2022年高中数学新高考真题卷一卷二合集

2022年高中数学新高考真题卷一卷二合集

2021年局中数学新局考试卷一原卷与答案

2021年局)中数学新局)考试卷—原卷与答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1若集合知=以«<4},"={小¥..1},则加N=

A(x|0<x<218g"x<2}

C.{x\3<x<\6}{叫"<16}

2.若'(Jz)=L则z+5=

A-25.-1C,1D,2

3.在ABC中，点D在边AB上，3°=2£>4.记。4=机,。£>=〃,则08=

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知

该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140领〃之水位为海拔1575m时，相

应水面的面积为180QA〃尸将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库

(V7«2.65)

水位从海拔148.5m上升至lJ157.5m时，增加的水量约为

A1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3£>.1.6xlO9m3

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为

/(x)=sin+/?(69>0)----</<7T,

6.记函数的最小正周期为T,若3-------------则

3兀

>=/(*)的图像关于点

中心对称，则

A.122D.3

a=0.1eni,/>=—,c=-ln0.9,

7.设9则

A.a<h<cB.c<h<aC.c<a<bD.a<c<h

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3〈1£3区则该正四棱锥体积的取值范围是

27812764

D.[18,27]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知正方体”Be。一44GA，则

A.直线BC'与DA'所成的角为90

B.直线8G与所成的角为90

C.直线BC'与平面BBRD所成的角为45

D.直线8G与平面ABCD所成的角为45

n-跖/（xLY-X+l,

10.已知函数J\，'则

A.f（x）有两个极值点B.f（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线）'=/（"）的对称中心D.直线丁=2x是曲线

产巾）的切线

11.已知O为坐标原点，点A（l,1）在抛物线©:『=2/〃（〃°）上，过点8（°，—1）的直线交C于

P,Q两点，则

A.C的准线为丁=B.直线AB与C相切

C.|OP|-|C)el>|OA|2D\BP\\8。|>|

12.已知函数/（*）及其导函数/'3的定义域均为R,记&⑴=/（》）.若

g（2+x）均为偶函数，则

A/(0)=0Bg=°c〃T)=/(4)Dg(T)=g⑵

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

，6

的展开式中x＞的系数为（用数字作答）.

14.写出与圆/+/=］和（尤_3）+（y_4）=16都相切的一条直线的方程

15.若曲线＞=（x+"）e'有两条过坐标原点的切线，则”的取值范围是.

二+多=l（a力＞0）,pp—c

16.已知椭圆C:4b~C的上顶点为A,两个焦点为“，生，离心率为2,过与

且垂直于人工的直线与c交于D,E两点，l°®=6,则ADE的周长是

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

《一f-

记,"为数列的前n项和，已知〔为"是公差为3,的等差数列.

（1）求｛“"｝的通项公式；

111c

（2）证明：a'°2an

18.（12分）

cosA_sin2B

记！AB。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1+sinAl+cos2B-

_2"

⑴若3，求B；

⑵求的最小值.

19.（12分）

如图，直三棱柱ABC-AMG的体积为％!ABC,的面积为

（1）求人到平面48。的距离；

⑵设D为4。的中点，A4=AB,平面ABC,平面ABB4求二面

角A-BD-C的正弦值.

20.（12分）

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分

为良好和不够良好两类）的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例

组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100

人（称为对照组），得到如下数据：P（K22k）0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表

P（8|A）P（用可

示事件“选到的人患有该疾病"，尸（闻A）与尸（闻的比值是卫生习惯不够良好对患该

疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

P(AIB)P(A|B)

P(A|B)P(A|8)

⑴证明:

（ii）利用该调查数据，给出'⑷''"（A间的估计值，并利用⑴的结果给出R的估

计直

n^ad-bcy

附:，K?

(a+0)(c+d)(o+c)(〃+d)

21.(12分)

22

已知点A⑵1）在双曲线c＞士=上，直线/交什p,Q两点，直线

AP,AQ的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

（2）若tan/PAQ=2立求PAQ的面积.

22.（12分）

己知函"（x）=e's和8（'）="—隈有相同的最小值.

（1）求a；

⑵证明：存在直线、=上，其与两条曲线和y_g（x）共有三个不同的交

点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列•

绝密☆启用前试卷类型：A

2022年普通高等学校招生全国统一考试

数学答案与解析

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号

和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.

将条形码横贴在答题卡右上角”条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的

答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答

在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.若集合用={X|J7<4},N={x|3xil},则MN=()

A.{x|04x<2}B.'x-<x<2C.1x|3<x<16|D.

3

—<x<16>

3

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合”,N后可求"cN.

详解】M={x|0«x<16},N={x|xZ；},故MN=<x；Wx<16卜

故选：D

2.若i(l-z)=l,贝iJz+N=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法可求Z,从而可求Z+5.

1•

【详解】由题设有1—z=-=F=—i,故Z=l+i，故Z+彳=(l+i)+(l—i)=2,

ir

故选：D

3.在cABC中，点。在边AB上，BD=2DA.iSC4=m,CD=n.则CB=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.

2m+3n

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边AB上，8D=2D4,所以BD=2DA，即CD-CB=1[CA.-CD^,

所以C8=3CD-2C4=3n-2m=-2m+3n.

故选：B.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水

库水位为海拔1485m时，相应水面的面积为IdO.Okn?；水位为海拔157.5m时，相应水面

的面积为180.0km?，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(J7=2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的

体积K.

棱台上底面积S=140.0km2=140x106m'下底面积S'=IgO.Okn?=180xl06m2.

AV=1A(S+S,+VSS7)=1X9X(140X106+180X106+A/140X180X10,2)

=3X(320+60>/7)X106«(96+18X2.65)X107=1.437x109«1.4xl09(m3).

故选：C.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

111

A.—B.-C.-

632

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法,

若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种,

故所求概21-率7士2.

213

故选：D.

24

6.记函数/（x）=sin蛆+£+伙。＞0）的最小正周期为T.—<T<71,且卜=f(X)

I4J

的图象关于点（多,2）中心对称，则/（）

35

A.1B.一C.一D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

【详解】由函数的最小正周期T满足k＜T〈乃，得一£＜上〈万，解得2＜。＜3,

33co

(34\3

又因为函数图象关于点」,2对称，所以二2。+巴=%7r,ZeZ,且6=2,

I2)24

125f(x)=sinf-x+—+2,

所以0=---1—k、keZ,所以。=一(24j

632

所以,(Cl=sinC%+?)+2=L

故选：A

7.设a=O.le°」,〃=<，c=—ln0.9,贝ij()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数/(x)=ln(l+jv)-x,导数判断其单调性，由此确定大小.

1Y

【详解】设/(x)=ln(l+x)-x(x>—1),因为/(x)=------1=-7—，

l+x1+X

当XG(-1,0)时，f'(x)>0,当XG(0,+oo)时/'(x)<0,

所以函数/(x)=山(1+x)—x在(0,+oo)单调递减，在(一1,0)上单调递增,

所以/(')</(0)=0,所以lnW—,<0,故，>lnW=—ln0.9,即匕〉c，

99999

所以/(一一1)</(0)=0,所以皿9一+1一〈。，故9|--。，所以1-上1，

10101010109

故。

f

设g(x)=xe*+ln(l-x)(0<x<1),则g(x)=(%+l)e'+--=-----------

令h(x)=ex(x2-1)+1>h\x)=ex(x2+2x-l),

当0<x〈血—1时，"(x)<0,函数/2。)=^(1一1)+1单调递减，

当啦—1<X<1时，"")>0,函数一i)+i单调递增,

又〃(0)=0,

所以当0<x(友—1时，A(x)<0,

所以当0<x〈夜—1时,g'(x)>0,函数g(x)=xe'+ln(l—x)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>—ln0.9,所以

故选：C.

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3W/W3百，则该正四棱锥体积的取值范围是()

'811「2781"|「2764-

A.18,—B.——C.—,——D.

L4JL44J1.43」

[18,27]

【答案】C

【解析】

【分析】设正四棱锥的高为万，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,

由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】•：球的体积为36万，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2a,高为/?,

则r=2〃+序，32=24+(3-〃)2,

所以6%=/,2/=/一〃2

112尸/2]//6、

所以正四棱锥的体积V=:S〃=:x4矿x/?=二x(广-=大/4———)

333669

24"

=—1

96

当3K/K2#时，当>0,当2n<”3百时，当<0,

所以当/=2遥时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为三,

27c1

又/=3时，V=—,/=3百时，V=一

所以正四棱锥的体积V的最小值为彳,

所以该正四棱锥体积的取值范围是--y.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.已知正方体ABCD-ABCQI,贝IJ()

A.直线BG与。A所成的角为90。B.直线8G与C4所成的角为90。

C.直线Bq与平面B8QQ所成的角为45°D.直线BQ与平面4BCZ)所成的角为

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接8。、BG，因为所以直线BG与gC所成的角即为直线

BG与。A所成的角，

因为四边形BgGC为正方形，则耳C_LBG，故直线BG与所成的角为90°,A正确；

连接4C,因为A41■平面BgCC，8£u平面84G。，则A4_L5G，

因为4耳耳。=耳，所以BG，平面ABC，

又ACU平面ABC，所以3£J_C41,故B正确；

连接AG，设AG「用2=0,连接BO,

因为_L平面A4G2，。0匚平面44。1£>1,则

因为G0J_4A，BQcBiB=Bi,所以GOJ,平面BBQ。，

所以NCf。为直线8G与平面3与。。所成的角，

设正方体棱长为1，则GO=《Z，BC\=C，sinN£BO=皂?=：,

12Bq2

所以，直线8G与平面88QO所成的角为30,故C错误；

因为G。，平面ABC。，所以NCfC为直线8G与平面ABCO所成的角，易得

ZC,BC=45,故D正确.

故选：ABD

10.已知函数/(x)=V-x+l,则()

A.Ax)有两个极值点B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切

线

【答案】AC

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合/食)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断

C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，f,(x)=3x2-l,令〃力>0得x>#或x〈-正，

令/'(x)<0得一立<x(立，

33

所以“X)在(_g,等)上单调递减，在(_8,_曰)，(弓,+8)上单调递增，

所以x=±@是极值点，故A正确；

3

因"-孚*竽>0，〃亭=1-苧〉5〃-2)=-5<0,

所以，函数/(X)在「8,一［［上有一个零点，

当X2,时，/(x)>/^^>0,即函数/(x)在乎，+8上无零点，

综上所述，函数/(X)有一个零点，故B错误；

令〃0)=》3一X,该函数的定义域为R,/?(-%)=(-X)3-(-X)=-X3+X=-/l(x).

则〃(X)是奇函数，(0,0)是人(X)的对称中心，

将〃(幻的图象向上移动一个单位得到/(X)的图象，

所以点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

令『3=31=2,可得x=±l,又/⑴==(-4)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-l,当切点为(—1,1)时，切线方程为y=2x+3,

故D错误.

故选：AC

11.已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线。：/=2〃/(〃>0)上，过点8(0,-1)的直线

交C于P,。两点，则()

A.C的准线为丁=-1B.直线AB与C相切

C.\OP［\OQ\>\OAfD.\BP\-\BQ\>\BA^

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立48与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公

式及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2”,所以抛物线方程为d=y,故准线方程为

y——■-,A错误；

4

砥8=丁*=2,所以直线A8的方程为y=2x—1,

1—()

联立｛9，可得M—2%+1=0,解得x=l,故B正确；

x"=y

设过8的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线c只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为丁=丘-1,尸(冷％),。(々，为)，

v-kx_1

联立｛I一，得/一点+1=0，

d=y

△=公一4>0

所以，%,+x2=k，所以%〉2或％<—2,x%=(%工2)2=1，

x｛x2=1

又|OP|=+=Jy+y：,IOQ|=7X2+^2=4%+¥，

所以ICPI•IOQ|=JyL+y)(1+%)=J辰IX也=1幻>2=|。4『，故c正确；

因为18Pl=Jl+/|xj,\BQhVi+Fi^i.

所以|BPHBQI=(1+D|3/1=1+%2>5,而|A4|2=5,故D正确.

故选：BCD

12.已知函数/(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记g(x)=/'Q),若/[g—2x),

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g(T)=OC./(-D=/(4)D.

g(T)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质

逐项判断即可得解.

【详解】因为-g(2+x)均为偶函数，

所以/一2尤)=/1]+2x)即/一x=/1]+尤)'g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则f(T)=f(4),故C正确;

3

函数fM,g(x)的图象分别关于直线x=」,x=2对称,

2

又g(x)=7'(x),且函数fM可导,

所以g(S=0'g(3—x)=—g(x)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),

&[1)="gS)=g⑴⑵,故B正确，D错误;

所以S~~

若函数f(x)满足题设条件，则函数/*)+C(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定/(x)

的函数值，故A错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数

与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中的系数为(用数字作答).

【答案】-28

【解析】

【分析】1尤+才可化为(x+y)8)')8，结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为x+W=(x+y)U(x+y)\

X+y)^i的展开式中含x2y6的项为C；x2y6一2c53y5=-28x2y6,

X

X+>)8的展开式中x2yb的系数为-28

故答案为：-28

14.写出与圆x2+y2=\和(x-+(y-4>=16都相切的一条直线的方程

35725

［答案］y=-二x+—或y=—x----或x=一

442424

【解析】

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】圆/+>2=1的圆心为。(0,0),半径为1，圆(无一3>+(y-4)2=16的圆心。|为

(3,4),半径为4,

两圆圆心距为j3,+42=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

433

当切线为/时，因为上四=一，所以设方程为>=—

344

535

。到/的距离解得「“所以/的方程为,=一丁+“

当切线为，〃时，设直线方程为区+y+〃=0,其中〃〉0,k<0,

W=1

k」

Jl+公24_725

由题意《解得〈fy=—x----

伙+4+p|'252424

p=­

VT+F24

当切线为“时，易知切线方程为x=—1,

357?5

故答案为：y=—xH—或,=—x-----或x=-l.

44*2424

15.若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

【答案】(一(0,+8)

【解析】

【分析】设出切点横坐标飞,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到

关于飞的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得〃的取值范围.

【详解】Vy=(%+a)ex,=(x+1+a)ex,

设切点为(Xo,%)，则%=(x°+a)e*,切线斜率攵=(x()+l+a)e~,

切线方程为：y-(/+a)e~=(而+l+a)e"x-Xo),

:切线过原点，，一(Xo+a)e"=(%+l+a)e*(一/)，

整理得：司+以0一a=0,

•••切线有两条，♦="+4。>0,解得a<Y或a>0,

。的取值范围是(―,-4)u(0,+。)，

故答案为：(一8,—4)U(0,+8)

22

16.已知椭圆C:二+[=l(a>8>0),C的上顶点为A,两个焦点为耳，F2,离心率为

a~b~

过6且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点，|OE|=6,贝IJ/ADE的周长是

【答案】13

【解析】

22

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为云+*=1,即3*2+今2_12,2=0,根据离心

率得到直线AK的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线的

方程：x=5-c，代入椭圆方程3/+4丁2一]2。2=0,整理化简得到：

1a]3

13y2-6Gcy-9c2=0,利用弦长公式求得,=不，得a=2c=1,根据对称性将^ADE

的周长转化为△入。石的周长，利用椭圆的定义得到周长为4。=13.

【详解】•••椭圆的离心率为e=£=,，.•.a=2c,.../=/一。2=302,.•.椭圆的方程

a2

22

为券+3=1,BP3X2+4/-12C2=0,不妨设左焦点为耳，右焦点为工，如图所示，

JT

'：AF2=a,OF2=C,a=2c,/4巴0=§,片鸟为正三角形，•••过丹且垂直

于AK的直线与C交于E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，直线DE的斜率为且，

3

斜率倒数为J5，直线OE的方程：x=y/3y-c,代入椭圆方程3犬+4/一12。2=0,

2

整理化简得到：13y2-6gcy-9c=0，

判另式*=(6百C『+4X13X9C2=6?X16XC2,

\CD\=+|x一必|=2x今=2x6x4x-^=6，

13但c13

c=——，得a=2c=——，

84

•；DE为线段A5的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,AE=E^,的周长

等于△KOE的周长，利用椭圆的定义得到△名OE周长为

|D^|+|E/^|+|£>E|=|DF2\-}\EF21+|。用+|母|=|。用+|DF2\+\EFi\+\EF2\=2a+2a=4a=13

故答案为：13.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

fS]1

17.记S“为数列｛q｝的前"项和，已知q是公差为一的等差数列.

qJ3

(1)求｛%｝的通项公式；

111c

(2)证明：—+—++—<2.

6«2«),

_..〃(〃+1)

a

【答案】(1),,=—2~

(2)见解析

【解析】

S1/n〃+2(n+2｝a

【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得二=1+W(〃T)=工一，得至iJS,,——U

a„3'"3"R

利用和与项的关系得到当〃》2时，a=S„-Sn.=(〃+2)”"_(〃+1)%二1进而得:

"""T33

an+1

广n=二万，利用累乘法求得〃〃=检验对于〃=1也成立，得到｛凡｝的通项公

2

〃(八+1)

式4

2

(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到,+'++—=2|1一一二],进而证得.

a}a2afl[n+\)

【小问1详解】

S

*.*tZj=1,/.S]==1,=1,

S1

又・・•《口是公差为一的等差数列，

3

a,3<)3…与-3

.•.当“22时，$(〃+1”吟_,

"T3

e_(〃+2)4-

a-s,_L「3’

整理得：(〃-l)a“=(〃+l)a,i，

。2a3an-\an

an-a}x=x-x...x——口

%

134n几+1

=lx—X—X...X----x----

23n—2n—12

显然对于〃=1也成立,

，｛a｝的通项公式a.

n2

【小问2详解】

21

=咱〃+1

J+Lfln

a\a2anLv2）（23JI"n+\）\In+\）<2

ccq/Asin2/?

18.记一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知--------=----------

1+sinA1+cos2B

（1）若C=,求B；

3

a2+h1

（2）求“的最小值.

c

71

【答案】（1）-；

6

（2）4夜-5,

【解析】

ccqAqin2A?

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将一^—=--------化成

1+sinAl+cos2B

71

cos（A+B）=sinfi,再结合0<3<一，即可求出;

2

（2）由（1）知，C=-+B,4=工一26,再利用正弦定理以及二倍角公式将三孚1化

22c2

成4cos2§+-4——5,然后利用基本不等式即可解出.

cos2S

【小问1详解】

EQcosAsin282sinBcosBsin3

因为-------=----------二-------；----=-----，即nn

1+sinA1+cos232cos"Bcos5

sinB=cosAcosB-sinAsin3=cos

7TIT

而0<6<—,所以8=2；

26

【小问2详解】

71兀

由（1）知，sinB=—cosC>0,所以一<C<&0<3<一,

22

而sin8=-cosC=sinC--,

7T7T

所以C=—+B,即有A=——2B.

22

二匚I、1a~+/rsin-A+sirrBcos-2B+l-cos-B

所以——；-=------三-------=----------；--------

c2sin2Ccos~B

(2cos2B-l)4-1-cos2B_2「r~

--------------------=4COS2B+—；——5>2V8-5=4V2-5•

cos'B-----------cos"B

当且仅当cos?B=—时取等号，所以1+产的最小值为4后一5.

2c2

19.如图，直三棱柱ABC—A4G的体积为4,ABC的面积为2后.

（1）求A到平面48C的距离；

（2）设。为4c的中点，AA,=AB,平面ABC,平面ABgA,求二面角A—BD—C

的正弦值.

【答案】（1）V2

（2）—

2

【解析】

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得8C_L平面A654,建立空间直角坐标系，利用空间

向量法即可得解.

【小问1详解】

在直三棱柱ABC—中，设点4到平面48C的距离为h,

则匕—=ARC=ARCA=

/i/AI,B*5Cv~3^,AjZJC3■h=VA.]-Hov—3Snnl^.A,1A=—3Vri/5V-ARj/C>,)~3

解得h=也,

所以点A到平面ABC的距离为友：

【小问2详解】

取AB的中点瓦连接AE,如图，因为AA=A3,所以AE^AB,

又平面ABC_L平面A8B1A,平面ABC)平面ABqA=AB，

且AEu平面A84A，所以AEJ■平面4BC,

在直三棱柱ABC-48cl中，8耳J.平面ABC，

由BCu平面ABC,3。<=平面43。可得4£，8。，BBJBC,

又瓦u平面AB4A且相交，所以BC_L平面ABBA,

所以BC,BA,B片两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得4£=夜，所以AA=AB=2,AB=2丘,所以3C=2,

则A（0,2,0）,A（0,2,2）,8（0,0,0）,C（2,0,0）,所以AC的中点。（1,1,1）,

则BD=(I』,l),B4=(0,2,0),3C=(2,0,0),

,、m-BD=x+y+z=0

设平面43£)的一个法向量m=(x,y,z),贝心

'[m-BA=2y=Q

可取m=(1,0,-1),

/、m•BD=a+〃+c=0

设平面3£>C的一个法向量〃=（〃,〃,c）,贝，

m-BC=2a=0

可取3二（0』,一1）,

则co/sg〃\”丽m-n11

所以二面角A—BD—C的正弦值为卜=

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和

不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在

未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选

到的人患有该疾病反P{B而|A）与下P（/B的IA比）值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程

度的一项度量指标，记该指标为R

P(AB)P(A\B)

(i)证明:P(A\B)'P(A\B)；

（ii）利用该调查数据，给出P（A|B）,P（川耳）的估计值，并利用（i）的结果给出R的

估计值.

2

附K2n(ad-bc)

(a+/?)(c+d)(a+c地+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)R=6；

【解析】

【分析】(1)由所给数据结合公式求出K?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%

的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概

率公式即可完成证明；(ii)根据(i)结合已知数据求R.

【小问1详解】

n(ad-hc)2200(40x90-60xlO)2

由已知K?7~~~=/4,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又P(K?26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

【小问2详解】

二煞2迪必点.S.迹.必

P(B|A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以火=曳竺2.皿・淳.皿

P(B)P(AB)P(耳)P(A的

所以A=总迪,

P(A|B)P(A|B)

(ii)

由已知P(A|6)=9,P(A|B