2022年辽宁省营口市中考数学试卷（解析版）

2022年辽宁省营口市中考数学试卷

考试注意事项:

1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理;

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不

准以任何理由离开考场;

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答（作图可使用铅笔），不准用规定以外

的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。

4、考试开始信号发出后，考生方可开始作答。

一、选择题（共10小题，共30分）

1.在近，0,-1,2这四个实数中，最大的数是（）

A.0B.-1C.

2.如图是由五个相同的正方体搭成的几何体,

正面

3.下列计算正确的是（）

A.d+Q2=Q3B.(Q2>=Q8C.3a③—a3=3D.a2+4a2=5a4

4.如图，直线。E//尸G,RCA4BC的顶点B,C分另IJ在OE,

FG上，若4BCF=25°,则乙4BE的大小为（）

A.55°

B.25°

C.65°

D.75°

5.关于％的一元二次方程％2+4x-m=0有两个实数根,则实数m的取值范围为（）

A.m<4B.m>—4C.m<4D.m>—4

6.分式方程三=三的解是（）

XX-Z

A.%=2B.x=-6C.x=6D.x=-2

7.我国元朝朱世杰所著的博学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一

道问题：“良马日行二百四十里，鸳马日行一百五十里，鸳马先行一十二日，问良

马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，

试问快马几天可以追上慢马？若设快马》天可以追上慢马，则下列方程正确的是

（）

A.240x+150x=150x12B.240x-150%=240x12

C.240%+150%=240x12D.240x-150%=150x12

8.如图，点a,B,C,。在。。上，力C1BC,AC=4,/ADC=c

30°,则BC的长为（）

:.r.切口

C.4V2D

D.4

9.如图，在△ABC中，AB=AC,乙4=36。，由图中的尺规作图A

得到的射线与AC交于点D,则以下推断错误的是（）

AB.AD"="BD十/T"V\

C.乙ADB=108°B

D.CD=^AD

10.如图，在矩形ABC。中，点M在力B边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在力。边

上的点E处，连接EC,过点B作BF_LEC,垂足为F,若CD=1,CF=2,则线段AE

的长为（）

A.V5—2B.V3—1C.|D.|

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

第2页，共28页

11.一2的相反数是.

12.不等式组HK6的解集为.

13.甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”.两人5次成绩的平均数都是95分,

方差分别是S%=2.5,S；=3,则两人成绩比较稳定的是.（填“甲”或

“乙”）

14.如图，将AaBC沿着BC方向平移得到△DEF,只需

添加一个条件即可证明四边形4BED是菱形，这个

条件可以是.（写出一个即可）

15.如图，在正六边形4BCDEF中，连接AC,CF,则

乙ACF=度.

16.如图1,在四边形4BC。中,BC//AD,ZD=90°,乙4=45°,动点P,Q同时从点4出

发，点P以acm/s的速度沿4B向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速

度沿折线4D-DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s）,△APQ的面积为y（cm2）,

三、解答题（本大题共9小题，共102分）

17.先化简，再求值：（a+l—瞽）+胃广，其中a=g+|-2|—C）T.

18.为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛,

比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组(依次记

为4B,C,。).小雨和莉莉两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机

抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组.

(1)小雨抽到力组题目的概率是；

(2)请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率.

19.某校为了了解疫情期间学生居家锻炼时长的情况，随机抽取了部分学生，就居家一

周的锻炼时长进行了统计调查，根据调查结果，将居家锻炼时长分为4,B,C,。四

个组别.

学生居家锻炼时长分组表

组别ABCD

t(小时)0<t<22<t<44<t<6t>6

下面两幅图为不完整的统计图.

学生居家一周锻炼时长班形统计图

(1)此次共抽取名学生；

(2)补全条形统计图，并求扇形统计图中4组所在扇形的圆心角的度数：

(3)若全校有1000名学生，请根据抽样调查结果，估计。组(居家锻炼时长不少于6小

时)的人数.

20.如图，在平面直角坐标系中，△04C的边OC在y轴上，反比例函数y=>0)的

图象经过点4和点B(2,6),且点B为AC的中点.

(1)求4的值和点C的坐标；

(2)求404c的周长.

第4页，共28页

21.在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的

坡脚4处测得大楼顶部M的仰角是58。，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得

大楼顶部M的仰角是22。，已知斜坡的坡度i=3：4(坡度是指坡面的铅直高度与

水平宽度的比)，求大楼MN的高度.(图中的点A,B,M,N,C均在同一平面内，

N,A,C在同一水平线上，参考数据：tan22°»0.4,tan58°«1.6)

M

22.如图，在△力BC中，AB=AC,以力B为直径作O0与2C交于点E,过点4作。。的

切线交BC的延长线于点D.

(1)求证：乙D=乙EBC；

(2)若CD=2BC,AE=3,求。。的半径.

23.某文具店最近有4B两款纪念册比较畅销.该店购进4款纪念册5本和B款纪念册4

本共需156元，购进4款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元.在销售中发现：4款

纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；8款纪

念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之

间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

售价(元/本)22232425

每天销售量(本)80787674

(1)求4B两款纪念册每本的进价分别为多少元；

(2)该店准备降低每本4款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两

款纪念册每天销售总数不变，设4款纪念册每本降价小元；

①直接写出8款纪念册每天的销售量(用含m的代数式表示)：

②当4款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？

24.如图1,在正方形4BCD中，点M为CD边上一点，过点M作MN_LCD且DM=MN,

连接DN,BM,CN,点P,Q分别为BM,CN的中点，连接PQ.

(1)证明：CM=2PQ；

(2)将图1中的△OMN绕正方形4BC0的顶点。顺时针旋转a(0。<a<360°).

①(1)中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理

由；

②若AB=10,DM=2V5.在AOMN绕点。旋转的过程中，当B,M,N三点共线

时，请直接写出线段PQ的长.

25.在平面直角坐标系中，抛物线丁=一；/+"+©经过点4(一；,给)和点8(4,0),与y

ZZo

轴交于点C,点P为为物线上一动点.

(1)求抛物线和直线4B的解析式；

(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD14B,垂足为D,作PElx

轴，垂足为E,交4B于点F,设△PDF的面积为5i，4BEF的面积为S?，当卷=卷时，

求点P坐标;

第6页，共28页

(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN?

若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】c

解：一1<0(企<2,

・••最大的数是2；

故选：C.

根据实数的大小比较法则即可得出答案.

此题考查了实数的大小比较，熟练掌握掌握大于0,负数小于0,正数大于一切负数.

2.【答案】B

解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2,1.左视图如下：

故选：B.

细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可.

本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，视图中每一个闭合的线框都

表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上.

3.【答案】B

解：A.a6^a2=a4,故本选项不合题意；

B.(a2)4=a8,故本选项符合题意；

C.3a3-a3=2a3,故本选项不合题意；

D.a2+4a2=5a2,故本选项不合题意；

故选：B.

选项A根据同底数基的除法法则判断即可，同底数塞的除法法则:底数不变,指数相减；

选项B根据募的乘方运算法则判断即可，累的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C、

。根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果

作为系数，字母和字母的指数不变.

本题考查了合并同类项，同底数嘉的除法以及暴的乘方，掌握修改运算法则是解答本题

的关键.

4.【答案】C

第8页，共28页

---DE//FG,Z.BCF=25°,

•••乙CBE=乙BCF=25°,

,:4ABC=90°,

•••乙ABE=^ABC-乙CBE=65°.

故选：C.

由平行线的性质可得"BE=ZBCF=25。，再由直角三角形得/ABC=90。，从而可求

〃BE的度数.

本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相

等.

5.【答案】D

解：・关于x的一元二次方程/+4x-m=0有两个实数根，

J=42—4x1x(-m)=16+4m>0.

解得：m>-4,

故选：D.

根据根的判别式好已知条件得出4=42-4x1x(-m)>0,再求出TH的范围即可.

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式内容是解此题的关键，注意：已知一元二次

方程a/+bx+c=0(a、b、c为常数，a羊0),当炉-4ac>0时，方程有两个不相等

的实数解；当b'2-4ac=0时，方程有两个相等的实数解；当〃一4砒<0时，方程没

有实数解.

6.【答案】C

解：”W，

XX-2

方程两边都乘x(x-2),得3(x-2)=2x,

解得：x=6,

检验：当x=6时,x(x—2)清0,

所以x=6是原方程的解，

即原方程的解是x=6,

故选：C.

方程两边都乘双x-2)得出3(x-2)=2x,求出方程的解，再进行检验即可.

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

7.【答案】D

解：依题意得：240x-150x=150x12.

故选：D.

利用路程=速度X时间，结合％天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出

关于x的一元一次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是

解题的关键.

8.【答案】A

解：连接AB,如图所示，

•••AACB=90°.

•••AADC=30°,

乙ABC=4ADC=30°.

•••在Rt△ABC中，

tanz.ABC

"AC=4,

故选：A.

连接48,可得△4BC是直角三角形，利用圆周角定理可得N4BC=乙ADC=30°,在Rt△

ABC中，AC=4,利用三角函数可求出BC的长.

本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键.

9【答案】D

第10页，共28页

解：在△ABC中，

-AB=AC,

:.Z.ABC=Z.ACB.

・・•5=36°,

•••AABC=zc=|(180°-36°)=72°.

•••BD平分"BC,

/.ABD=乙CBD=36°.

・•・乙ABD=乙4.

•-AD=故选项3正确；

・・•乙BDC=+/-ABD=72°.

・•・Z.C=/-BDC.

•••BD=BC.故选项A正确；

v乙BDC=72°,

Z.ADB=108。.故选项C正确；

在△BCD中，CD牛三BD,

XvAD=BD,

•••C。4故选项。错误.

故选：D.

根据已知条件AB=AC,44=36。，可得△ABC是底角为72。的等腰三角形，再根据尺

规作图可得BD平分乙4BC,再根据等腰三角形的性质对各选项进行判断即可.

本题考查了顶角为36。的等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

10.【答案】A

解：设4E=x,BM=a,

•：CD=1=AB,

・•・AM=1—a,

・・•△BCM沿直线CM折叠，使点8落在/D边上的点E处，

・•.ME=BM=a,乙MEC=4MBC=90°,BC=EC,

在RtAAME中，AM2+AE2=ME2,

(1—a)2+x2=M①,

・・•"ME=90°-Z,AEM=乙DEC,

:.sin/-AME=sinz.Z)FC,

.•.任="，即工=上，

MEECaEC

JEC=x

・・.BC=X

•・•Z.BCF=乙DEC="ME,

・••cosZ-BCF=cos/TlME,

2

CFAMNN_

・B•C・一=ME一,即-万—a—

化简变形得：a=l—2x②，

把②代入①得：

(1-1+2x)2+x2=(l-2x)2,

解得x=V5-2或x=—V5—2(舍去)，

:.AE=事,-2,

故选：A.

设4E=x,BM=a,在Rt△4ME「P，可得(1—a)2+x2=a?①，由sinzJlME=sinz.DEC,

有工=白，即得EC=2=BC,而知coszlBCF=

QECX/BCF=NDEC=N4ME,COSZJIME,

21—a

可得亘=W,即a=l—2x②，把②代入①可解得4E=病一2.

X

本题考查矩形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握

翻折的性质，能熟练应用勾股定理及三角函数列方程解决问题.

11.【答案】2

解：一2的相反数是：一(一2)=2,

故答案为：2.

根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号、求解即可.

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数

的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒

数的意义混淆.

12.【答案】1<x<8

解:m4嗯，

(9-%>1@

解①得x>1,

第12页，共28页

解②得x<8,

所以不等式组的解集为1<久<8.

故答案为：l<x<8.

分别解两个不等式得到x>1和x<8,然后大小小大中间找确定不等式组的解集.

本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的

解集，再求出这些解集的公共部分.

13.【答案】甲

解：•.•两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是S^=2.5,S：=3,

•••s*<s>

・••成绩比较稳定的是甲；

故答案为：甲.

根据方差的定义，方差越小数据越稳定.

本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组

数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分

布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

14.【答案】AB=4。（答案不唯一）

解：这个条件可以是4B=4。，理由如下：

由平移的性质得：AB//DE,AB=DE,

四边形ABED是平行四边形，

又；AB=AD,

二平行四边形ABED是菱形，

故答案为：AB=4。（答案不唯一）.

由平移的性质得4B〃0E,AB=DE,则四边形ABEO是平行四边形，再由菱形的判定

即可得出结论.

本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及平移的性质等知识，熟练掌握菱

形的判定和平移的性质是解题的关键.

15.【答案】30

解：设正六边形的边长为1,

正六边形的每个内角=(6-2)X180。+6=120°,

vAB=BC,乙B=120°,

Z.BAC=乙BCA=|x(180°-120°)=30°,

•••Z.BAF=120°,

•••Z.CAF=Z.BAF-^BAC=120°-30°=90°,

如图，过点B作BMJLAC于点M,则AM=CM(等腰三角形三线合一)，

vZ.BMA=90°,Z.BAM=30°,

•••BM=-AB=-,

22

AM=7AB2-BM2=小2-(1)2=圣

AC=2AM=V3,

，“广AF1y/3

~~p——,

vtanz./lCr=—AC—63

：.Z.ACF=30°,

故答案为：30.

设正六边形的边长为1,正六边形的每个内角为120。，在△ABC中，根据等腰三角形两

底角相等得到NB4C=30°,从而4a4F=4BAF-4BAC=120°-30°=90°,过点B作

于点M,根据含30。的直角三角形的性质求出BM,根据勾股定理求出AM,进

而得到AC的长，根据tan/ACF=竺=二=更即可得出"1CF=30°.

ACy/33

本题考查了正多边形与圆，根据tan/ACF="=%=更得出4ACF=30。是解题的关键.

AC3

16.【答案】T

4

在RtUOE中，

・・•Z.AED=90°,Z.EAD=45°,

AE

---=—V2，

AD2

第14页，共28页

♦.•点P的速度为夜cm/s，点Q的速度为2cm/s,

•••AP=V2x>AQ=2x,

AP_V2£_V2

力Q-2t-2

在A/IPQ和A4ED中,

AEAP>[2dLc

—=—=——，乙4=45°,

ADAQ2

・••△AED^is.APQ,

・••点Q在4。上运动时，A/PQ为等腰直角三角形,

・•・AP=PQ=V2x,

・•・当点Q在AC上运动时，y=^AP-AQ=^Xy/2xxV2x=x2,

由图像可知，当y=9此时面积最大，x=3或-3(负值舍去),

AD=2x=6cm,

当3Vx44时，过点P作PF14。于点心如图:

此时S—PQ=S-PF+S四边形PQDF—S>ADQ,

在RtA/PQ中，AP=岳,=45。，

在RM/PQ中，AP=%,/.A=45°,

・•・AF=PF=x,FD=6—xfQD=2x—6,

••・S^APQ=j+1(^+2%—6)-(6—%)—|x6x(2x—6),

即y=—%2+6%,

当x=(时，y=_(，+6x;=手，

故答案为：多.

根据题意以及函数图像可得出△ZEDs^ZPQ,则点Q在4。上运动时，△APQ为等腰直

角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为9时，此时x=3,贝iL4D=2x=

6cm,当3<“W4时，过点P作PF_L4D于点F,结合面积公式，分别表示出相关线段

可得y与x之间的函数解析式，最后代入求解即可.

本题考查了动点问题的函数图像，注意分类讨论，求出各段函数的函数关系式是解答本

题的关键.

17.【答案】解:原式=(a+l)2-(5+2a)a+1

Q+19+2)2

a2+2a+l-5-2aa+1

Q+l9+2)2

a2-4a+1

a+1(a+2)2

_(d+2)(o.-2)Cl+1

a+1(a+2)2

a-2

a+2

Va=V9+I-2|-C)T=34-2-2=3,

二原式啧/

【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则

约分得到原式=考，然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数辕的意义计算

a+2

出a的值，最后把a的值代入计算即可.

本题考查分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式

的值.在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进

行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.也考查了实数的运算.

18.【答案】7

4

解：(1)小雨抽到4组题目的概率是%

故答案为：

4

(2)画树状图如下：

开始

ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果有4种，

••・小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率为白=p

164

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果

第16页，共28页

有4种，再由概率公式求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到

的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.【答案】50

解：(1)20+40%=50(人)，

即此次共抽取50名学生；

故答案为：50；

(2)B组的人数为：50-5-20-10=15(A).

补全条形统计图如下：

扇形统计图中4组所在扇形的圆心角的度数为：360。、卷=36。；

(3)1000X*200(人)，

答：估计全校。组(居家锻炼时长不少于6小时)的人数为200人.

(1)由C组有20人，占40%,可求得接受问卷调查的人数；

(2)由(1)可求得B组的人数，继而补全条形统计图；用360。乘4组所占比例可得扇形统计

图中4组所在扇形的圆心角的度数；

(3)利用样本估计总体的方法，即可求得答案.

本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决

问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

•・•BE1CD,AD1CD,

••.AD//BE,

又・・•8为AC的中点.

・・・AD=2BE=4,CE=DE,

把％=4代入反比例函数y=3得，

y=12+4=3,

・,•点4(4,3),即。0=3,

:・DE=0E—0D=6—3=3=CE,

:.0C=9,

即点C(0,9),

答：k=12,C(0,9)；

(2)在Rt△4。。中，

OA=>JOD2+AD2—V32+42-5>

在RtZMDC中，

AC=^JAD2+DC2~V42+62=2^13.

•••△40C的周长为：2m+5+9=2g+14.

【解析】(1)把点B(2,6)代入反比例函数的关系式可求出k的值，利用相似三角形的性质

可求出4的坐标，进而得出点C坐标；

(2)利用勾股定理求出04、AC的长即可.

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性

质，掌握勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质是正确解答

的前提.

21.【答案】解：过点B作BE1AC,垂足为E,过点B作垂足为D,

则BE=DN,DB=NE,

•••斜坡4B的坡度i=3：4,

第18页，共28页

二B一E=一3，

AE4

.•.设BE=3a米，则4E=4a米,

在Rt△ABE中，AB=y/AE2+BE2=y/(3a)2+(4a)2=5a(米)，

•••AB=75米，

5a=75,

a=15,

DN=BE=45米，AE=60米，

设N4=x米，

•••BD=NE=AN+AE=(^x+60)米,

在RtaANM中，/.NAM=58%

MN=AN-tan58°«1.6x(米)，

•••DM=MN-DN=(1.6x-45)米，

在RtAMDB中,/MBD=22°,

解得：x=57.5,

经检验：x=57.5是原方程的根，

MN=1.6%=92（米），

.•・大楼MN的高度约为92米.

【解析】过点8作BE，AC,垂足为E,过点B作BDLMN,垂足为D,贝UBE=DN,DB=

NE,根据已知可设BE=3a米，则AE=4a米，从而在心△ABE中，利用勾股定理可求

出4E,BE的长，然后设M4=x米，在RtZkANM中，利用锐角三角函数的定义求出MN

的长，从而求出M。，OB的长，最后在RtAMOB中，利用锐角三角函数的定义列出关

于x的方程，进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件

并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

22.【答案】（1）证明：TD与。。相切于点4

4DAO=90°,

•••NO+/.ABD=90°,

,••4B是O。的直径，

•••^LAEB=90°,

・•・乙BEC=180°-Z-AEB=90°,

・•.乙ACB+Z.EBC=90°,

・・•AB=AC,

・••Z-ACB=乙ABC,

-乙D=乙EBC；

(2)解：・・•CD=2BC,

・•・BD=3BC，

•・•乙DAB=乙CEB=90°,乙D=乙EBC,

・•・△DAB^h.BEC,

BDAB二

—=—=3,

BCEC

・•・AB=3EC,

-AB=AC,AE=3,

:.AE+EC=ABf

:.3+EC=3EC,

・•・EC=1.5,

・,./B=3EC=4.5,

・・・O0的半径为2.25.

【解析】(1)根据切线的性质可得=90°,从而可得4。+Z.ABD=90°,根据直径

所对的圆周角是直角可得NBEC=90°,从而可得Z4CB+乙EBC=90。，然后利用等腰

三角形的性质可得乙4cB=乙4BC,从而利用等角的余角相等即可解答；

(2)根据已知可得BO=3BC,然后利用(1)的结论可得△DAByBEC,从而利用相似三

角形的性质可得AB=3EC,然后根据AB=AC,进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，

熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

23.【答案】解：(1)设4款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，

根据题意得：吃KM黑

解得仁得

答：4款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；

(2)①根据题意，4款纪念册每本降价m兀，可多售出2m本4款纪念册，

•••两款纪念册每天销售总数不变，

第20页，共28页

•••B款纪念册每天的销售量为(80-2m)本；

②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y=kx+b',

根据表格可得:嘿:就答，

窜胃4,

・•・y=-2x+124,

当y=80—27n时，x=224-m,

即B款纪念册每天的销售量为(80-2m)本时，每本售价是(22+m)元，

设该店每天所获利润是w元，

由已知可得w=(32—m—20)(40+2m)+(22+m—14)(80—2m)=-4m2+

48m+1120=-4(m-6)2+1264,

v-4<0,

m=6时，w取最大值，最大值为1264元，

此时4款纪念册售价为32-巾=32-6=26(元)，

答：当4款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元.

【解析】(1)设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，根据购进4款

纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进4款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元

<:慧=做，可解得4款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元;

(2)①根据两款纪念册每天销售总数不变，可得B款纪念册每天的销售量为(80-2m)本;

②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y=kx+",待定系数

法可得y=-2x+124,即可得B款纪念册每天的销售量为(80-2m)本时，每本售价是

(22+m)元，设该店每天所获利润是w元，则w=(32-m-20)(40+2m)+(22+m-

14)(80-2m)=-4m2+48m+1120=-4(m-6)2+1264,根据二次函数性质可得

答案.

本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和函

数关系式.

24.【答案】(1)证明：如图1中，连接NP,延长NP交CB于点J.

图1

vMN1CD,

・•・"MN=乙DCB=90°,

・•・MN//CB.

・・.乙PMN=乙PBJ,

在△PMN和APB/中，

仔PMN=乙PBJ

PM=PB,

NMPN=乙BPJ

・•・△PMN三PBJ(ASA),

・•・MN=NJ,

・泄边形/BCD是正方形，

CD=CB,

vDM=MN,

・•・DM=BJ,

ACM=CJ,

・：NQ=QC,NP=NJ,

・•・PQ制c/，

•••PQ=\CM,

•••CM=2PQ；

(2)①解：成立.

理由：如图2中，延长NM交BC的延长线于点R,交CD于点K,连接NP,延长NP到7,

使得PT=PN,连接CT,BT.

第22页，共28页

R

图2

•・・PM=P8,乙MPN=幺BPT,PN=PT,

・•.△PMN且PBT(SAS),

・・・MN=BT,乙PMN=CPBT,

・•・NR//BT,

:.乙R=Z.CBT，

・・•乙DMK=乙RCK=90°,乙DKM=乙CKR,

・•・乙R=Z-CDM,

・•・Z.CDM=乙CBT,

,:DC=BC,DM=MN=BT,

・•・△CDM/CBT(SAS),

:.CM=CT,

:.NQ=QC,NP=NJ,

■■PQ=\cj,

...PQ=^CM,

•••CM=2PQ；

②解：如图3-1中，当点N在BM的延长线上时，连接BD,取BD的中点0,连接0M,

OC,过点B作BR1CM于点R.

N

图3-1

VCD=CB=10,乙DCB=90°,

:.BD=y[2BC=10点

・・•乙DMB=90°,

・•・BM=yjBD2-DM2=J(10>/2)2-(2A/5)2=6西，

・・•"MB=乙DCB=90°,DO=OB,

.・.OM=OD=OC=OB,

:,D,M,B,C四点共圆，

・•・乙BMR=乙CDB=45°,

・・・MR=BR=—BM=3同，

2

CR=7cB2-BR2=J102-(3710)2=710-

CM=RM+CR=4A/10.

PQ=^CM=2V10；

如图3-2中，当点N落在BM上时，同法可证0,M,C,B四点共圆,

M

图3-2

•••Z.CMB=乙CDB=45°,

CR=MR,

设CR=MR=x,则102=/+(6西一x)2,

解得％=2遥或4遍(舍弃)，

第24页，共28页

■1•CM=yj2x=2-/10>

APQ=^CM=VlO,

综上所述，PQ的值为2“U或VTU.

【解析】(1)如图1中，连接NP,延长NP交CB于点♦证明APAIN三PB/(4S4),推出MN=

NJ,再证明CM=C」,利用三角形中位线定理证明即可；

(2)①成立.如图2中，延长NM交BC的延长线于点R,交CD于点、K,连接NP,延长NP到

T,使得P7=PN,连接C7,BT.证明△PMN三△PB7(SAS),推出MN=B7,乙PMN=

NPBT,再证明ACDM三ACBnSAS),推出CM=CT,可得结论.

②分两种情形：如图3-1中，当点N在的延长线上时，连接BD,取BD的中点。，

连接OM,0C,过点B作BR1CM于点R.如图3-2中，证明D,M,C,B四点共圆，利

用勾股定理求出MR,CR即可.当点N落在BM上时，同法可证D,M,C,B四点共圆，

设CR=MR=X,则IO?=i+仁西-乃2,解方程求出x即可.

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角

形，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解

决问题，属于中考压轴题.

25.【答案】解：(1)•.•抛物线y=-\x2+bx+c经过点4(—的和点B(4,0)

NLo

111,.27

Xb+c=——

2-42------------------8

(-|xl6+4b+c=0,

解得忆;，

抛物线的解析式为：y=-|^2+x+4；

设直线4B的解析式为：y=kx+b',

(--k+b'=-

二《28,

Uk+y=0

解得尸V.

kb'=3

二直线4B的解析式为：y=-：x+3.

(2)如图，设直线48与y轴交于点G,

・•・(7(0,3),

・•・OG—3,OB=4,AB=5,

•・•PD1AB,PE1OB,

・•・乙PDF=乙BEF=乙GOB=90°,

v乙P+Z-PFD=乙BFE+乙OBE=90°,乙PFE=乙BFE,

:.乙P=乙OBE,

PDF〜ABOG,

・・・PD：DF：PF=OB：OG：AB=3：4：5,

・・・PD=|PF,DF=|PF,

・・・Si=--PD-DF=—PF2,

1225

设点P的横坐标为m,则P(?n,-1巾？+m+4)(0<m<4),

3

F(m,--m4-3),E(m,0),

APF=--m24-7n+4—(--m+3)=--m24--m4-l,B£,=4—m,FF=—-m+3,

2k4y24