（共角）已知:在△ABC中，点D是AB上的点，点E是AC上的点，∠AED=∠B或∠ADE=∠ACB结论2:△ADE~△ACBAD斜“A字”型（共边共角）已知:在△ABC中，点D是AB上的点，∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB结论3:△ADE~△ACBADAC满分技法在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，若△ADE与△ABC相似，则分两种情况:①∠ADE=∠ABC，此时为正“A字”型;②∠ADE=∠ACB，此时为斜“A字”型，然后再结合已知条件求解.巧学巧记相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.典例小试例1如图，在上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，且头部影子重合于点A，(点拔：影子平行，则DE∥BC)已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，(点拔：CD=1米，BC=1.8米，DE=1.5米)则甲的影长是()A.4米B.5米C.6米D.7米考什么？相似三角形的判定与性质思路点拨根据题意得到DE与BC的位置关系，再直接使用结论即可求解.例2如图，在△ABC中，∠BAC=∠CBD，（点拔：在三角形中，遇一组角相等，再找一组等角，利用相似解题）CD=2，AC=6，则BC的长为()A.3B.23C.33D.考什么？相似三角形的判定与性质例3如图，在ABCD(点拨：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD)中，点E在边AD上，且AE=ED，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则△FED与ABCD的面积之比为()A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5考什么？平行四边形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定思路点拨根据平行四边形的性质及AE=ED,可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题,自己快动手试一试吧!思路点拔根据平行四边形的性质及AE=ED，可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题，自己快动手试一试吧!实战实演1.如图，在△ABC中，∠B=45°，过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AC于点E，若AB=4，DE=2，则CD的长为（）A.B.C.D.2.在△ABC中，点D,E分别是AB,AC上的点，若△ADE与△ABC相似，AD=2，BD=4，AE=3，则CE的长为（）A.1B.2或6C.6D.1或63.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，若AC=2，AB=CD，则⊙O的半径为（）A.B.C.D.4.如图，在△ABC中，点D在边AB上，连接CD,AD=9，BD=7，AC=12，△ABC的角平分线AE交CD于点F.（1）求证：；（2）若AF=8，求AE的长。“8字”模型模型展现基础模型正“8字”型AC与BD交于点O,AB∥CD结论1：△AOB∽△COD结论：△AOB∽△COD证明：∵AB∥CD∴.∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，∴.△AOB∽△COD,∴怎么用？1.找模型有一组角为对顶角，则考虑“8字”模型2.用模型“8字”模型找对顶角之外的另一组角相等，并用相似三角形的性质解题模型拓展斜“8字”型已知：AC与BD交于点O，∠A=∠D或∠B=∠C结论2：△AOB∽△DOC满分技法已知△AOB与△COD相似时，则分两种情况：①∠A=∠C，此时为正“8字”型；②∠A=∠D，此时为斜“8字”型，然后再结合已知条件求解。典例小试例1已知AC与BD交于点O，若△AOB与△COD相似，∠A=40°，∠A0B=80°（利用三角形内角和可得到∠B的度数），则∠C的度数为（）A.40°B.60°C.80°D.40°或60°考什么？相似三角形的性质，三角形的内角和思路点拨看到“相似”，则需要分情况讨论；看到“∽”，则可以直接利用相似三角形的性质解题.例2如图，在△ABC中，中线CD和中线BE交于点F，若△DEF的周长为4，则△BCF的周长为（）A.4B.6C.8D.10考什么？中线性质，中位线的性质，相似三角形的判定与性质思路点拨若三角形有两条中线，则两个中点所连线段为中位线，中位线平行且等于第三边的一半.例3如图，在△ABC中，E是线段AC上一点，且AE:CE=1:2（BE将△ABC分为1:2两部分），过点C作CD∥AB（∠A=∠ACD，∠ABD=∠BDC），交BE的延长线于点D.若△BCE的面积等于4，则△CDE的面积等于（）A.8B.16C.24D.32考什么？相似三角形的判定与性质思路点拨△BCE和△ABE是同高不同底的两个三角形，可以根据面积比等于底边之比即可求得另一个三角形的面积.例4（2021连云港）如图，BE是△ABC的中线（AE=CE），点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF=3FE（有线段数量关系，找线段所对应的三角形相似），则=考什么？中线性质，相似三角形的判定与性质思路点拨此题也可通过作平行线构造“A字”相似三角形解题，即“飞鱼”模型，详见模型51.实战实演1.如图，线段AE，BD交于点C，连接AB，DE，若AC=9，CE=4，BC=CD=6，DE=3，则AB=（）A.3B.c.D.52.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF交边CD于点G.求证:DG·AB=DF·BG.3.如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，过点B的直线分别与AC，AD，CD的延长线交于点E，F，G.(1)求证：△ABF∽△DGF；(2)若BE=5，EF=2，求FG的长.模型3“一线三等角”相似模型模型展现基础模型同侧型锐角一线三等角已知:两个三角形在直线同侧，点Р在线段AB上，∠1=∠2=∠3结论1:△CAP∽△PBD异侧型锐角一线三等角已知:两个三角形在直线异侧，点Р在线段BA延长线上，∠1=∠2=∠3结论2:△CAP∽△PBD怎么用？1．找模型在两个三角形中有一条边共线，且有三个角相等时，考虑“一线三等角”相似模型2.用模型确定一线三等角后，依据平角性质，三角形的内角和及内外角关系导角证得相似，再利用相似性质解题结论分析结论1:△CAP∽△PBD证明:∵∠CPB是△ACP的外角，∴∠CPB=∠1+∠C，即∠2+∠BPD=∠1+∠C，又∵∠1=∠2，∴∠BPD=∠C.∵∠1=∠3，∴△CAP∽△PBD.结论2:△CAP∽△PBD证明:∵∠2=∠C+∠APC，∠3=∠APC+∠BPD，∠2=∠3，∴∠C=∠BPD，∵∠1=∠2，∴∠CAP=∠PBD，∴△CAP∽△PBD.拓展延伸当AC=BP或AP=BD或CP=DP时，△CAP≌△PBD.此时为“一线三等角”全等模型，详见模型17.模型拓展已知:两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3已知:两个三角形在直线异侧，点P在BA延长线上，∠1=∠2=∠3结论3:△CAP∽△PBD结论4：△CAP∽△PBD拓展延伸当∠1=∠2=∠3=90°时，也叫一线三垂直，即K型.满分技法如图，∠1=∠2=∠3，点P是AB的中点，则△CAP∽△PBD∽△CPD.(相似具有传递性)典例小试例1如图，在边长为7的等边△ABC中，点D是BC上的动点，∠MDN=60°，若BD=2，NC=4，则BM的长为（）A.B.2c.D.3例2如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D，E分别在BC，AC上，连接AD，DE，若∠ADE=∠B，则线段CE的最大值为（）A.B.2C.D.3例3如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是DC延长线上一点，连接BE，过点E作EF⟂BE，与AD的延长线交于点F.若CE=2，则DF的长为________.实战实演1.如图，点E是AB的中点，AC=7，BD=3，若∠A=∠CED=∠B，则AB的长为（）A.B.C.10D.72.如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=10，点E是AB的中点，连接DE，CE，若∠A=∠B=∠DEC，则BC的长为（）A.B.C.D.3.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），AC⊥AB，AC=3，则点C的坐标为（）A.B.C.D.4.如图，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，沿AE折叠∆ADE，使得点D落在BC边上的点F处，若AF=10，且则矩形ABCD的周长为()A.36B.28C.20D.165.如图，在∆ABC中，点D是边AB上一点，点E是BC的中点，连接DE，作∠DEF=45°，交CA的延长线于点F，已知∠B=∠C=45°，连接DF.（1）求证：∆BDE∽∆CEF；（2）若BD=2，CF=25，求DF的长.模型4.“手拉手”相似模型模型展现基础模型已知：在△ABC中，DE∥BC，将△ADE绕点A旋转结论1：三△ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC；结论2：两条拉手线BD，CE交于点F，则∠BFC=∠BAC怎么用1.找模型“非等腰、共顶点，顶角相等、有旋转”即考虑“手拉手”模型2.用模型根据旋转角转换及线段成比例证明三角形相似结论分析结论1:△ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC 证明:∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即由旋转的性质得.∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC.拓展延伸若题中已知“双等腰、共顶点、顶角相等、有旋转”，此时连接“拉手线”，构造全等三角形解题，详见模型19.结论2:两条拉手线BD，CE交于点F，则∠BFC=∠BAC 证明:∵△ADB∽△AEC. ∴∠ABD=∠ACE. ∵∠DFE=∠FBC+∠BCF=∠DBC+∠ACB+∠ACE， ∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=180°－∠ABD－∠DBC－∠ACB=180°－∠ACE－∠DBC－∠ACB=180°－∠DFE=∠BFC，∴∠BAC=∠BFC.满分技法在相似三角形的判定方法中，“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是“手拉手”模型中证明相似最核心心的判定方法.模型拓展已知:在△ABC中,DE//BC,∠BAC=90°,将△ADE绕点A旋转结论3:△ADE∽△ABC,△ADB∽△AEC;结论4:BD⊥CE;结论5:连接BE,CD,BE2+CD2=BC2+DE2;结论6:满分技法若原来的两个三角形相似,则旋转后的两个三角形也是相似的,再利用旋转的性质得到角度相等,转化比例关系即可得到由拉手线构成的两个三角形相似.典例小试例1如图,在Rt△ABC中,AB=BC=2，∠ABC=90°（点拨：∠ACB=∠BAC=45°），将△ABC绕点C（点拨：共顶点）顺时针旋转后得到△CDE（点拨：即CD=DE=AB=BC,CE=AC,∠DCE=∠ACB）,连接AE,BD相交于点F,则∠BFE的度数为（）A.115°B.125°C.135°D.145°考什么?旋转的性质,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质例2如图,在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE=30°,0是BC的中点（点拨：OB=OC）,连接EO并延长至点F，使得EO=OF（点拨：连接BE,CE,CF,由对角线互相平分可得四边形BECF的形状）,则的值为（）A.B.C.