2021年人教A版必修4数学第3章-三角恒等变换单元测试卷含答案

2021年人教A版必修4数学第3章三角恒等变换单元测试卷含

答案

学校：班级：姓名：考号：

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，）

1.已知函数/（%）=bsin（3%+口）-cos（3%+3）（0V口V",o）＞0）,其图象两相邻

对称轴间的距离为泉且图像向左平移沙单位后关于原点对称，则/仁）的值为（）

A.V3B.-V3C.lD.-l

2.已知sin2a=；,a6(0,：),贝ijcosa—sina=()

，.四c通

B.CD.--------

3333

3.若sin(a+/)=[,则cos2a=()

A7c7-1

A.—B.-C.—D.i

9999

4.已知角a顶点为原点，始边与化轴非负半轴重合，点P（-百,1）在终边上，则cos（a-

衿（）

5.已知sina=3则sin(7r+a)+cos(手—a)=()

221

A.—B.—C.—D.O

333

6.已知tan(a+/=—则2sina+cosa

cosa-sina

A.-4B.4C.5D.-5

7.已知tana=-3,tan/?=1,则tan(a-0)的值为()

i1

A.-2B.—C.2D.—

22

8.已知函数f（%）=2sincoxcos2管--sin2a）x（a）＞0）在区间［一半上是增函数,

且在区间［0,兀］上恰好取得一次最大值，则3的范围是（）

c「131cl3,cl5、

A.(0,|]c.rq,-]DUr%)

9.已知向量Q=(3,1),b=(sina,cosa),S.a//b,则tan2a=()

AB--C.-D--

i544

o

10.已知sina=a6G泮)，则tan2a=()

人24242424

A.-------B.——C—D—

725257

11.函数f（%）=cos%+V^sinx在［一兀，0］上的最大值为（）

A.lB.V3C.2D.l+V3

12.已知a,£都是锐角,sina=|,cos(a+£)=*则sin6

56c16-33、63

AA.-----B.——C.—D.一

65656565

二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）

13.在平面直角坐标系中，角您的顶点为坐标原点，始边与久轴的正半轴重合，若

*M央，物6Al施"

胞*:婚Y般,点在角缢的终边上，则角嬷=.（用弧度

表示）

14.已知锐角a的终边与单位圆的交点坐标为点9，则cos2a=

2sina-cosa

15.若tana=2,则:的值为.

sina+2cosa

试卷第2页，总18页

16.已知函数/(x)=4sin(3x+⑴)(3>0,|初<；)的图象如图所示，则/(0)的值为

；函数y=/(x-§+sinx+cosx的最大值为.

三、解答题(本题共计6小题，每题11分，共计66分，)

17.己知函数/(X)=2cos2%+V3sin2x.

(1)求函数/(x)的单调递增区间：

(2)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，a=1且/(力)=3,求△ABC面积S

的最大值.

(

18.已知/'(a)=2sin(-a)+cos7i-a)

sin(7T+a)+sin(^+a)

(1)若cosa=-|,a6(0,it),求f(a)；

(2)若f(a)=1,求sin2a.

19.已知sin-=2.

sma-cosa

⑴求tana；

(2)若tan(a-0)=1,求tan(2a—0)的值.

20.已知lOsin0+3cos0=4.

2sin0+cos0

(1)求tan。的值;

(2)求tan(20-9的值.

21.已知函数f(x)=4sin(3X+<p)(xCR,4>0,3>0,0<<p<］)的部分图象如图所

示，P，Q分别是图象的最高点与相邻的最低点，且茄=(；,1),|晶+访|=4,。为

(1)求函数y=/Q)的解析式；

(2)将函数y=/(x)的图象向左平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象，求函数y=

g{x},x6［-1,2］的值域.

22.已知函数/'(%)=cos2%+2V3sinxcosx—sin2%.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求f(%)在区间［-葭］上的最大值和最小值.

试卷第4页，总18页

参考答案与试题解析

2021年人教A版必修4数学第3章三角恒等变换单元测试卷含

答案

一、选择题(本题共计12小题，每题5分，共计60分)

1.

【答案】

C

【考点】

函数y=Asin(WX+4))的图象变换

两角和与差的正弦公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：/(%)=V3sin(a)x+9)-cos(wx+(p)

(^sin(3%+0)-cos(o)x+(p)xg

2x

=2(cos^sin(a)x+9)—sin,♦cos(cox+@)]

2sin(cox+9—巴)，

6

•/图象两相邻对称轴间的距离为》

冷,r为最小正周期,

T=71,

27r27r

0)=—=—=2o,

Tn

・•・f(%)=2sin(2x+9—，)

/(X)向左平移g个单位后的解析式为:

O

y=2sin[2(%+§+尹一弓=2sin(2%+9+J

・・•/(X)向左平移3个单位后关于原点对称,

O

「・当％=0时，y=0,

2sin(◎+/)=0,

cp4——kn(k€Z),

6

<p—kn

6

,/0<(p<7tf

.57T

..<?=-，

••・f(x)=2sin(2x+宁一：)=2sin(2%+争,

AZ(n)=2sin(2xn+T)

c.57rc1A

=2sin—=2x-=1,

62

••个)=】•

故选C.

2.

【答案】

C

【考点】

二倍角的正弦公式

同角三角函数基本关系的运用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：已知sin2a=

所以1—sin2a=1—2sinacosa=|,

可得sin2a—2sinacosa+cos2a=|,

即(cosa—sina)2=|,

因为aG(0,.

所以cosa—sina>0,

解得cosa-sina=印.

故选C.

3.

【答案】

A

【考点】

二倍角的余弦公式

运用诱导公式化简求值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题意得，sin(a+/)=cosa=1,

则cos2a=2cos2a-1=2x(|)2—1=—

故选4

试卷第6页，总18页

4.

【答案】

B

【考点】

两角和与差的余弦公式

三角函数线

【解析】

根据题意求出cosa=-'，sina=5利用两角和与差公式展开代入即可.

【解答】

解：根据题意，cosa=-浮sina=

则cos(a--)=cosacos-+sinasin-

V3V311

=(--)X--F-X-

i2,222

31

=---1—

44

1

=—

2

故选B.

5.

【答案】

A

【考点】

三角函数的恒等变换及化简求值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：sin(7i+a)=—sina=-|,cos(y—a)=cos(——a)=—sina=—

所以sin(兀+a)+cos(y--a)=—|.

故选4

6.

【答案】

D

【考点】

三角函数的化简求值

同角三角函数间的基本关系

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由tan(a+])=则tana=2,

由।-2s-i-na-+-c-osa2tan—a+l

cosa-sina1-tana

故选。.

7.

【答案】

C

【考点】

两角和与差的正切公式

【解析】

直接代入两角差的正切公式，即可求出结果.

【解答】

解：因为tana=-3,tan口=1,

tana-tan/?

所以tan(a-0)=升2.

l+tanatan^

故选C.

8.

【答案】

B

【考点】

正弦函数的周期性

三角函数中的恒等变换应用

正弦函数的单调性

正弦函数的定义域和值域

运用诱导公式化简求值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：因为/'(x)=2sina)x-cos2—9一sin2a)x

COS(0i)X-+1

=2sina)x-----------------------------sin2a)x

2

=sina)x(l+sincox)—sin2cox=sincox,

v正弦函数在％=2/C7T+三处取得最大值，

2knn

令3X=2/CTT+p/.X------1-----

32a)

■-/(x)在区间［0,7T］上恰好取得一次最大值,

0<^―<7T,解得305

232

令一1+2kn<a)x<4-2/CTT,

ATJZRn.2kn,.n,2kn

解得一瓶+茄+力,

・・•/(%)在区间［-与目上是增函数,

试卷第8页，总18页

TC2TT

f

整［三3解得。式3式|,

6-2a）'

综上，|<co<|.

故选8.

9.

【答案】

D

【考点】

二倍角的正切公式

平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】

由；〃7可得tana=3,利用二倍角的正切公式即得结果.

【解答】

解：•/a=(3,1),b=(sina,cosa),且a//b,

sincr=3cosa,即tana=3,

c2tana2x33

tan2a=------k=——r=——•

l-tan2a1-324

故选D.

10.

【答案】

A

【考点】

两角和与差的正切公式

弦切互化

【解析】

【解答】

解：因为sina=|且］<a<|TT,

所以tana=--

4

故tan2a=2?=一处

l-tanza7

故选4.

11.

【答案】

A

【考点】

三角函数的最值

三角函数的积化和差公式

正弦函数的图象

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：/(%)=cosx+V3sinx=2cos(x—》

%e[-7T,0],

久一巴e[_如，_勺，

3L33J

根据余弦函数的图象可知，f(x)在[―凡0]上的最大值为/(0)=1x2=1.

故选4

12.

【答案】

D

【考点】

两角和与差的正弦公式

同角三角函数间的基本关系

【解析】

本题考查三角函数的化简求值.根据已知条件求出cosa=g由a,。都是锐角,cos(a+

0)=-5，求得sin(a+£)=!|,再根据两角差的正弦公式sin/?=sin(a+0)cosa-

cos(a+/?)sina即可得解.

【解答】

解：sina=a是锐角，

所以cosa=J1-sin2a=

因为a,/?都是锐角，

所以0Va+£V7T,

因为cos(a+3)=—

所以sin(a+B)=J1—cos2(a+.)=||,

所以sin/?=sin[(a+/?)-«]

=sin(a4-/?)cosa—cos(a+£)sina

_63

-65,

故选D.

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分)

13.

【答案】

71

6

【考点】

试卷第10页，总18页

二倍角的正切公式

【解析】

根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求解.

【解答】

因为点、_P(1—tar??2ta吟)在角a的终边上，

所以由三角函数的定义知tana=-之空和=tan(2x白)=tang="

1-tan2—\12/63

12

又0Va<71

所以a=£

6

故答案为：£

o

14.

【答案】

1

~2

【考点】

二倍角的余弦公式

任意角的三角函数

【解析】

根据任意角的三角函数的定义求得cosa的值，即可求出cos2a.

【解答】

解：若锐角a的终边与单位圆的交点坐标为&务则cosa=5

cos2a=2cos2a—1=-

2

故答案为：一£

15.

【答案】

3

4

【考点】

弦切互化

【解析】

把所求的式子分子、分母都除以cosa,根据同角三角函数的基本关系把弦化切后，得

到关于tana的关系式，把tana的值代入即可求出值.

【解答】

解：因为tana=2,

则原式=阻空二=%二=

tana+22+24

故答案为：

4

16.

【答案】

?,或+1

【考点】

三角函数的最值

由y=Asin(3X+6)的部分图象确定其解析式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由函数f(x)=4sin(wx+磔)(3>0,\(p\<的部分图象,

—r〃Fi4«IE12TIn.n

可得4=1,-T=-x—=一+-，

22336

解得3=2,可得f(%)=sin(2x+8).

再根据图象过点&0),

可得sin(2x；+卬)=0,

(p=Jai—卷(kEZ).

vl<Pl<p

.n

・.<P=p

故f(x)=sin(2x+E),

+sinx+cosx

=sin[2(—)+g+sinx+cosx

=sin2x+sinx+cosx

=(sinx+cos%)2+(sinx+cosx)—1

=2sin2(x+：)+V2sin(x+》-1

ymax=2+V2-l=V2+l.

故答案为:~V2+1.

三、解答题(本题共计6小题，每题11分，共计66分)

17.

【答案】

解：(1);/(x)=2cos2%+V3sin2x

=1+cos2x+V3sin2x

=2sin(2x+-)+1,

6

2/CTT——<2%+&W2/CTT+-(/CGZ)»

试卷第12页，总18页

解得—^<X</CTT+(/cGZ).

・••/(%)的单调递增区间为生兀一，而+(](kwz).

36

(2)；/04)=3,，sin(2>4+-)=1.

0<A<n,2A+-=~,B|M=

626

a2=b2+c2-2bccosA,

b2+c2=y/3bc+1,

\[3bc4-1>2bc,B|J6c<24-V3,当且仅当b=c=^2+通时取得等号,

.i人•(12+V3

•.Sc——bcs\r\A工---，

24

S的最大值为。客.

【考点】

二倍角的余弦公式

两角和与差的正弦公式

基本不等式在最值问题中的应用

余弦定理

正弦定理

正弦函数的单调性

【解析】

(1)利用二倍角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出单调

增区间；

(2)首先根据/'(4)=3求出乙4,然后由余弦定理a?=b2+c2-2bccos4及匕2+c2>

n2

2儿得出be进而可以求出三角形面积的最大值.

2(l-cos4)

【解答】

解：(1);/(%)=2cos2%+V3sin2x

=1+cos2x+V3sin2x

=2sin(2x+7)+1,

6

.0•2/CTT——<2x+&W2kJI+5(/c€Z),

解得ATT-^<%</C7T+7(/CGZ).

3o

./(x)的单调递增区间为伙兀一9kTT+m(kez).

36

(2)-.-/(4)=3,二sin(24+F)=L

6

Q<A<n,：.2/1+-=B|M=

626

a2=b2c2—2bccosA,

Z?2+c2=V3bc+1,

V3bc4-1>2bc,即be<24-V3,当且仅当b=c=42+时取得等号,

.1i,.(72+A/3

•.Sc——bcs\v\A工----,

24

s的最大值为竽

18.

【答案】

2sin(-a)+cos(7r-a)_-2sina-cosa

解：(1)/(«)=

sin(7r+a)+sin(^+a)-sina+cosa

由cosa=-£aE(0,TT),得sina=g,

_8.3

5

/(a)=-H

7’

-2sina-cosa-2tana-l.

(2)由f(Q)=l,即—：------=--------=1,

-sina+cosa-tana+1

得tana=-2,

.cr.2tana4

sin2a=zsinacosa=----丁

l+tan2a5,

【考点】

三角函数的恒等变换及化简求值

正弦函数的奇偶性

【解析】

此题暂无解析

【解答】

2sin(-a)+cos(7T-a)_-2sina-cosa

解:(1)/(Q)=

sin(7r+a)+sin(-+a)-sina+cosa

由cosa=—£a6(0,n),得sina=:

8-

•••/(a)=±—+i=|c.

-2sina-cosa—2tana-l.

(2)由/(a)=l,即—：------=--------=1,

-sina+cosa-tana+1

得tana=-2,

「.2tana4

sin2a2sinacosa=----▽

l+tan2a5,

19.

【答案】

试卷第14页，总18页

tana+1

解：(1)因为史g2,

sma-cosatana-1

所以tana=3.

(2)tan(2a—S)=tan[a+(a—£)]

tana+tan(a-0)

=---------；——=—2.

l-tanatan(a-^)

【考点】

两角和与差的正切公式

同角三角函数间的基本关系

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)因为陋3=则空1=2,

sma-cosatana-1

所以tana=3.

(2)tan(2a—£)=tan[a+(a-£)]

tana+tan(a-^)

=---------；——=—2.

l-tanatan(a-^)

20.

【答案】

解：(1)由题意知：lOsinfl+3cos0=8sin0+4cos。,

2sin0=cos。，

所以tan。=

(2)由(1)知tan26=M^

tan2^-tany

所以tan(2。-9=__________41

l+tan20tan—

47

【考点】

二倍角的正切公式

三角函数的化简求值

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)由题意知:lOsin0+3cos0=8sin0+4cos0,

2sin0=cos。，

所以tan。=

2tan0_2x|_4

(2)由⑴知tan20=l-tan20-i-l-3"

4

JT4

tan20—tan---1i

所以tan(29—§__________=3__士

l+tan26tan=1+-7

43

21.

【答案】

解：(1)由题意得：

0P=(^,1),

P的纵坐标为1,