2022年高考数学大复习小题课时练26 向量的坐标表示及其运算 解析版

课时26向量的坐标表示及其运算

（基础题）

一、单选题

1.（2022•上海）如下图，M是线段08的中点，设向量丽=£,OB=b，那么次能够表示为（）

一1一一1一

A.〃+—Z?B.-a+—b

22

-1_1_

C.ci—brD.-a—b

22

【答案】B

【分析】由向量的线性运算，可得解

【详解】由题意，AM=OM-OA=-b-a.

2

故选：B

2.（2022・上海）在AABC中，。是AB边上的中点，则丽=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CAj=2CD-CA

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

3.（2022・上海）已知正方形4BC£＞的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,则,+5+4=.

A.0B.3C.应D.2a

【答案】D

【分析】利用向量的加法以及向量的模即可求解.

【详解】因为通+初=瓦,所以|£+坂+"|=悒.

因为|2|=0，所以|2+B+"|=2&，

故选：D.

【点睛】本题考查了向量的加法以及求向量的模，属于基本知识的考查.

二、填空题

4.（2021•上海市建平中学高三月考）已知向量方=（3,7）,砺=（6,-3）,灵=（2巩加+1）.若丽〃反，

则实数加的值为.

【答案】-3

【分析】求得向量丽的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数机的等式，进而uJ■求得实数

m的值.

【详解】•.•向量况=（3,T）,OB=（6,-3）,0C=（2m,m+\）,则而=而一砺=（3,1）,

又•.•福//反，则3（机+1）=2加，解得〃?=一3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查利用平面向量共线的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题.

5.（2022•上海）已知向量去（1,2）,5=（2,-2）,c=（l,2）.若口|（2。+5）,则2=.

【答案】y

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可.

【详解】由题可得2?+1=（4,2）

•：cI1（2a+b^,c=（1,2）

.•.4九一2=0,即入=；

故答案为g

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.

6.（2022•上海）设.，1是平面内不共线的向量，已知通=21+%1,而=1+31，而=霍二，若

A,B,。三点共线，贝必=.

【答案】-8

【分析】求出而，利用三点共线，得到而=2前，求出2和火.

【详解】由题意，8）=丽-丽=21-己—（1+3公）=1-44，

又通=21+左瑟，且A、B、C三点共线，

由共线向量定理得，存在实数A使得AB=ABD成立，

即2q+能=2卜।-4弓），

仅=2

则，，，，解得％=-8.

卜=-44

故答案为：-8.

7.（2022・上海）已知向量£=（2,5）3=（九4）,若。〃力，则2=.

Q

【答案】I

（分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于2的方程，解方程即可求得实数A的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-4x5=0,

Q

解方程可得：A=|.

Q

故答案为：

8.（2022•上海）在平行四边形A3CO中，对角线AC与比＞交于点。，AB+AD=ZAd,则无=

【答案】2

【分析】利用向量加法的平行四边形法则直接求解即可.

【详解】

由向量加法的平行四边形法则，得而+而=*=2而，故2=2.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.

9.(2018・上海市七宝中学高三三模)设点。在AABC的内部，点£>,E分别为边AC,BC的中点，且

|OD+2O£|=l,则向+2而+3因=

【答案】2

【分析】由向量的加法法则，把厉+2而+3反转化为2(而+2历)，从而易得结论.

【详解】：点。，E分别为边AC,8c的中点，，百i+反=2而，OB+OC=2OE，

：.\OA+2OB+3OC\=\OA+OC+2(OB+OC)|=\^OD+4砺卜2口方+2Of|=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查求向量的模，向量关键是利用向量加法法则，把丽+2而+3元转化为2(历+2砺).

10.(2018•上海闵行。已知直线/的一个法向量是元=(6,-1)，则/的倾斜角的大小是.

【答案】y

【分析】设直线/的倾斜角为0,9S[0,7t).设直线的方向向量为力=(x,y),则匠•万=0,可得tanO

=y_

X

【详解】解：设直线/的倾斜角为0,9G[0,rt).

设直线的方向向量为6=(x,y),则必元=Gx-y=0,

tanO=—=>/3,解得0=工.

x3

7T

故答案为：~.

【点睛】本题考查/直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量枳的关系，考查了

推理能力与计算能力，属于基础题.

11.(2019•上海松江•高三一模)已知向量4=(1,2),5=(〃?,-3),若向量3-2力〃人则实数团=

【答案】--3

【分析】先由题意，得至心-2%=(1-2机,8),根据向量共线的坐标表示，得到(1-2W)X(-3)-8机=0,求

解，即可得出结果.

【详解】因为向量£=(1,2),力=(皿-3),所以)-2力=(1-2,〃,8),

又(a-2，)〃E，所以(1-2加)*(-3)-8"?=0,即2，"+3=0,

3

解得：tn=--.

3

故答案为：-5

【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.

12.(2021•上海高三模拟预测)已知向量a=。,1),5=(1,-1),c=(>/2cosa,72sina)(aeR),实数加，〃

满足欣i+nb=c>则(m-2尸+/?2的最大值为.

【答案】9

【分析】利用向量的运算法则及两向量相等的公式可求出九明表示出(切-2)2+〃2,据三角函数的有界性

求出三角函数的最值.

【详解】解：ma+nb=c'

(m+n,m-n)=(5/2cosa,>/2sina)(ae7?),

m+n=0cosa,m-n->/2sina.

二.m=sin(a+?),"=cos(a+(),，m2+n2=},

{m-2)2+n2=nV+n2-4,w+4=5-4sin(a+?),

sin(a+力e[-1,1],

(m-2)2+n2的最大值为9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查向量的运算法则，向量相等的坐标公式，以及三角函数的有界性，属基础题.

13.(2019・上海静安・)已知向量阳=(1,2),蔗=(3,5),则向量及的坐标是.

【答案】(2,3)

【分析】利用反7石-丽，代入点坐标，即可.

【详解]就=而_福=(3,5)-(1,2)=(2,3)

【点睛】本道题考查/向量加减法运算，代入点坐标，即可.

14.(2019・上海长宁・高三一模)已知向量4=(3,，〃)，5=(-1,2),若向量£〃另，则实数，〃=

【答案】-6

【分析】直接利用向量共线的坐标运算得答案.

【详解】因向量a〃5，所以-m=6,m=-6,

故答案为-6.

【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题.

三、解答题

15.(2022.上海)平面上有〃个向量，其中至少有两个向量不共线，且任意”-1个向量的和都与剩下的一

个向量平行，求证：这〃个向量的和是零向量.

【分析】不妨设4与42不平行，依题意可得G+4+…+团=九4①且4+%+…②，从而得到

(1+2)4=(1+〃)4，即可求出;I,从而得证；

【详解】证明：不妨设4与&不平行.

由题意，有&+4+…+万”①且4+4+…+万”=〃万2②.

①②左右两边分别加上4，久,得(1+2)4=(1+〃)G.

：4与a2不平行,

1+2=1+//=0,L!|J2=—1.代入①式即有4+q+…+瓦”=0

【点睛】本题考查平面向量的线性运算以及平面向量共线定理的应用，属于基础题.

16.(2019・上海高三模拟预测)已知1=(sina,l),B=(cosa,2),

(1)若求sin2a的值；

(2)在⑴的条件下，若cos(a+0=K，求$必的值.

【答案】⑴士⑵上心

565

【分析］⑴由a〃行可得tana=；，再由万能公式可得sin2a的值，

(2)利用sin/?=sin(a+〃-a)=sin(a+y?)cosa-cos(a+(3)sinauj得答案.

【详解】(1)因为1//B,所以2sina-cosa=0,即tana=g,

2x-

一—.2sinacosa2tana?4

所以sm2a=2sincrcosa=——---------=——彳-----=—：——=—.

sin~a+cos~atana+\(_Ly+l5

兀I

(2)由⑴知,cosa=2sina，且a£(0,―)，所以sin?a+(2sina)?=1,所以sin，a=《.

所以5皿。=亚,(：05。

55

又/£（0,《）,所以2+万£（0,万），所以sin（a+夕）=J1一cos?（a+夕）=12

13

所以sin夕=sin（a+P~a）=sin（a+0）cosa-cos（a+/7）sin2

【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，二倍角的正弦公式，同角公式，两角差的正弦公式，属于基础题.

技能专题练J

（能力题）

一、单选题

1.（2020.上海长宁.高三三模）设G,5是非零向量，“无5=|司|51是“洲区”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】a3=同同cos（万,5）,由己知得cos（a,5）=i,即他5）=0,不〃5.而当不〃5时，他看）还可能是

打，此时&石=-|同忖，故"无5=同同”是“加区”的充分而不必要条件，故选A.

考点：充分必要条件、向量共线.

2.（2018・上海黄浦•高三二模）在给出的下列命题中，是假命题的是

A.设。、A、B、C是同一平面上的四个不同的点，若诙=，〃•9+（1-根）•反（，〃wR）,则点AB、C必共

线

B.若向量£出是平面a上的两个不平行的向量，则平面a上的任一向量2都可以表示为

^=2万+〃5（〃、2eR）,且表示方法是唯一的

C.已知平面向量冰瓯元满足I西|=|加14觉1=«。°），且次+砺+元=0,则AAfiC是等边三角形

D.在平面口上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量仄5、及2,使得其中任意两个向

量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直

【答案】D

【详解】由西=m•诙+（1-机）•配=西-配=帆•（诙-元）nC5=m瓯・则点AB、C必共线，故A

正确;

山平面向量基本定理可知B正确;

由|）卜|加|=|元卜r（r>0）可知。为AA3C的外心，由5+而+近=0可知。为AA3C的重心，故。为

A4BC的中心，即AABC是等边三角形，故C正确；

存在四个向量（1,0）,（0,1）,（2,0）,（0,-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和

向量相互垂直,D错误

故选D.

3.（2019・上海静安•）己知下列4个命题：

①若复数卬Z2的模相等，则卬z是共规复数.

②Z1，Z?都是复数，若Z1+Z2是虚数，则Zj不是Z?的共貌复数.

③复数Z是实数的充要条件是Z=N.（5是z的共规复数）.

④已知复数4=-l+2i,%=l-i,Z3=3-2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为4,B,C.0为坐标原

点.^OC=xOA+yOB（x,y&R）,则x+y=l.

则其中正确命题的个数为.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本道题结合复数的概念和向量的加减法，代入，即可.

【详解】1号可能复数相等，故错误.2号明显正确，因为如果为共辗复数，则相加为实数，不会为虚

数.4号.〃+初二。一次，计算得到b=0,故正确.3号，由题可知，

A（T2）,5（LT）,C（3,-2）,建立等式,（3,—2）=（—x+y,2x—y）

—x+y=3

建立等式，得到｛.°,解得X=l,y=4,故错误.故选B.

2x—y=-2

【点睛】本道题考查了复数的概念和向量坐标运算，代入，即可得出答案.

4.（2022・上海）已知EF半径为2应的圆C上的一条动弦，且£F=4,。为圆C内接正三角形边上一动

点，则前.前的最大值为（）

A.3B.2后C.4D.2A/2

【答案】C

【分析】根据题意，设M是动弦E尸的中点，判断M点的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆，根据向量的

线性运算法则，表达丽・丽，即可求解.

【详解】由题意，£尸是半径为2a的圆C上的一条动弦，设M是动弦针的中点，

则=2,故M点的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆，

则而亦=(诙-证)(砺—砺)=砺(砺+诙)-迹砺一砺2

由M是E尸的中点，则证+诉ME=-MF

贝IJ而•丽=砺2—砺2，由|赤1=2,则丽.历=4一须2

因为。是圆C内接正三角形边上一动点，M是动弦EF的中点，

所以当。取M点的轨迹与正三角形交点时，|诟|=0是最小值，

此时(丽•前)=4

故选：c

【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积运算求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.

5.(2022•上海)已知向量W=1),6=xwR,则“x=—l”是"：〃广’的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】C

【分析】根据题意，若％=-1时，贝C工=(-1,1,1)，得出得出7"，反之"小

则2=列式求出x=-l，结合充要条件的判定，即可得出结论•

【详解】解：己知a=(1,苍—1),b=>

=M1］a=(1,-1,—1)>b=(-1,1,1)>

可得［工，则有"。

所以充分条件成立，

反之,若"小则［/，即：(U,-l)=2(x,l,l)

l=2x

即：<x=/L,解得：x=-l,

-1=2

所以必要条件成立,

综合可得："x=T”是"：//广'的充要条件.

故选：C.

【点睛】本题考查充要条件的判断，以及空间向量共线的运算，考查运算能力.

6.（2021・上海黄浦•）已知》、y是正实数，AA5C的三边长为C4=3,C8=4,AB=5,点尸是边AB（P与点

UUUU

uirCACR

48不重合）上任一点，且=若不等式2x+3yZmx-y恒成立，则实数m的取值范

\CA\'\CB\

围是（）.

A.〃？£—3B.m<2>/6C.m3—>/2D./n<3

22

【答案】A

【分析】由P,48三点共线得出满足的关系，由这个关系求得生*的最小值即可得结论.

孙

ULIULI

uirck「Rruirvuir

【详解】由题意CP=x-uir+y,uu*=—CA+—CB,

\CA\.\CB\34

因为P在线段AB上，所以5+]=1且x>o,y>o.

不等式2x+3y2m恒成立，即生山2相，

22

co（—F—）（2x+3y）—xH—y~H—xy2./—x2x。y+--xyo2->3->RL.A*11

2x+3y_、4._34，2」、丫34，2，宿广,当且仅当彳厂=二产时等号

__------------------=7zH-34

xyxyxyxy2

成立，此时X=6（4-&）"2应j）,所以生包的最小值不&+

77xy2

所以相4&

2

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量的线性运算，考查基本不等式求最值，解题关键是由三点共线得出

[+4=1，在用分离参数变形不等式后利用基本不等式求最值得范围.

7.（2022•上海）下列说法中正确的是（）

A.AB+BA=0^

B.若I、5非零向量且|万+5|=|1-5|,则。1B;

C.若141=151且&//5,则］=5；

D.若1/区，则有且只有一个实数a,使得,=府.

【答案】B

【分析】注意到零向量的符号应当是6,可知A错误；对于B：利用向量的模的性质和数量积运算可以证

明15=0,可得B正确；考虑到万=-5的情况，得到C错误；考虑到3=。，BH。，可知D错误.

【详解】通+砺=0左边是向量的加法，结果是零向量，用。表示，故A错误；

由,、5非零向量且|1+5|=|6-5],

两边平方可得/+2五0+52=2&石+户，

即15=0，所以1_Lb，故B正确；

当汗=与时也有|初=出|且々〃B，故C错误；

若d=0,BwO,不存在实数2，使得5=而，故D错误.

故选：B.

8.（2022•上海）在平面四边形A3CD中，己知AABC的面积是A4C。的面积的3倍，若存在正实数x、y

使得AC=《-3卜3+1-二卜。成立，则x+y的最小值为

A3+&R3+上„2+72c2+6

5555

【答案】D

【分析】由△ACB面积是△ADC面积的3倍，结合三角形的面积公式可知3。尸=BE,然后结合相似三角

形的性质可转化为3丽=而，然后结合向量加减法的三角形法则可用而，而表示而，然后根据向量

共线定理可设云6=九而，结合已知可求3+1=10,然后由x+y=3x+”3+1|,利用基本不等式可

xy10\xyJ

求

【详解】根据题意，如图，连接4C、BD,设AC与BZ）交于点O,过点8作8E_LAC与点E,过点。作

力/_LAC与点F,

若△ACB面积是△AOC面枳的3倍，即3DF=BE,

根据相似三角形的性质可知，3DO=OB，

；.3（DA+AO）=弧而，

—•1一3一

AO=-AB+-AD,

44

设五痴=尸十多5,

(31)技!?+*卜+29=2+石

—+—

【％y)5

当且仅当2=2且3+』=10,即》=士芭，y=l±28时取等号

xyxyioio

故答案为：出叵.

5

【点睛】本题考查向量与三角形的综合应用,涉及向量的数乘运算以及基本不等式的运用，属于基础题.

9.(2019.上海市青浦高级中学)已知五、3均为单位向量，且五7=0，若上一句+随一2近后=3，则

随+2五|的取值范围是()

A.[2V2,3]B.[2A/2,2V3]C.[2,3]D.[2,2>/3]

【答案】B

【分析】先由已知设各向量所对应的坐标，再结合向量模的几何意义，求出向量元对应点C的运动轨迹，再

结合点到直线及两点的距离求解即可.

【详解】解：因为五、6均为单位向量，且6•6=0，所以设。4=五=(1,0)，OB=b=(0,1),

2

OD=2y[2b=(0.2V2).OC=c=(x,y),则|而|=J/+(2A/2)=3，

由随一回的儿何意义为点C到点A的距离，随-2近山的儿何意义为点C到点。的距离，

因为随一句+归―2或力=3，即|。4|+|CC|=3,又|而|=3,即点C在线段AD上运动，

设荏=-2a=(-2,0)

则归+2句的几何意义为点E到点C的距离，

又4。所在的直线方程为y+2V2x-2V2=0,

贝lj|EC|min=:逮，'2|=2修

J1，(2物z

点E到点C的最大距离为点(—2,0)到点(0,2夜)的距离，即为J(_2)2+(2伪2=2后

即2鱼<|c+2a|<2V3.

故选：B.

【点睛】本题考查了向量模的几何意义及动点的轨迹问题，重点考查了点到宜线及两点的距离，属中档题.

10.(2022.上海)如图所示，向量配的模是向量血的模的f倍，而与能的夹角为。，那么我们称向量

UUIV_____

而经过一次(f,。)变换得到向量及.在直角坐标平面内，设起始向量出=(4,0),向量。A经过--1次

1，万UUUUUV

(5?)变换得到的向量为AiA(neN,">l),其中4、a“、A,*2(i€N)为逆时针排列，记A坐标为

(《抱)(ieN*),则下列命题中不亚俄的是()

4-

J

/

A1

A.b2=y[iB.b3k+i-b3k=0(A:GN*)

C.-qj=0(ZcN)D.8(%*-a—)+(4L%)=。(Z£N)

【答案】D

(12〃*、LILIUUUUUUUllHillmill

【分析】利用(5,变换的定义，推导出。4=。\+44+1+414的向量坐标，求出勺、”的表达

式，然后进行验算即可.

UUUUUU*(2乃2笈、/r-\

【详解】Q04=(4,0),经过一次变换后得到O4=(2cosT，2sin《-J=(-1,6),

点4(—1，6)，・•・。2=-1,a=G,A选项正确；

UUUUUUUUUUUUUUU

由题意知04=0^+44+1+A-4

=(4,0)+(2cosy,2sin2浦

~)冗,

ur*।、।*c27r441

所以。”=4+2cos——+cos——+LT+——-cos

"332"-3

〃，=2sin网+sin竺+L+-1Tsi

"332"'33

_鼠=Jsin2（3攵+1_D^=1^sin2左r=0，B选项正确;

JK+lJ人23%+1-33^5k—2

12（32+1-1）112（3攵-1）乃

生小一〃31=RZ?COS-----------+/ycos^^-----

c选项正确;

12（左+4-1）%12e+1-1）%

8（%4-4+3）+（%「4）=8X..,cos+2*+I-3cos

2"4T33

112kl12kn12kl32k兀八

=COS+2%---r-rCOS---=-rCOS-------rTCOS----=---7COS---HO,

F2"232*32k-232*3

D选项错误.故选D.

【点睛】本题考查新定义，首先应理解题中的新定义，转化为已有的知识来解决，本题的实质是考查向量

的坐标运算，难度较大.

三、填空题

II.（2019•上海黄浦•格致中学）已知5是两个非零向量，且31=出|=3-5|,则〃与a+5的夹角大小为

【答案】

6

【分析】根据向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，判断出£出的位置关系，由此求得万与商+5的

夹角大小.

【详解】由于|口=|5|=3-5|,根据向量模和减法的几何意义可知，以£1为邻边的平行四边形为菱形，如

JT

图所示，且AABC为等边三角形，故NABC=§,根据2+5加法的平行四边形法则可知乙与a+5的夹角大

小为

6

【点睛】本小题主要考查向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，属于基础题.

12.（2018•上海虹口・）在AAfiC中，。是BC的中点，点列以（〃eN*）在直线AC上，且满足

察=4用•质+%・加，若％=1,则数列风｝的通项公式=

【答案】%=

【解析】

如图所示,

：D是BC的中点，第=耶+丽=质+；阮,

又晤=耶+丽,第=%・耶+4•丽

•踮+丽=/•质+a“(和+g而)，

化为：丽二(1-an-an+i)BPn^--anBC,

丁点列Pn(nGN*)在线段AC上，

1-a-an+i+二a”=l,

n2

化为：an+尸-；〃〃，又a]=l,

则数列｛an｝是等比数列，首项为1,公比为-J.

故答案为

点睛：这个题目考查了向量中共线定理的应用，和数列通项的求法；对于向量的小题常见的解题思路为:

向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.

13.(2018•上海市光明中学高三期中)已知向量&=(cos(q+a)lj,5=(1,4),如果£|仍，那么

cos(看_a)的值为.

【答案】士巫

4

【分析】利用两个向量共线的性质，诱导公式，求得sin(乡-a)的值，再利用平方关系求得cos\^-a\

的值.

【详解】•.•向量1=cos6=(1,4),a//b

TT|

/.cos(—+a)>4-1*1=0,求得cos(—+a)=—,

34

即sin(----a)=—,B|Jsin(--a)=—,则cosja］二±「-!-=±2Z

2346416JV164

故答案为：土叵

4

【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，诱导公式，准确计算是关键，属于基础题.

14.（2018•上海黄浦•格致中学）在平面直角坐标系xOy中，直线,经过坐标原点，"=（3,1）是/的一个法向

量，已知数列满足：对任意的正整数”，点（〃向,4）均在/上，若生=6,则4/44%的值为一

【答案】-32

【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线的方程，求得。的=-；%，则数列｛4｝表示公比为的

等比数列，运用等比数列的通项公式，即可求解.

【详解】由题意，直线经过坐标原点，且A=（3,1）是直线/的一个法向量，可得直线/的斜率为-3,

所以直线/的方程为y=-3x,

又由点3,用，耳）在直线y=-3x上，所以a“=-3a“+1,g|Ja„+,=~a„,

所以数列｛4｝表示公比为的等比数列，可得a,=a2q=6x（-l）=-2,

所以44必的5=（-2）5=-32.

故答案为：-32.

【点睛】本题主要考查了等比数列的定义和通项公式的运用，以及直线直线的法向量的应用，着重考查了

运算与求解能力，属于基础题.

15.（2019・上海市敬业中学高三三模）已知正方形ABCD的边长为2,动圆Q的半径为近，圆心在线段

CB（含端点）上运动，P是圆Q上的动点，设向量丽=小而+〃而（利、〃为实数），则加+〃的取值范围为

【答案】[0,3]

【分析】如图所示，A方=（2,0）,4方:⑴⑵.可得㈤^“4耳+返万二色机,？"）.当圆心为点8时，AP

与。8相切且点尸在x轴的下方时，P（1，T）.此时加+〃取得最小值；当圆心为点C时，AP经过圆心时,

P(3,3).此时加+〃取得最大值.

【详解】如图所示建立坐标系，设P(x,y),

AS=(2,0),AD=(0,2).

AP=mAB+nAD=(2mf2n).

所以x=2m,y=2n,

所以z=〃?+”=—x+—y.

22'

所以y=-x+2z,它表示斜率为-1,纵截距为2z的直线，

当圆心为点8时，AP与。B相切且点P在x轴的下方时，P(L-I).

此时w+"=g-g=0,取得最小值；

当圆心为点C时，AP经过圆心时，「(3,3).

此时机+〃=[+|=3,取得最大值.

.•.则加+〃的取值范围为[0,31.

故答案为[0,3].

【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查J'推理能力与

计算能力，属于中档题.

16.(2018♦上海浦东新•华师大二附中)设A、B、C是y?=x图像上不同的三点，且元=方+；1砺若4(1,-

1),8(1,1),则2的值为.

【答案】3

【分析】首先设C(x,y),根据条件代入坐标得[、二_]+义，根据丁=x求2.

【详解】设c(x,y),•反=砺+2而,

(x,y)=(l,-l)+2(l,l)

x=1+4

,•/y?=x

y=-l+A

/.(-l+A)2=l+2,

解得：2=0或/1=3.

当义=0时，点AC重合，故舍去.

故答案为：3

【点睛】本题考查根据向量的坐标求参数，意在考查公式的理解和使用，属于基础题型.

17.(2022•上海)已知非零向量£、5、2两两不平行，且石〃,+2),b//(a+c),设"=x£+y5,

x,yeR,贝ijx+2y=.

【答案】-3

【分析】先根据向量共线把2用£和各表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解.

【详解】解：因为非零向量入b，2两两不平行，且£〃停工)，b//(a+c).

b+c),m^0,

/.h=nQ+(7),〃W0

解得

c=xa+yb

:.x=y--\

:,x+2y=-3

故答案为：-3.

【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用.解题时要认真审题，属于基础题.

18.(2018•上海市七宝中学高三期末)已知向量I=(2',0)(feR),5=(1,2),若(幼+3-//(万+5),则实

数工=______

【答案】3

【分析】分别求出疝+3b=(2%+3,6),6+5=(271,2)通过向量平行的坐标关系求解实数x.

【详解】由题:xl+3万=(2%+3,6),a+b=(2'+l,2),(xa+3b)//(a+b)

(2'x+3)x2=(2'+l)x6,

解得：x=3.

故答案为：3

【点睛】此题考查通过向量平行求参数的值，根据题意表示出向量，依据向量平行的坐标表示即可求值.

19.(2022•上海)在平面内，定点ABC满足|呵=|珂=|玩|,方.丽=丽.反=反.方=-2,动点

R团满足府卜l,PM=诟则|丽福的最大值为.

【答案】v

【分析】由|次1=1丽1=1觉可得。为A4BC的外心，又力A.丽=诙.玩=宓.冰可得。为AABC的

垂心，则。为AA5C的中心，即AABC为正三角形.运用向量的数量积定义可得AABC的边长，以A为坐

标原点，AO所在直线为x轴建立直角坐标系'Oy，求得8,C的坐标，再设尸(cos氏sin。)，(04。＜2万)，

由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合

正弦函数的值域，即可得到最大值.

【详解】解：由|方|=|丽|=|反可得。为AA3C的外心，

又徐货=彷反=反灰

可得丽.(/-反)=0,反•(丽-ZM)=O,即丽.前=反.通=0，

即有丽J.玩，反_L通，可得。为AA3C的垂心，

则。为A48C的中心，即AA3C为正三角形，

^DADB=-2,即有|两|函cosl20°=-2,

解得|德|=2,AABC的边长为4cos30°=26，

以A为坐标原点，A£＞所在直线为x釉建立直角坐标系x0y,

可得B(3,-6),C(3,G),D(2,0),

由|A户|=1,可设P(cos6,sin。)，(0“<2i),

由两=碇，可得M为PC中点，即有M(3+c°seW+sin。

22

则网”上子斗产答+可

(3一cos6)2(36+sin0)237-6cos0+6\fisin3

=-----------1-------------=---------------------

444

37+12sin(6»q)

4

当sinj"j]=l,即e时，取得最大值，且为学.

I6J34

故答案为：号.

4

【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的

求法，考查化筒整理的运算能力，属于中档题.

AMCN

20.(2022・上海)已知正六边形ABCDEF,M、N分别是对角线AC、CE上的点，使得==)=r,

【答案】曲

3

->->->]f3T

【分析】连结AC,交ECFG点，根据正六边形的性质，表示出C4=CG+GA=；CE+：C8,然后根据

22

丝=空=乙表示成丝=空+3d,由共线定理求得参数，的值.

ACCEl-r2r2

【详解】连结4。，交EC于G点、,设正六边形边长为〃，由正六边形的性质知，AD1CE,AD//CB,G

3

点为EC的中点,且AG=］。,

fff]-3T

则C4=CG+GA=—CE+—C8,

22

乂必£L

r,(r>0)则&=也，CE=—

ACCE1-rr

故鱼=包即乩=匕£南+北21&

1-r2r22r2

若8、M、N三点共线，由共线定理知，

?+*£2=1,解得『=立或-正（舍）

2r233

故答案为：B

3

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用向量&,&表示&，从而根据瞿=空=，把向量表示

ACCZs

->\—r3（1—r）一>

成C“=jCN+」/CB,若B、M、N三点共线，由共线定理可以求得参数.

2r2

21.（2019•上海高三模拟预测）在平面直角坐标系中，。是坐标原点，两定点A8满足

|OA|=|OB\=OAOB=2,由点集｛P|丽=4画+〃丽，风+|“4eR］所表示的区域的面积是

【答案】4百

1TT

【详解】由I砺1=1丽1=方砺=2,知COSNAO8=5，又gNAOBSi,则NAO8=1,又A,8是两

定点，可设A(百，1),B(0,2),P(x,y),

、=扇^=—rx

由而3方+〃丽，可得｛::=｛一厂.

产4+2〃y，3

12=-------X

26

因为以l+l/dwi,所以坐x+xwi,

32o

身一聂》0疝一聂2。£x--y<0

620262

等价于,B、八或<旦或,或,

^Jx+-1y^0+%<0SJ旦+；y<0

6262o幺

产《4J2TJ&l产，-4

由可行域可得So=gx2x后=G,所以由对称性可知点P所表示的区域面积S=4So=4有

22.（2018・上海市行知中学高三期中）已知函数〃X）=GCOS]X（X20）,图象的最高点从左到右依次记

为4B，E，…,函数/（X）的图象与X轴的交点从左到右依次记为E，不，…，

3=质・%+（然・丽）2+（%-丽丫+-+（呜・^?）“，则则17^7=_

【答案】|2

【分析】求出函数/鸟,鸟,写乙，…，的坐标，利用相等向量，可得向量或怎，氐苞二，月u的值，求

s

出以西•丽匚■，月豆二•月—推出南,耳匹，然后求解加值商7的值.

【详解】函数〃x）=Aos/xgO）图象的最高点从左到右依次记为

函数y=/（X）图象与X轴交点从左到右依次记为P2,&6，…，

4（o,G）,6（1,0）,吕（2,有）,4（3,0）,公卜,G）,6（5,0）..,

.•.瓦瓦=睡=（1,一⑹，聒嬴砾=（1,⑹，

6£+/+2=（1，—6），

七一禺小/与+i=1-3=-2,

+i'号+】/+2=1-3=-2，

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nn\记+£+2=-2,72=1,2,3,...,

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3

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