2022年江苏省常州市中考数学模拟试卷（含答案解析）

江苏省常州市中考数学模拟试卷

（含答案）

（时间120分钟满分：120分）

一、选择题（本大•题共8小题，每小题2分，共16分）

1.-2的倒数是（）

A.2B.-2C.1D.-1

2.下列计算正确的是（）

A.a64-a2=a4B.a3-a2=a6C.2a+3b=5abD.（-2a3）2=-4a6

3.用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左

视图为（）

正面

4.在“市长杯”足球比赛中，六支参赛球队进球数如下（单位：个）：

3,5,6,2,5,1,这组数据的中位数是（）

A.2B.4C.5D.6

5.一个等腰三角形的两条边长分别3和6,则该等腰三角形的周长

是（）

A.12B.13C.15D.12或15

6.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离

的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边

长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是

)

A.直角三角形两个锐角互补

B.三角形内角和等于180°

C.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方

D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三

角形是直角三角形

7.如图，在4ABC中，点D、E分另IJ在AB、AC边上，DE/7BC,若AD=1,

BD=2,则黑的值为（）

A-2B-ic-iD-i

8.已知点P的坐标为（1,1）,若将点P绕着原点逆时针旋转45°,

得到点P”则B点的坐标为（）

A.（V2,0）B.（-近,0）C.（0,我）D.（加，0）或（0,我）

二、填空题（本大题共8小题，每小■题2分，共16分）

9.分解因式：X2-4=

10.若式子4万在实数范围内有意义，则x的取值范围是

11.分式方程七=芭的解是

12.一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1〜6的点数，抛掷这

枚骰子1次，向上一面的点数是5的概率是.

13.圆锥的底面半径为2,母线长为6,则它的侧面积为.

14.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,分别过点C,D

作BD,AC的平行线,相交于点E.若AD=6,则点E到AB的距离是

AD

2

15.将抛物线Y1=x-2x-1先向右平移2高为单位，再向下平移1个

单位得到抛物线yz,则抛物线yz的顶点坐标是.

16.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

第1行

第2行

第3行

第4行1011

第5行252423222120191817

则第45行左起第3列的数是.

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作

答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

2」2_„

17.（6分）先化简，再求值：.+工其中x=3.

X2-2X+1X-2

18.（7分）（1）解不等式卷-等W1,并把它的解集在数轴上表示

出来；

（2）若关于x的一元一次不等式x2a只有3个负整数解，则a的取

值范围是.

19.（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2022年2月份7天步行的步数（单

位：万步）如下表：

日2月62月72月82月92月102月112月12

期日S日日H日日

步2.11.71.81.92.01.82.0

数

（1）制作适当的统计图表示小莉爸爸这7天步行的步数的变化趋势;

（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；

（3）估计小莉爸爸2月•份步行的总步数.

20.（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°

和240。.让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次

落在黑色区域的概率.

21.（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布

料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的

效果.其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱.如

图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度(AD)比高度(AB)的

少0.5m,某种窗帘的价格为120元Ai?.如果以波浪褶皱的方式制作

该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与

22.(7分)如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为a、B,

两人的距离(BD)是200m,如果爸爸的眼睛离地面的距离(AB)为

1.6m,小莉的眼睛离地面的距离(CD)为1.2m,那么气球的高度(PQ)

是多少m?(用含a、B的式子表示)

23.(8分)命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等

角对等边”).

已知：如图，AABC中，ZB=ZC.

求证：AB=AC.

三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明.小刚的方

法：作NBAC的平分线AD,可证4ABD0AACD,得AB=AC；小亮的方

法：作BC边上的高AD,可证AABD之4ACD,得AB=AC；小莉的方法:

作BC边上的中线AD.

(1)请你写出小刚与小亮方法中aABD之ZiACD的理由：；

(2)请你按照小莉的思路完成命题的证明.

24.(8分)已知：如图，AABC的外接圆是。0,AD是BC边上的高.

(1)请用尺规作出。0(不写作法，保留作图痕迹);

(2)若AB=8,AC=6,AD=5.4,求00的半径.

25.(10分)快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地

后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止.图①表示两车行驶过程中离

甲地的路程y(km)与出发时间x(h)的函数图象，请结合图①中的

信息，解答下列问题：

(1)快车的速度为_km/h,慢车的速度为km/h,甲乙两地的

距离为km；

(2)求出发多长时间，两车相距100km；

(3)若两车之间的距离为skm,在图②的直角坐标系中画出s(km)

26.(10分)如图，二次函数丫=a*?+6*-4虫的图象经过A(-1,0)、

B(4,0)两点，于y轴交于点D.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)已知点C(3,m)在这个二次函数的图象上，连接BC,点P为

抛物线上一点，

且NCBP=60°.

①求N0BD的度数；

27.(12分)【问题提出】

我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的

判定”进一步探究.

D

D

图1图2

【初步思考】

在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角

相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件.如图1，四

边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：

①AB=CD；②AD=BC；③AB〃CD；④AD〃BC；

⑤NBAD=N⑥NABC=N⑦OA=OC；⑧OB=OD.

BCD；ADC；

那么满足2个条件的四边形是不是平行四边形呢？

【深入探究】

小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类

型：

I关于对边的2个条件；II关于对角的2个条件；

III关于对角线的2个条件；IV关于边的条件与角的条件各1个；

V关于边的条件与对角线的条件各1个；VI关于角的条件与对角线的

条件各1个.

(1)小明认为“I关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①

③，①④”共4种不同种类的情形.请你仿照小明的叙述对其它五种

类型进一步分类.

(2)小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据.请你写出其它

的三个判定定理.

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

定理1:;

定理2：；

定理3：.

(3)小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了

其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题(无

需证明):

真命题1：四边形ABCD中，若NBAD=NBCD,ZABC=ZADC,则四边

形ABCD是平行四边形.

(4)小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反

例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说

明.

假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD,AD〃BC,则四边形ABCD不一

定是平行四边形.

反例说明：如图2,四边形ABCD中，AB=CD,AD/7BC,显然四边形ABCD

不是平行四边形.

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.-2的倒数是（）

A.2B.-2C.1D.-1

【解答】解：•••-2X（+）=1,

-2的倒数是-

故选：D.

2.下列计算正确的是（）

A.a6-ra2=a'B.a3*a2=aRC.2a+3b=5abD.（-2a3）-4ab

【解答】解:A、a64-a2=a4,正确；

B、a3-a2=a5,故此选项错误；

C、2a+3b,无法计算，故此选项错误；

D、（-2a3）Ma6,故此选项错误；

故选：A.

3.用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左

视图为（）

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方

形，第三层右边一个小正方形，

故选：c.

4.在“市长杯”足球比赛中，六支参赛球队进球数如下（单位：个）：

3,5,6,2,5,1,这组数据的中位数是（）

A.2B.4C.5D.6

【解答】解：将这6个数据重新排列为1、2、3、5、5、6,

则这组数据的中位数为争=4（个），

故选：B.

5.一个等腰三角形的两条边长分别3和6,则该等腰三角形的周长

是（）

A.12B.13C.15D.12或15

【解答】解：①5是腰长时,三角形的三边分别为3、3、6,V3+3=6,

...此时不能组成三角形；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、6、6,

此时能组成三角形，

所以，周长=3+6+6=15.

综上所述，这个等腰三角形的周长是15,

故选：C.

6.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离

的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边

长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是

)

A.直角三角形两个锐角互补

B.三角形内角和等于180°

C.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方

D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三

角形是直角三角形

【解答】解：设相邻两个,结点的距离为m,则此三角形三边的长分

别为3m、4m、5m,

(3m)?+(4m)J(5m):

...以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.(如果三角形的两条

边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形)

故选：D.

7.如图，在AABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE〃BC,若AD=1,

A.1B.|C.|D.|

【解答】解:VAD=1,DB=2,

，AB=AD+BD=1+2=3,

VDE/7BC,

AADE^AAB^C,

•_DE=AD=1

••而一而一亍

故选：B.

8.已知点P的坐标为（1,1）,若将点P绕着原点逆时针旋转45°,

得到点P”则P点的坐标为（）

A.（0，0）B.（-近，0）C.（0,V2）D.（加,0）或（0,如）

【解答】解：如图，连结0P,

•.•点P坐标为（1,1）,

...OP与y轴正方向的夹角为45°,

•••点P绕原点逆时针旋转45°得点P”点P「在y轴上，0P.=0P=

V12+12=V2-

•••点P的坐标为（0,V2）.

故选：C.

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

9.分解因式：x「-4=（x+2）（x-2）.

2

【解答】解：X-4=(X+2)(X-2).

故答案为:(x+2)(x-2).

10.若式子五三在实数范围内有意义，则x的取值范围是x23.

【解答】解：由题意可得：x-3》0,

解得：x》3.

故答案为:x》3.

11.分式方程号=3的解是x=6.

【解答】解：去分母得：2x=3x-6,

解得：x=6,

经检验x=6是分式方程的解，

故答案为：x=6

12.一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1〜6的点数，抛掷这

枚骰子1次，向上一面的点数是5的概率是1.

【解答】解：由概率公式（向上一面的点数是）

P56

故答案为：

13.圆锥的底面半径为2,母线长为6,则它的侧面积为127.

【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：nrl=nX2X6=12n,

故答案为：12n.

14.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,分别过点C,D

作BD,AC的平行线，相交于点E.若AD=6,则点E到AB的距离是9

【解答】解：连接E0,延长E0交AB于H.

VDE/70C,CE/70D,

...四边形ODEC是平行四边形，

•.•四边形ABCD是矩形，

.*.OD=OC,

...四边形ODEC是菱形，

.-.OE±CD,

VAB//CD,AD±CD,

AEHIAB,AD//OE,VOA//DE,

...四边形ADEO是平行四边形，

.\AD=0E=6,

VOH//AD,OB=OD,

.\BH=AH,

.*.OH=yAD=3,

.,.EH=0H+0E=3+6=9,

故答案为9.

15.将抛物线y,=x2-2x-1先向右平移2高为单位，再向下平移1个

单位得到抛物线y2,则抛物线我的顶点坐标是y=(x-3)-3.

【解答】解：抛物线y=x2-2x-1向右平移2个单位，得：y=(x-3)

2-2；

再向下平移1个单位，得：y=(x-3)2-2-1=(x-1)2-3；即y=

(x-3)--3；

故答案是：y=(x-3)2-3.

16.(3分)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

第1行1

第2行234

第3行98765

第4行10111213141516

第5行252423222120191817

则第45行左起第3列的数是2023.

【解答】解:V44=1936,45=2025,

.,.第45行左起第3列的数是2023.

故答案为：2023.

三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作

答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(6分)先化简，再求值：-y----+~~~*~三x,其中x=3.

x-2x+lx-2

【解答】解：原式=")丹)+1^1.

(x—1)X"-ZXX_1X-1

当x=3时，原式=言=2.

18.(7分)(1)解不等式名-等W1,并把它的解集在数轴上表示

出来；

(2)若关于x的一元一次不等式x2a只有3个负整数解，则a的取

值范围是-4<aW-3.

【解答】解：(1)V2x-3(x-1)W6,

...2x-3x+3W6,

解得x2-3,

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

1I.

-3-2-1012

(2)•.•关于x的一元一次不等式x2a只有3个负整数解，

.••关于x的一元一次不等式x2a的3个负整数解只能是,-3、-2、

-1,

，a的取值范围是：-4VaW-3.

故答案为：-4VaW-3.

19.(6分)QQ运动记录的小莉爸爸2022年2月份7天步行的步数(单

位：万步)如下表：

日2月62月72月82月92月102月112月12

期日日日日日日日

步2.11.71.81.92.01.82.0

数

(1)制作适当的统计图表示小莉爸爸这7天步行的步数的变化趋势;

(2)求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；

(3)估计小莉爸爸2月份步行的总步数.

【解答】解：(1)用折线统计图表示小莉爸爸这7天内步行的步数如

下:

(2)小莉爸爸这7天内每天步行的平均步数为：

x=yX(2.1+1.7+1.8+1.9+2.0+1.8+2.0)=1.9(万步).

(3)小莉爸爸2月份步行的步数约为：1.9X28=53.2(万步).

20.(7分)如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°

和240。.让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次

落在黑色区域的概率.

【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120。，

故转动一次，指针指向白色区域的概率为：数=2

则转动一次，指针指向阴影区域的概率为：4

故让转盘自由转动两次.指针一次落在黑色区域，另一次落在白色区

域的概率是：2x|x|=|.

21.(7分)如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布

料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的

效果.其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱.如

图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度(AD)比高度(AB)的

少0.5m,某种窗帘的价格为120元/tn?.如果以波浪褶皱的方式制作

该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与

高度.

【解答】解：设小莉房间窗户的宽度为xm,则高度为(x+0.5)m.

根据题意，得(2-1.5)x(x+0.5)X120=180,

解得x,=-2,x2=l.5.

所以x=1.5,x+0.5=2.

答：小莉房间窗户的宽度为1.5m,则高度为2m.

22.(7分)如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为a、B,

两人的距离(BD)是200m,如果爸爸的眼睛离地面的距离(AB)为

1.6m,小莉的眼睛离地面的距离(CD)为1.2m,那么气球的高度(PQ)

是多少m?（用含a、B的式子表示）

【解答】解：过点A作AE_LPQ于点E,过点C作CFJ_PQ于点F,

设PQ=xm,贝!JPE=(x-1.6)m,PF=(x-1.2)m.

在4PEA中，ZPEA=90°.

则tanNPAE喏.

AE

.•.AE=%.

tanCL

在4PCF中，ZPFC=90°.

贝!|tanNPCF*

Cr

•八口_x-1・2

•*CF-^r-

VAE+CF=BD.

.♦.5+$=2OO.

tan□.tanp

200tanatanB+1.2tana+l.6tanB

解，得X=

tanCI.+tanP

200tanatanB+1・2tana+l.6tanB

答：气球的高度是tanCI+tanP”

23.（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等

角对等边“）.

已知：如图，4ABC中，ZB=ZC.

求证：AB=AC.

三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证，明.小刚的

方法：作NBAC的平分线AD,可证AABD之Z\ACD,得AB=AC；小亮的

方法：作BC边上的高AD,可证△ABDZ/iACD,得AB=AC；小莉的方

法：作BC边上的中线AD.

(1)请你写出小刚与小亮方法中AABD也ZXACD的理由：AAS；

(2)请你按照小莉的思路完成命题的证明.

【解答】解：(1)△ABDgZXACD的理由是AAS,

故答案为AAS.

(2)证明：过点D作DE_LAB于点E,过点D作DFLAC于点F.

VZBED=ZCFD=90°,ZB=ZC,BD=CD.

.,.△BDE^ACDF(AAS).

.\BE=CF,DE=DF.

在RtAAED和RtAAFD中，ZAED=ZAFD=90°.

VAD=AD,DE=DF,

ARtAAED^RtAAFD.

.\AE=AF.

.,.AE+BE=AF+CF.

即AB=AC.

24.(8分)已知：如图，AABC的外接圆是。0,AD是BC边上的高.

(1)请用尺规作出。0(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)若AB=8,AC=6,AD=5.4,求。。的，半径.

【解答】解：(1)如图，。。是所求作的图形.

(2)如图，作。0的直径AE,连接BE.

•.•AE是直径,

ZABE=90°.

VZADC=ZABE=90°，ZC=ZE,

...AABE^AADC,

•—AEpn8_AE

**AD-AC-1T4-T?

解得AE=M

.••。0的半径为萼.

25.(10分)快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地

后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止.图①表示两车行驶过程中离

甲地的路程y(km)与出发时间x(h)的函数图象，请结合图①中的

信息，解答下列问题：

(1)快车的速度为_km/h,慢车的速度为1为km/h,甲乙两地的

距离为50km；

(2)求出发多长时间,两车相距100km；

(3)若两车之间的距离为skm,在图②的直角坐标系中画出s(km)

【解答】解：(1)快车的速度为300+2=150km/h,慢车的速度为:

3004-6=50km/h,甲乙两地的距离为300km,

故答案为：150,50,300；

(2)快车在行驶过程中离A地的路程力与时间x的函数关系式：

当0WxV2时，y,=150x,

当2WxW4时，YF300-150(x-2),即y,=600-150x.

慢车在行驶过程中离A地的路程yz与时间x的函数关系式：

当0WxW6时，y2=50x,

由题意，得

①当0WxV2时，yi-y2=100,150x-50x=100,解得x=l；

②当2WxV3时，y!-y2=100,600-150x-50x=100,解得x=2.5；

③当3WxV4时，y2-yi=100,50x-(600-150x)=100,解得x=3.5；

④当4WxW6时，两车相距大于100km.

答：出发1h或2.5h或3.5h后，两车相距100km；

(3)s与x的函数图象如图所示：

26.(10分)如图，二次函数y=ax2+bx-4虫的图象经过A(-1,0)、

B(4,0)两点，于y轴交于点D.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)已知点C(3,m)在这个二次函数的图象上，连接BC,点P为

抛物线上一点，

且NCBP=60°.

①求NOBD的度数;

②求点P的坐标.

【解答】（1）由题意知：解得

U6a+4b-4V3=0lb=-3V3

.,.该二次函数的表达式为y=V3x2-3yx-4A/3；

（2）①\•当x=0时，y=-4V3.

.••抛物线与y轴交点D的坐标为（0,-4加）.

•・•在ABOD中,ZB0D=90°,0B=4,0D=4“,

2

.,.BD=^OD2+OB=8,即BD=20B，

AZ0DB=30".

AZ0BD=60°；

②过点P作PE±x轴于点E,过点C作CF±BD于点F,

,.,x=3时、m=-4V3.

...点C的坐标为(3,-4炳).

,.，CD〃x轴，

.*.CD=3,ZCDB=60°,ZDCF=30°.

.♦.DF得CD=|>CF=7CD2-DF2=_3,

~2

•.•BD=8,

/.BF=8-擀得，

设点P的坐标为(x,V3x2-3yx-473).

贝！JPE=-Vsx2+3V3X+4A/3»BE=4-x,

：NCBP=N0BD=60°,

二.ZCBF=ZPBE.

VZCFB=ZPEB=90".

.,.△CBF^APBE.

.CF=PE

•'BF-BE,

.-73x2+373X+4-73

134-x,

2

解得：Xi=4（舍去）,X2=-招

JLO

当X=-瑞时,y=-186g

169

.二点P的坐标为（-根，-186^3）.

JLO一……”

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27.（12分）【问题提出】

我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的

判定”进一步探究.

【初步思考】

在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角

相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件.如图1,四

边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：

①A，B=CD；②AD=BC；③AB〃CD；④AD〃BC；

⑤NBAD=N⑥NABC=N⑦0A=0C；⑧0B=0D.

BCD；ADC；

那么满足2个条件的四边形是不是平行四边形呢？

【深入探究】

小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类

型:

I关于对边的2个条件；II关于对角的2个条件；

m关于对角线的2个条件；w关于边的条件与角的条件各1个；

V关于边的条件与对角线的条件各1个；VI关于角的条件与对角线的

条件各1个.

(1)小明认为“I关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①

③，①④”共4种不同种类的情形.请你仿照小明的叙述对」其它五

种类型进一步分类.

(2)小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据.请你写出其它

的三个判定定理.

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

(3)小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了

其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题(无

需证明)

真命题1：四边形ABCD中，若NBAD=NBCD,