2022-2023学年人教版数学七年级下册期末压轴题训练 (一)

2022-2023学年人教版七年级下册数学期末压轴题训练

1.阅读下面材料：

彤彤遇到这样一个问题：

已知：如图甲，AB//CD,E为AB,CD之间一点，连接BE,DE,得到/BED.

求证：ZBED=ZB+ZD.

彤彤是这样做的：

过点E作EF//AB,

则有NBEF=NB.

VAB//CD,

，EF//CD.

AZFED=ZD.

...NBEF+/FED=NB+/D.

即/BED=/B+/D.

请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙.

已知：直线a//b,点A,B在直线a上，点C,D在直线b上，连接AD,BC,BE平分

ZABC,DE平分/ADC,且BE,DE所在的直线交于点E.

图甲图乙

(1)如图1,当点B在点A的左侧时，若/ABC=60。，ZADC=70°,求/BED的度数；

(2)如图2,当点B在点A的右侧时，设NABC=a,/ADC=0,直接写出NBED的度数(用

含有a,。的式子表示).

2.如图，已知AMBN,点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC,BD分别平分

和NPBN,分别交射线AM于点C,D.

(1)当NA=52。时，NA6N的度数是,NC8O的度数是；

(2)当NA=x。时、求NCBO的度数(用含x的式子表示)；

(3)当点P运动到使=NA=x。时，求NABP的度数(用含x的代子表示).

3.在平面直角坐标系中，过A(0,4)的直线a垂直于y轴，点M(9,4)为直线a上一点，若点

P从点M出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点同时出发，以每秒1cm的速度沿

x轴向右移动，

(2)在点P、Q运动的过程中，若线段0Q=2AP,求点P的坐标.

4.在三角形ABC中，点D在线段A5上，DEBC交AC于点E,点F在射线8C上，作直线

EF，过点D作直线AC交直线EE于点H.

图1图2-1图2-2

(1)在如图1所示的情况下，说明：/HDE=NC；

(2)若三角形ABC不变，D,E两点的位置也不变，点F在射线BC上运动.

①如图1,当点H在三角形ABC内部时，说明/与ZFEC的数量关系；

②如图2-1和图2-2中的点F,会使点H在三角形ABC外部，请你画图探究ZDHF与NEEC的

数量关系，直接写出结论；

5.如图，ZAOB=150°,射线0C从0A开始，绕点0逆时针旋转，旋转的速度为每秒6。；射线

OD从OB开始，绕点0顺时针旋转，旋转的速度为每秒14。，OC和0D同时旋转，设旋转的时间为

t秒(0<t<25).

(1)当t为何值时，射线0C与0D重合；

(2)当t为何值时,ZCOD=90°；

(3)试探索：在射线0C与0D旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC、0B与0D中

的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的t的取值，若不

存在，请说明理由.

6.如图，已知AM〃BN,ZA=60°,点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC、BD分别平分

NABP和/PBN,分别交射线AM于点C,D。

APDM

(1)求NCBD的度数。

(2)当点P运动时，NAPB与/ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它

们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律。

7.问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块含60。角的直角三角尺EFG

(ZEFG=90°,ZEGF=60°)”为主题开展数学活动.

操作发现

(1)如图(1),小明把三角尺的60。角的顶点G放在CD上，若N2=2N1,求N1的度数；

(2)如图(2),小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明

NAEF与NFGC之间的数量关系；

(3)如图(3),小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30。角的顶点E落在AB上.若NAEG=

a,则/CFG等于(用含a的式子表示).

8.已知，如图，点M、N分别代表两个村庄，直线I代表两个村庄之间的一条燃气管道，根

据村民燃气需求，计划在管道/上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道.

M

(1)若计划建一个离村庄M最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置(用点P表示),

并写出这样做的依据.

(2)若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄M、村庄N距离之和最

小，画出燃气管理站的位置(用点。表示)，并写出这样做的依据.

9.如图，AB〃CD,点E为两直线之间的一点

图1图2图3W4

(1)如图1,若/BAE=35。，/DCE=20。，则/AEC=；

(2)如图2,试说明,ZBAE+ZAEC+ZECD=360°；

(3)①如图3,若NBAE的平分线与/DCE的平分线相交于点F,判断/AEC与NAFC的数量

关系，并说明理由；

②如图4,若设NE=m,ZBAF=-ZFAE,ZDCF=-ZFCE,请直接用含m、n的代数式

nn

表示/F的度数.

10.已知AB〃CD,点是AB,CD之间的一点.

图1图2

(1)如图1,试探索/AEC,ZBAE,/DCE之间的数量关系；

以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空(理由或数学式)：

解：过点E作PE〃AB(过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行).

VAB/7CD(已知),

；.PE〃CD(),

.,./BAE=N1,/DCE=/2(),

/.NBAE+NDCE=+(等式的性质).

即/AEC,ZBAE,/DCE之间的数量关系是.

(2)如图2,点F是AB,CD之间的一点，AF平分NBAE,CF平分/DCE.

①若NAEC=74。，求/AFC的大小；

②若CGLAF,垂足为点G,CE平分NDCG,ZAEC+ZAFC=126°,求/BAE的大小.

11.综合与实践

问题背景：

(1)已知A(1,2),B(3,2),C(1,-1),D(-3,-3).在平面直角坐标系中描出这几

个点，并分别找到线段AB和CD中点Pi、P2,然后写出它们的坐标，则P,

P2.

(2)探究发现：结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为(xi,yD,(X2,

y2),则线段的中点坐标为.

(3)拓展应用：利用上述规律解决下列问题：己知三点E(-1,2),F(3,1),G(1,4),第

四个点H(x,y)与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的

中点重合，求点H的坐标.

12.直线ABCD,点P在两平行线之间，点E,F分别在AB、CD上，连接PE,PF.尝试探究并

(1)若图1中Nl=36。，Z2=60°,则/3=；

(2)探究图1中Nl,N2与N3之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图2所示，N1与N3的平分线交于点P,若N2=a,试求的度数(用含a的代

数式表示).

(1)求证：AB〃OC；

(2)如图2,E、F在CB上，且满足NFOB=NAOB,OE平分NCOF,

①当NC=100。时，求NEOB的度数.

②若平行移动AB,那么NOBC：NOFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不

变，求出这个比值.

14.25.如图，已知AB〃CD,CN是NBCE的平分线.

(1)若CM平分NBCD,求NMCN的度数；

(2)若CM在NBCD的内部，且CM_LCN于C,求证：CM平分NBCD；

(3)在(2)的条件下，连结BM,BN,且BMLBN,/MBN绕着B点旋转，/BMC+/BNC是

否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围.

15.如图，已知AM//BN,NA=60。.点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC、BD分别平分

/ABP和/PBN.

(1)求NABN的度数

(2)当点P运动时，NCBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。若变化，

请写出变化规律.

(3)当点P运动到使NACB=NABD时，求NABC的度数。

16.如图所示，A(2,0),点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三

角形DEC,且点C的坐标为(-6,4).

(1)直接写出点E的坐标；

(2)在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC—CD”移动.若点P的速度为每秒2个单位

长度，运动时间为t秒，回答下列问题：

①求点P在运动过程中的坐标，(用含t的式子表示，写出过程)；

②当3秒<t<5秒时，设NCBP=x。，/PAD=y。，NBPA=z。，试问x,y,z之间的数量关系

能否确定？若能，请用含x,y的式子表示z,写出过程；若不能，说明理由.

17.直线EF,GH之间有一个直角三角形ABC，其中ABAC=90°.

(I)如图1,点A在直线EF上，点6、点C在直线GH上，若ZABC=60°，

ZE4c=30。.求证：EF//GH.

(2)将ABC如图2放置，点C、点B分别在直线EF，GH上，直线EF//GH,

试探索/FCA,乙4，ZABH三者之间的数量关系.

(3)如图3,在图2的基础上，若BC平分ZABH,CD平分ZFCA交直线GH于点

D.试探索在ZABC取不同数值时，NBCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化指

出其变化范围.

18.如图1,已知两条直线AB,CD被直线EF所截，分别交于点E,F,EM平分/AEF交CD于点

M,且NFEM=/FME.

(1)直线AB与直线CD的位置关系是

（2）如图2,点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分NFEG交CD于点H,过点H

作HN_LEM于点N,设NEHN=a,ZEGF=p.

图2

①当点G在运动过程中，若。=65。，求a的度数；

②当点G在运动过程中，a和p之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.

19.如图，已知直线L,L,点P在直线b上且不与点A、B重合.记/AEP=/1,ZBFP=Z2,

ZEPF=Z3.

（1）如图，若直线h//h,点P在线段AB（A、B两点除外）上运动时，写出N1、/2、/3之

间的关系，并说明理由.

（2）如图，若（1）中/I、/2、/3之间的关系成立，你能不能反向推出直线1WL?若成立请

说明理由.

（3）如图，若直线h//h,若点P在A、B两点外侧运动时（不包括线段AB）,请直接写出/I、

/2、N3之间的关系.

3x+2y=/77+1

20.已知关于x,y的方程满足方程组.，.

2x+y=加一1

（1）若x-y=2,求加的值；

（2）若x,y,m均为非负数，求〃z的取值范围，并化简式子|加-3|+|加-4|；

（3）在（2）的条件下求s=2x-3y+m的最小值及最大值.

21.（探索新知）

।।।

ACB

图1

如图1,点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC=TIAC,则称点C是线段AB的圆周率

点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段.

（1）若AC=3,贝ijAB=；

（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则ACDB；

（3）（深入研究）如图2,现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1

的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置.

01234

图2

若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度.

(4)图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆

周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数.

22.已知直线PQMN,动点C在尸。与之间.

(1)如图1,若N1与N2都是锐角，求NC,Zl,N2三者之间的数量关系；

(2)如图2,将一块三角尺(其中NA=30°,ZC=90°)按图中位置摆放，点D,E,F是三角

尺的边与平行线的交点，若NAEN=/A,求N3OF的度数；

(3)如图3,将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段

上，且NCEG=NCEM,求NGEN与N8OR之间的数量关系.

23.如图1,点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且

(2)如图2,点G在射线FC上，PG平分NEGF,NPFD=NPEG,探究NEPF与NPGF之

间的数量关系.并说明理由；

(3)如图3,ZBEM^IAPEM,ACFN=2APFN.直线HQ分别交FN,EM于H、Q两

点，若NEW=150。，求NFHQ-NHQE的度数.

24.问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块含60°角的直角

三角尺£：歹6(/瓦6=90,/石6尸=60)”为主题开展数学活动.

图1图2图3

(1)操作发现：

如图1,小明把三角尺的60角的顶点G放在CD上，若N2=2N1,求N1的度数；

(2)如图2,小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明

ZAEF与ZFGC之间的数量关系；

(3)结论应用：

如图3,小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30角的顶点E落在AB上.若ZAEG=a,

求ZCFG的度数(用含a的式子表示).

备用图

(1)问题情境：

如图1,AB//CD,NP4B=128。，NPC£)=119°.求Z4PC度数.小颖同学的解题思路是:

如图2,过点P作PE//AB,请你接着完成解答.

(2)问题迁移:

如图3,AD//BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，

ZADP=Aa,NPCE=4.试判断ZCPD、Na、S之间有何数量关系？(提示：过

点P作PF//AD),请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O

三点不重合)，请你猜想ZCPD、乙a、邛之间的数量关系并证明.

答案解析部分

1.(1)解：如图1,过点E作EF〃AB,

图】

有NBEF=/EBA.

：AB〃CD,

，EF〃CD.

.,.ZFED=ZEDC.

ZBEF+ZFED=ZEBA+ZEDC.

即ZBED=ZEBA+ZEDC,

：BE平分NABC,DE平分NADC,

ZEBA=-NABC=30。，ZEDC=-NADC=35。,

22

NBED=/EBA+NEDC=65。.

答:/BED的度数为65。；

(2)NBED=180。一；0+；〃

2.(1)128°；64°

(2)解：YAMBN,

：.ZABN+ZA=ISO°,

：.ZABN=lSO°-x°,

：.ZABP+ZPBN=180°—,

：BC平分/4BP,BP平分NPBN,

：.ZABP=2ZCBP,ZPBN=2ZDBP,

二2ZCBP+2NDBP=180°-x°,

...NCBD=ZCBP+NDBP=g(180°—x°)=90°-gx°；

(3)解：BN,

：.ZACB=ZCBN,

■:NACB=NABD,

：.ZABD=ZCBN,

：./ABD-4CBD=4CBN-ZCBD,

，ZCBA=ZDBN,

,.♦8(：平分乙钻。，BD平分NP8N,

...ZABP=2ZCBA,NPBN=2ZDBN,

二ZABP=NPBN,

：.NABP=L/ABN,

2

AMBN,

AZABN+ZA=180°,

ZAB/V=180o-x°,

/.ZABP=-ZABN2(180。-x。)=90。-L。.

22V72

3.⑴解:M(9,4),

.-.AM=9,

设f秒后PQ平行于y轴，

.•.OQ=纪m,AP=AM-PM^(9-2t)cm,

AM垂直于y轴，(M垂直于x轴，P。平行于y轴,

••・四边形OAPQ是矩形，

•1.AP=OQ,即9-2』，

解得r=3,

即3秒后尸。平行于y轴；

(2)解：由题意得：经过b秒后，PM=2bcm,OQ=bcm,

AM垂直于丁轴，点P在直线AM上，且点A的坐标为A(0,4),

•••点P的纵坐标为4,

①当点P在点A右侧时，AP=AM-PM=(9-2加cm,

由OQ=2A尸得：8=2(9—如)，

1Q

解得人=不，

189

AP=9-2x—=-(cm),

55

此时点P的坐标为产《，4)；

②当点P在点A左侧时，AP=PM-AM=(力—9)cm,

由OQ=2AP得：b=2(2b-9),

解得人=6,

AP=2x6-9=3(cm),

・•・此时点P的坐标为尸(-3,4)；

9

综上，点P的坐标为(1«4)或(-3,4).

4.(1)解：VDEBC,

.,.ZAED=ZC,

VDHAC,

.,.ZHDE=ZAED.

：.ZHDE=ZC

(2)解：①当点H在△ABC内部时，ZDHF+ZFEC=180°,

理由如下：

VDHAC,

；./FEC=/DHE,

又：NDHE+NDHF=180°,

.,.ZDHF+ZFEC=180o；

②当点H在△ABC外部时，①中结论不成立，

理由如下：i).如图2-1,当点H在直线DE上方时，

VDHAC,

/.ZDHF=ZFEC.

图2-1

ii).如图2-2,当点H在直线DE下方时,

VDHAC,

/.ZDHF=ZFEC.

综上所述，当点H在△ABC外部时，ZDHF=ZFEC.

5.(1)解：设ZAOC=6t,NBOD=T4t,

当射线OC与OD重合时，ZAOC+ABOD=ZAOB,

即6°r+14°r=150°,解得t=7.5s,

...当t=7.5s时，射线OC与OD重合

(2)解：①射线OC与0D重合前，

Z.COD=ZAOB-(ZAOC+ZBOD),

即90o=150°-(6°?+14or)，解得r=3s；

②射线OC与OD重合后，

ZAOC+ZBOD-ZCOD=ZAOB，

即6°f+14oZ-90o=150°,解得t=\2s，

，当t=3s或/=12.y时，ZCOD=90°

(3)解：①如图，OD平分NBOC,贝ijZBOD=ZCOD，

：.ZBOD=ZAOB-ZBOD-ZAOC,

75

即14°r=150o-14or-6°r,解得t=—s；

17

②如图，OC平分NBOD,则ZBOC=-ZBOD,

2

/.ZAOB-ZAOC=-ZBOD,

2

即150°-6°/=-xl4°z,解得r=—.v；

213

③如图，OB平分ZCOD,贝ijNCOB=NDOB,

4

•.里〉25,

4

，不成立，舍去;

解：：AM〃BN

.*.ZA+ZABN=180°

又：BC、BD分别平分NABP,ZPBN

/.ZCBP=-ZABP,ZPBD=-ZPBN

22

又,:ZABP+ZPBN=ZABN=180°-ZA=120°

.•.2ZCBP+2ZPBD=120°

/.ZCBP+ZPBD=60°

，ZCBD=ZCBP+ZPBD=60°

/.ZCBD的度数为60°

(2)当点P运动时，NAPB=2/ADB不变，理由:

AM〃BN

ZAPB=ZPBN

又•.，NADB=NDBN=-ZPBN

2

ZAPB=2ZDBN=2ZPDB,

，ZAPB=2ZADB

7.(1)解：如图1.

；AB〃CD,AZ1=ZEGD.

又,；/2=2Nl,/.Z2=2ZEGD.

又,.•/FGE=60°,/.ZEGD=-(180°-60°)=40°,AZ1=40°

3

(2)解：如图2.

£B

o

re(2)

：AB〃CD,.*.ZAEG+ZCGE=180°,EPZAEF+ZFEG+ZEGF+ZFGC=180°.

又：ZFEG+ZEGF=90°,NAEF+NGFC=90。结论应用

(3)600-a

8.(1)解：•.•计划建一个离村庄M最近的燃气管理站，

过点M作MP,直线I,

N

则MP为垂线段，

二点P为所求，

根据连结直线外一点M,与直线上个点的所有线中，垂线段最短，

故依据为：垂线段最短

(2)解：•••燃气管理站的位置到村庄M、村庄N距离之和最小,

,连结MN,

•••根据所有连结两点的线中，线段最短，

，MQ+NQ=MN,

二点Q为所求.

故依据为：两点之间，线段最短.

9.(1)55°

(2)证明：如图所示，过点E作EG〃AB,

B

E冬1

G

D

图2

•.♦AB〃CD，AB〃CD〃EG,

.♦.NA+N1=180°,NC+/2=180°,

ZA+Z1+Z2+ZC=36O°,

即ZBAE+ZAEC+ZECD=360°.

(3)解：①2NAFC+NAEC=360。，理由如下：

由(1)可得，NAFC=NBAF+NDCF,

：AF平分NBAE,CF平分NDCE,

；./BAE=2/BAF,/DCE=2/DCF,

ZBAE+ZDCE=2ZAFC,

由(2)可知，ZBAE+ZAEC+ZDCE=360°,

2ZAFC+ZAEC=360°.

人/360°-m

②NF=-----------.

0+1

10.(1)平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；Zl；Z2；NAEC=

ZBAE+ZDCE

(2)解：①过F作FG〃AB,

由(1)得：/AEC=NBAE+NDCE,

：AB〃CD,FG〃AB,

，CD〃FG,

...NBAF=NAFG,NDCF=NGFC,

二ZAFC=ZAFG+ZGFC=ZBAF+ZDCF,

：AF平分NBAE,CF平分NDCE,

ZBAF=-ZBAE,ZDCF=-ZDCE,

22

/AFC=NBAF+NDCF,

=-ZBAE+-ZDCE,

22

=-(ZBAE+ZDCE),

2

=-ZAEC,

2

1

=-x74°,

2

=37°；

②由①得：ZAEC=2ZAFC,

VZAEC+ZAFC=126°,

・・・2NAFC+NAFC=126。

・・・3NAFC=126。，

，NAFC=42。，ZAEC=84°,

VCG1AF,

AZCGF=90°,

・•・ZGCF=90-ZAFC=48°,

〈CE平分NDCG,

/.ZGCE=ZECD,

TCF平分NDCE,

.•・ZDCE=2ZDCF=2ZECF,

AZGCF=3ZDCF,

.\ZDCF=16°,

・・・NDCE=32。，

AZBAE=ZAEC-ZDCE=52°.

11.(1)(2,2)；(-1,-2)

⑵(学，胃)

(3)解：,(-1,2),F(3,1),G(1,4),

35

...EF、FG、EG的中点分别为：（1,—）、（2,)、(0,3)

22

3x+1y+4=3

.•.①HG过EF中点(1,二)时，——=1

222―2

解得：x=1,y=-1,故H(1,-1)；

5—14-r2+y_5_

②EH过FG中点(2,-)时，-----=2,

222―2

解得：x=5,y=3,故H（5,3）；

③FH过EG的中点（0,3）时，*匕=0,匕上=3

22

解得：x=-3,y=5,故H(-3,5).

・••点H的坐标为：(1,-1),(5,3),(-3,5).

12.(1)24°

(2)解：结论：N2=N1+N3.

理由：如图1中，作PMAB.

VABCD,ABPM,

APMCD,

AZ1=ZMPE,Z3=ZMPF,

•\Z2=Z1+Z3.

(3)解：如图2中，

VZBEP+ZDFP=Z2=a,

EPF=NBEP+NDFP=L(ZBEP+ZDFP)=-a

22

13.(1)解：VCB//OA,

AZC+ZCOA=180°.

VZC=ZOAB,

AZOAB+ZCOA=180o,

・・・AB〃OC

(2)解：①NCOA=1800-NC=70。.

VZFOB=ZAOB,OE平分NCOF,

JZFOB+ZEOF=(ZAOF+ZCOF)=ZCOA=35°；

②NOBC：NOFC的值不发生变化.

VCB/7OA,

AZOBC=ZBOA,ZOFC=ZFOA.

VZFOB=ZAOB,

AZFOA=2ZBOA,

AZOFC=2ZOBC,

AZOBC：N0FG1：2.

14.(1)VCN,CM分别平分NBCE和NBCD,

ABCN=-ZBCE,ZBCM=-ZBCD,

22

VZBCE+ZBCD=180°,

，NMCN=NBCN+NBCM=-ZBCE+-NBCD=-(NBCE+NBCD)=90。；

222

(2)VCM1CN,・・・NMCN=90。，即NBCN+NBCM=90。，

Z.2ZBCN+2ZBCM=180°,

•「CN是NBCE的平分线，AZBCE=2ZBCN,

JZBCE+2ZBCM=180°,

又・・・NBCE+NBCD=180。，AZBCD=2ZBCM,

又「CM在NBCD的内部，.'CM平分/BCD；

(3)如图，ZBMC+ZBNC=180°,延长AB至F,过N,M分另ij作NG〃AB,MH〃AB,则有

NG〃AB〃:MH〃CD,

.../BNG=NABN,NCNG=/ECN,NBMH=NFBM,NCMH=NDCM,

VBM±BN,CM1CN,AZMBN=ZMCN=90°,

：/ABN+/MBN+FBM=180°,ZECN+ZMCN+ZDCM=180°,

，ZABN+ZFBM+ZECN+ZDCM=180°,

/BMC+NBNC=ZBMH+ZCMH+ZBNG+/CNG=ZABN+ZFBM+ZECN+/DCM=

180°,

ZBMC+/BNC=180。不变.

15.(1)证明:VAM//BN

.•.ZA+ZABN=180°

,/ZA=60°

ZABN=1800-ZA=180°-60=120°

(2)解：如图，

没有变化。

：CB平分/ABP,BD平分/PBN

：.Zi=-ZABP.N2=-ZPBN

22

.,.ZCBD=Z1+Z2=-(ZABP+ZPBN)

2

=-xl20°=60°

2

(3)解:如图,

".'AM//BN

；.NACB=NCBN

VZACB=ZABD

.,.ZCBN=ZABD

ZCBN-ZCBD=ZABD-ZCBD

即N1=N4

又：CB平分NABP,BD平分NPBN

：.Z\=Z2Z3=Z4

.".Zl=Z2=Z3=Z4=120°-4=30°

即/ABC=30°

16.(1)(-4,0)

(2)解：①；BC=6,CO=4

AD点P在线段BC上时，PB=t

PCM；

2)点P在线段CD上时，PD=4-(f-6)=10-/

P(WOT)；

②能确定

如图，作P作PEHBC交于AB于E,则PEHAD

：.Zl=ZCBP=x。,Z2=ZDAP=y°

ZBPA=Z1+Z2=x°+y°=z°

z=x+y.

17.(1)解：VZBAC=90°,ZABC=60°,

/ACB=30°,

：NFAC=30。，

.,.ZFAC=ZACB,

AEF//GH；

(2)解：如图2,过点A作AP//EF,

则NFCA+/CAP=180。，

.,.ZCAP=180°-ZFCA,

VEF//GH,

/.AP//GH,

.,.ZPAB+ZABH=180°,

.,.ZPAB=180°-ZABH,

ZBAC=ZCAP+ZPAB

=180°-ZFCA+180°-ZABH

=360°-ZFCA-ZABH,

即ZBAC+ZFCA+ZABH=360°

(3)解：不发生变化，

理由是：如图3,过点A作AM//GH,

图3

又；EF//GH,

AAM//EF//GH,

.,.ZFCA+ZCAM=180°,ZMAB+ZABH=180°,NCBH=/ECB,

又：ZCAM+ZMAB=ZBAC=90°,

.*.ZFCA+ZABH=270o,

又：BC平分NABH,CD平分NFCA,

/.ZFCD+ZCBH=135°,

又：NCBH=NECB,即NFCD+NECB=135。，

/.ZBCD=18O0-(ZFCD+ZECB)=45°.

18.(1)ABCD

(2)解：①如图2中,

图2

ABIICD,

:.ZAEG+AEGF=ISO°,

ZAEG^18Q0-ZEGF=180°-65°=115。.

；EH平分/FEG,

4HEF=/HEG.

ZAEM=ZFEM,

ZHEN=NFEM+ZHEF=-ZAEG=57.5°,

2

HN工EM,

:.ZHNE=90°,

a=NEHN=90°-ZHEN=32.5°.

②结论：a=g|3.

理由如下：

AB//CD,

ZAEG=180°-p,

ZAEM=ZFEM,NHEF=ZHEG,

ZHEN=ZMEF+ZHEF=1/AEG=90°—gP,

HNLEM,

:.ZHNE=90°,

a=ZEHN=900-ZHEN=.

19.(1)解：过P作PQ〃h〃12,

由两直线平行，内错角相等，可得：N1=NQPE、N2=NQPF；

VZ3=ZQPE+ZQPF,

.*.Z3=Z1+Z2,

(2)解：可以反推直线L〃L.理由具体如下：

过点P作PQi平行h，如下图(2)所示：

因为PQi平行h,所以Nl=NQiPE；又因为N3=NQiPE+NQiPF,且N3=N1+N2,所以可得

/2=NQPF,则根据平行线的判定法则：内错角相等，两直线平行可知PQi平行12；又由于PQi平

行h,PQ1平行12,所以W/12.故反推成立.

(3)解：当点P在A点上方时，过点P作PQ2〃h〃12,如下图所示：

则：NI=/Q2PE、/2=/Q2PF；

VZ3=ZQ2PF-ZQ2PE,

AZ3=Z2-Z1.

当点P在B点下方时，过点P作PQ3〃h〃b,如下图所示:

根据题意我们设N1=NPEA、N2=NPFB、Z3=ZEPF；则由图可知:Z1=ZQ?PE.Z2=

NQ3PF；

VZ3=ZQ3PE-ZQ3PF,

AZ3=Z1-Z2.

3x+2y="+1①

20.(1)解:

2x+y=m-1(2)

①-(2)x2得：-x=-m+3,即x=m-3,

把x=m-3代入②得：2m-6+y=m-1,ERy=-m+5,

把x=m-3,y=-m+5代入x-y=2中，得：m-3+m-5=2,即m=5；

m-3>0

(2)解：由题意得:

-m+5..O

解得：3<m<5,

当3<m<4时，

m-3>0,m-4<0,

则原式二m-3+4-m=l；

当4<m<5

m-3>0,m-4>0,

则原式=01-3+m-4=2m-7；

(3)解：根据题意得：s=2m-6+3m-15+m=6m-21,

V3<m<5,

当m=3时，s=-3；m=5时，s=9,

则s的最小值为-3,最大值为9.

21.(1)3兀+3

(2)=

(3)解：由题意可知，C点表示的数是兀+1,

M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM=x,

x+7tX=7l+1,解得X=1,

MN=7C+1-1-1=7C-1

(4)解：设点D表示的数为x,

如图3,若CD=7tOD,则兀+1-X=TIX，解得x=1；

0兀+1

11

0DC

图3

如图4,若ODFCD,则X=7l（兀+1-X）,解得X=7C；

0兀+1

1

0图4DC

如图5,若OC=7TCD,则兀+1=7C（X-7C-1）,解得X=7t+—+2;

71

0兀+1

।1

0CD

图5

如图6,若CD=7iOC,贝|JX・（n+l）=71（兀+1）,解得乂=兀2+2兀+1

0兀+1X

1_____A

图6D

综上，D点所表示的数是1、兀、兀+—+2、7T2+2K+1

兀

22.(1)解：ZACB=Z1+Z2,

理由：如图，过C作CO〃PQ,

•；PQ//MN,

：.PQ//CD//MN,

：.Zl=ZACD,Z2=ZBCD,

：.ZACB=ZACD+ZBCD=N1+N2,

，ZACB=Zl+Z2；

（2）解：VZMEC=ZAEN,又NAEN=/A,

/.ZMEC=ZA=30°,

由（1）可知：NC=NPDC+NMEC,

又•.•NC=90。，

二NPDC=90°-30°=60°,

则/BDF=/PDC=60。；

（3）解：设NCEG=/CEM=x,则NGEN=180。-2x=2（90。一x）,

由（1）可得，ZC=ZCEM+ZCDP,

：.NCDP=90°—NCEM=9O°—x,

二ZBDF=90°-x,

，NGEN=2NBDF.

23.(1)证明：如图1,过P作PKAB.

AEB

'：ABPK,

ZAEP+ZEPK=ISO°.

,/ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°,

：.ZKPF+ZPFC=180°.

：.PKCD,

•：A