2022年高考数学一轮复习之基本初等函数

2022年高考数学一轮复习之基本初等函数

一.选择题(共12小题)

1.(2021•丰台区模拟)已知函数/(x)=2、下列说法正确的是()

A.fGnn)=f(m)f(n)B.fCmn)=/()%)+f(n)

C.f(m+n)=f(m)+f(n)D.f(〃z)f(n)=f(m+n)

2.(2021•沈阳三模)已知(1,2),a=2x2,/?=(2A)2,0=22工，则a,b,c的大小

关系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

3.(2019•宜宾模拟)若函数f(x)=2Xav+m-n(a>0,且的图象恒过点(-I,4),

则m+n=()

A.3B.1C.-1D.-2

4.(2020•东城区模拟)春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天原有的加上新长

出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶

刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()

A.10天B.15天C.19天D.2天

5.(2021•西湖区校级模拟)已知3“=5^=15,则a,b不可能满足的关系是()

A.a+b—abB.a+b>4

C.(«-1)2+(Z»-1)2<2D.$+户>8

6.(2021•香坊区校级模拟)已知2"=5。=50,工哈=1，则整数〃的值为()

A.-1B.1C.2D.3

7.(2021•诸暨市模拟)已知x,y为正实数，则(）

A.lg=(Igx)2+lgyB.lg（x*Vy）=1sx+y1gy

lnx+ln

C.ey=x+yD.bxx-lny=

8.(2021•广东模拟)如图，直线x=f与函数f(x)=k)g3x和g(x)=log3x-l的图象分

别交于点A,B,若函数)，=/(%)的图象上存在一点C,使得△ABC为等边三角形，贝h

的值为()

XN

，⑸Tog,x

/W-togjX-l

33

A.M+2B.^~C.3、n+3D.3V3+3

224

9.(2021•浦东新区校级三模)若f(x)=2，+3(x6R),则y=f।(x)的定义域是()

A.RB.(5,+8)C.(3,+8)D.(0,+°O)

10.(2021•皇姑区校级模拟)已知募函数/(x)=(/n12-2/«-2)92-2在(0,+~)上为

增函数，则实数，〃的值是()

A.-1B.3C.-1或3D.1或-3

11.(2021•宜春模拟)已知嘉函数/(x)=的图象过点(〃?，8).设“=/(2°3),

b—f(0.32).c—f(log20.3)>则a,b,c的大小关系是()

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b〈cD.c<b<a

12.（2019•榆林一模）已知定义域为R的偶函数f（x）在（-8,0］上是减函数，且f

=2,则不等式/（log。）>2的解集为（）

A.（0,y）U（2,+8）B.（2,+8）

C.（0,喙4c°）D.（0,

二.填空题（共5小题）

13.（2021•黄浦区校级三模）函数f（x）=JR］（x>0）的反函数为（X），f'（3）

1

14.（2021•成都模拟）计算8一行占g_iog3的值为__________________.

Ig22

15.（2021•重庆模拟）己知哥函数），=（m2-3机-3）/在（0,+8）上单调递减，则m=.

16.（2021•呼和浩特模拟）已知m。均为正实数，且满足（1）〃=log2m2"=log1/2,则

2工

2

下面四个判断：

①（a-b）>0；

②2人〈1；

③-工〉」；

ab

@log2«>0>log2/?.

其中一定成立的有(填序号即可).

17.(2021•嘉定区二模)已知函数/(x)=2+log“(x+1)(a>0,且a¥l).若y=/(x)的

反函数的图象经过点(1,2),则〃=.

三.解答题(共5小题)

18.(2019•上海模拟)己知函数f(x)=10g(9-3X)(。>°，e).

(1)若函数fG)的反函数是其本身，求a的值；

(2)当2△时，求函数y=/(x)+f(-x)的最小值.

4

19.(2020•普陀区二模)设函数/(x)=/3'-I'-24x<°是偶函数.

g(x),0<x《m

(1)求实数加的值及g(x);

(2)设函数g(x)在区间［0,，川上的反函数为gi(x),当g"(2)>log“2(”>0且

5

QW1)时，求实数4的取值范围.

20.(2021春•工农区校级期末)化简并求值：

___________J_2_

⑴寸(兀岑)"(捐)2+(-8)3+80-25XV2;

V44V

ln2

(2)5-log89*lo§278+©-

21.(2021春•聊城期末)已知函数f春)=1)凉<2+加是基函数3R),且

/⑴</(2).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)试判断是否存在实数匕，使得函数g(x)=3-/(x)+2"在区间［-1,1］上的最大

值为6,若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.

22.(2020秋•抚州期末)已知基函数/(X)=(必+k-1)/2一八1+公，且/(2)<f(3).

(1)求实数上的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；

(2)对于(1)中的函数/(X),试判断是否存在正数相，使函数g⑴=1-/(X)+2mx,

在区间［0,1］上的最大值为5,若存在，求出〃?的值；若不存在，请说明理由.

2022年高考数学一轮复习之基本初等函数

参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题)

I.(2021•丰台区模拟)已知函数/(x)=2',下列说法正确的是()

A.f(，〃〃)=/(m)f(«)B.f(mn)=f(m)+f(〃)

C.fCm+n)—f(w)+f(-n)D.f(/n)f(n)—fCm+n)

【考点】指数函数的图象与性质.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用函数解析式的含义以及指数的运算性质进行判断即可.

【解答】解：因为/(x)=23

所以=2mn,而/(，")/(〃)=2ffl«2n=2m+,,=/(w+«),

故选项A,B错误,选项。正确；

f(m+n)=2m+n/(m)+f(n)=2"'+2",故选项C错误.

故选：D.

【点评】本题考查了函数解析式的理解和应用，指数运算性质的应用，考查了化简运算

能力，属于基础题.

2.(2021•沈阳三模)已知(1,2),a=2x"b=(2X)2,c=22、，则a,b,c的大小

关系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【考点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象.

【分析】根据(1,2)时/<2*,判断a<c；根据xW(1,2)时判断匕>c；

由此得出a,b,c的大小关系.

【解答】解：xG(1,2)时，/<2、，所以2X2<22'，即a<c；

又(2D2=22\xG(1,2),2x>2x,所以2次〉？？*，即b>c；

所以a,b,c的大小关系为b>c>a.

故选：B.

【点评】本题考查了利用函数的单调性判断数值大小的应用问题，是基础题.

3.（2019•宜宾模拟）若函数/（x）=2X,产（”>0,且的图象恒过点（-1,4）,

则m+n—（）

A.3B.1C.-1D.-2

【考点】指数函数的单调性与特殊点.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用.

【分析】根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得/n-1=0,且求

得和N的值，可得〃]+"的值.

【解答】解：；函数/（x）=2义户，"-〃（«>0,且“WD的图象恒过点（-1,4）,...

m-1=0,且2"""-〃=4,

解得〃?=1,n--2,.,.m+n--1,

故选：C.

【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题.

4.（2020•东城区模拟）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天原有的加上新长

出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶

刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）

A.10天B.15天C.19天D.2天

【考点】指数函数的实际应用.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方

程求解即可.

【解答】解：设荷叶覆盖水面的初始面积为。，则x天后荷叶覆盖水面的面积

（xGN+）,

根据题意,令2（a-2x）=a«220,解得x=19,

故选：C.

【点评】本题考查了指数函数在实际生活中的应用，关键是将信息提取出来，列出函数

的解析式.

5.（2021•西湖区校级模拟）已知3"=5。=15,则“，"不可能满足的关系是（）

A.a+b=abB.a+b>4

C.(67-1)2+(/>-1)2<2D.fz2+Z?2>8

【考点】指数式与对数式的互化.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用指数的运算性质，得到ab=a+b,然后利用基本不等式以及不等式的性质

对四个选项逐一分析判断即可.

【解答】解：因为3。=5，=15,

所以(3。)75九(5b)。=15。,

所以3必=15"5M=15",

则(15)ab=i5a+b,

所以ah=a+b,故选A正确；

因为ab=a+b>2j^,因为aWh,

所以ab>2j^,解得〃+6=出?>4,故选项8正确；

因为(«-1)2+(fe-1)2=a2+h2-2Ca+h)+2>2ah-2Ca+b)+2>2,故选项C错误;

因为/+房>2">8,故选项。正确.

故选：C.

【点评】本题考查了指数的运算性质的应用，基本不等式的运用，考查了逻辑推理能力

与化简运算能力，属于中档题.

6.(2021•香坊区校级模拟)已知2。=5。=50,上哈=1则整数〃的值为()

A.-1B.1C.2D.3

【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】先把指数式化为对数式求出。，b的值，再代入工咛>=1利用对数的运算性质

化简，即可求出，7的值.

【解答】解：由2。=5"=50,可得〃=log250,匕=log550,

,・工卢=1,

ab

・1.n1

••二］，

log250log550

，log5o2+川Og505=1,

n

♦・log5Q2+log505=l'

An

log50（2X5）=r

.\2X5W=5O,

解得/?—2,

故选：C.

【点评】本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.

7.(2021•诸暨市模拟)已知x,y为正实数，贝U()

A.1g(?•>')=Ugx)2+lgyB.lgG•石)=lgx《lgy

C.e,nx+,ny=x+yD.elnx'lny=xy

【考点】对数的运算性质.

【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用对数、指数的性质、运算法则直接求解.

【解答】解：x,y为正实数,

对于4,1g（/•）•）=/g/+/gy=2/gx+/gy,故A错误;

对于B,lg（x*Vy）=Igx+lgy/y—如+/1gy,故B正确;

对于C,/w+出=e加•e®=孙,故C错误；

对于。，xy=elnx-elny=el,Lx+'ny,故£>错误.

故选：B.

【点评】本题考查了对数、指数的运算性质，考查对数、指数的性质、运算法则等基础

知识，是基础题.

8.(2021•广东模拟)如图，直线x=，与函数/(x)=log3x和g(x)=log3x-1的图象分

别交于点A，B,若函数y=/(x)的图象上存在一点C,使得△ABC为等边三角形，则/

的值为()

哂+3加+3

D•---------------------L•--------------------D.3V3+3

-警24

【考点】对数函数的图象与性质.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】求出A,B的坐标，设出C的坐标，根据中点坐标公式求出f的值即可.

【解答】解：由题意A(blog3f),B(610g3Z-1),\AB\—\,

设C（x,log3x）,因为△4BC是等边三角形,

所以点C到直线AB的距离为所以t-X=乌'X=t一亭，

根据中点坐标公式可得1。g3（t半）J0g3t+：og3t-l=］。g31,t

1工=1。83万

所以解得t=3E+3,

2V34

故选：C.

【点评】本题考查了对数函数的性质，考查中点坐标公式，是中档题.

9.（2021•浦东新区校级三模）若/（x）=2，+3（底R）,贝Iy=f］（x）的定义域是（）

A.RB.（5,+8）C.（3,+8）D.（0,+°0）

【考点】函数的定义域及其求法；反函数.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用反函数的定义域即为原函数的值域，求解/（尤）的值域，即可得到答案.

【解答】解：y=fl（x）的定义域即为函数『CO的值域，

因为2*>0,则/（x）>3,故f（x）的值域为（3,+8）,

所以（X）的定义域是（3,+8）.

故选：C.

【点评】本题考查了反函数的理解和应用，解题的关键是掌握反函数与原函数之间的关

系，即反函数的定义域即为原函数的值域，属于基础题.

10.（2021•皇姑区校级模拟）已知幕函数/（x）=（疡-2加-2）92-2在（0,+~）上为

增函数，则实数，”的值是（）

A.-1B.3C.-1或3D.1或-3

【考点】塞函数的概念、解析式、定义域、值域；塞函数的性质.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析.

【分析】由题意利用募函数的定义和性质，可得病一2m-2=1,且nr-2>0,由此求

得m的值.

【解答】解：・・•基函数/(了)=(加2-2〃?-2)XJR2-2在(0,+8)上为增函数，

J.m2-2m-2=1,且m2_2>0,求得帆=3,

故选：B.

【点评】本题主要考查暴函数的定义和性质，属于基础题.

11.(2021•宜春模拟)已知事函数/(X)=(w-1)/的图象过点(机，8).设(2°，3),

fe=/(0.32),c=/(log20.3),则a,b,c的大小关系是()

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

【考点】基函数的概念、解析式、定义域、值域；幕函数的性质.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用罂函数的定义，先求出/(x)的解析式，可得八氏c的值，从而判断a,

b,c的大小关系.

【解答】解：•.•累函数f(x)=/的图象过点(加，8),

.*./«-1=1,且〃7=8,

求得〃?=2,n—3,故/(x)=/.

(203)=209>1,ft=/(0.32)=0.36e(0,1),c=f(log20.3)=^咤。.3)3<

0,

:•a>b>c,

故选：D.

【点评】本题主要考查嘉函数的定义和性质，属于基础题.

12.(2019•榆林一模)已知定义域为R的偶函数/«)在(-8,0］上是减函数，且f(/)

=2,则不等式/(log”)>2的解集为()

A.(0,y)IJ(2,+8)B.(2,+8)

C.(0,U(V2>+00)D.(0,夸>)

【考点】奇函数、偶函数；对数函数的单调性与特殊点.

【专题】计算题.

【分析】由题意知不等式即/(log4X)>f(/>即10g4X>A,或log4X<-利用对

数函数的定义域和单调性

求出不等式的解集.

【解答】解：由题意知不等式/(log4X)>2,即f(log4X)>f(A),又偶函数/(x)

在(-8,0］上是减函数，

.*./(X)在［0,+°°)上是增函数，.・・k)g4X>-^=log42,或log4X<--=log2»

.*.0<x<A,或x>2,

2

故选：A.

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点.

填空题(共5小题)

13.(2021•黄浦区校级三模)函数可(x>0)的反函数为)'=/1(幻，广(3)

=_2V2_.

【考点】反函数.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】先求出已知函数的反函数，然后把x=3代入即可求解.

【解答】解：因为),f(x)=J77?(x>0)，

所以X=Jy2_］,即(x)

所以/1(3)

故答案为：

【点评】本题主要考查了反函数的求解，属于基础题.

1

14.(2021•成都模拟)计算gWlg-iogzS的值为_3_.

1g22

【考点】对数的运算性质.

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】直接利用指数与对数的运算法则化简求解即可.

1

3=+lo26

【解答】解:8-4^1--log23-^g-Iog23=-l+log22=^-+1=-1.

xE乙乙乙乙乙

故答案为：3.

2

【点评】本题考查对数的运算法则的应用，指数式求值，是基础题.

15.（2021•重庆模拟）已知基函数y=（〃，-3m-3）在（0,+°°）上单调递减，则m=

-1.

【考点】累函数的概念、解析式、定义域、值域.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析.

【分析】由题意利用幕函数的定义和性质，求得优的值.

【解答】解：・・•基函数〉=（川一3m-3）/在（0,+8）上单调递减，

tn2-3m-3=1,且〃7<0,

求得m=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查事函数的定义和性质，属于基础题.

16.（2021•呼和浩特模拟）已知mh均为正实数，且满足（上）"=log2。，2。=咋/,则

~2

下面四个判断：

①/〃（〃-b）>0；

②2"-y；

③-上〉」

ab

④log2”>0>log2b.

其中一定成立的有②③④（填序号即可）.

【考点】对数值大小的比较.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用对数函数和指数函数的性质，先求出”，匕的范围，再根据m〃的范围即

可求解.

【解答】解：令f（x）—（-^-）X-log2JC.则/（I）-0=A>0,f（5/2）=

-亚=号）@：（”蛔,

**.6ZE（1,^/2）.

・・・2b=log]〃,/?>0,・・・2力>1,：.he（0,A）,

12

2

A<n-b<y/"2f

①：•••/〃（“-%）可能小于等于0,.••①错误，

②：'：h-a<0,.,.2Z>F<2°=1,.•.②正确，

③：'：a>b>0,A-A>-A,.,.③正确，

abab

④：VtzG（1,V^），**•Iog2«>0,

■:be（0,A）,，log28V0,/.Iog2t?>0>log2/?.・••④正确，

2

故答案为：②③④.

【点评】本题考查对数函数和指数函数的性质的运用，属于中档题.

17.（2021•嘉定区二模）已知函数/（x）=2+k>g〃（x+1）（〃>0,且〃W1）.若y=/（x）的

反函数的图象经过点（1,2）,则。=1.

一3一

【考点】反函数.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理：数学运算.

【分析】利用函数与反函数图象关于y=x对称，可得函数的图象经过点（2,1）,

代入求解即可.

【解答】解：因为y=/（x）的反函数的图象经过点（1,2）,

由函数与反函数图象关于y=x对称，则函数/（X）的图象经过点（2,1）,

则有2+log“（2+1）=1,解得

故答案为：1.

3

【点评】本题考查了函数与反函数关系的应用，解题的关键是掌握函数与反函数的图象

关于y=x对称，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

三.解答题（共5小题）

18.（2019•上海模拟）已知函数f（x）=log（9-3x）（。>0,aWD.

（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求。的值；

（2）当时，求函数y=/（x）+fC-x）的最小值.

4

【考点】反函数.

【专题】转化法；函数的性质及应用.

【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式.

（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值.

【解答】解：(1)由题意知函数/(X)的反函数是其本身，所以/(%)的反函数。丫=9

-3*,x=log3(9~a7),

zX,

反函数为>=陛3(9-a)^f(x)=loga(9-3)所以”=3.

(2)当时，f(x)=log(9-31),f(-JC)=log(9-3(-x)),

4——

44

［82-(-

则y=f(X)+/(-%)=-Iog431》-3,

故最小值为-3.

【点评】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题.

19.(2020•普陀区二模)设函数/(x)=卜'-I，-24x4°是偶函数.

g(x),0<x<m

(1)求实数机的值及g(x)；

(2)设函数g(x)在区间［0,〃力上的反函数为-1(x),当g7(2)>log«2.(〃>0且

5

时，求实数4的取值范围.

【考点】反函数.

【专题】转化思想；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】(1)直接利用偶函数的性质的应用求出结果.

(2)利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果.

【解答】解：(1)由于函数为偶函数，

所以：函数的定义域关于原点对称，且/(-x)=f(x)

所以"7=2.

当0<xW2时，f(x)=g(x),

则-2W-xVO,/(-x)=3*-l=f(x).

故g(%)=y-1.

(2)函数g(x)在区间［0,2］上的反函数晨I(x).

所以3g-'「)_}2,解得g"G)=1.

即log1，

a5

贝IJ:

0<a<la〉l

故实数a的取值范围为（0,2）U（1,+oo）.

5

【点评】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式

的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

20.（2021春•工农区校级期末）化简并求值：

____________1_2

⑴寸（冗：）7+（瑞）2+（-8）3+80-25XV2;

V44y

⑵^-^-+1gl2.5-logg9*log278+e

【考点】有理数指数基及根式；对数的运算性质.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】（1）利用根式的定义以及分数指数幕的运算性质化简求值即可；

（2）利用对数的运算性质以及运算法则近似化简求值即可.

12

【解答】解：（1）万+(-8尸+8°，25x,=

|+(y)-1+(-2)2+(23)4X24=

§27^+e

=_5

【点评】本题考查了化简求值问题，主要考查了分数指数基的运算性质、根式的定义以

及对数的运算性质，考查了化简运算能力，属于基础题.

21.(2021春•聊城期末)已知函数/(X)=(“2-4-1)J-2+加是基函数QgR),且

/(1)</(2).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)试判断是否存在实数6,使得函数g(x)=3-/(x)+2云在区间［-1,1］上的最大

值为6,若存在，求出6的值；若不存在，请说明理由.

【考点】幕函数的概念、解析式、定义域、值域.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】(1)由题意利用基函数的定义和性质，求得a的值，可得结论.

(2)由题意利用利用二次函数的性质求出函数的最大值，可得b的值.

2

【解答】解：(1)•••函数/(x)=(a-a-1)x"一加<2+凉是累函数(aeR),且/(1)

</(2),

：.c^-a-1=1,且(1-a)(2+a)>0,

求得a=-l,故/(x)=/.

(2)设存在实数6,使函数g(x)=3-/(x)+2区=-7+2"+3在区间［-1,1］上的最

大值为6,

由于g(x)的图象的对称轴为x=b,

当b<-1时，则/(-1)=-1-2b+3=6,求得h=-2；

当-IWbWl时，/(6)--b2+2b2+3—6,求得b=士«(舍去)；

当b>l时，则/(I)=7+26+3=6,求得匕=2,

综上可得，存在6=±2,满足条件.

【点评】本题主要考查落函数的定义和性质，利用二次函数的性质求最大值，属于基础

题.

22.(2020秋•抚州期末)已知事函数/(x)=(1+…)，2W),且/(2)</(3).

(1)求实数上的值，并写出相应的函数/(x)的解析式；

(2)对于(1)中的函数/(无)，试判断是否存在正数如使函数g(x)=1-/(x)+2mx,

在区间［0,1］上的最大值为5,若存在，求出〃?的值；若不存在，请说明理由.

【考点】幕函数的概念、解析式、定义域、值域；幕函数的性质.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】(1)由题意利用基函数的定义和性质，求出上的值，可得函数的解析式.

(2)由题意求出加的值，可得g(x)的解析式，再利用二次函数的性质，求出川的值.

【解答】解：(1)7/(2)</(3),

，累函数f(X)=(必+k-1)/2""1+A)在(0,+8)上单调递增，

・・・(2-A)(1+1)>0,A-1<k<2,^k-1=1,

/.k=1,f(x)=/.

(2)(x)=1-f(x)+2nix=-x^+2nvc+\,

Tg(x)开口方向向下，对称轴戈=机(加>0),

1)当OVmVl时，g(x)在区间［0,词上递增，在区间［〃?，1］上递减.

2,

,e-g(x)max=g(ni)=in+l=5-'-m=+2,均不符合题意舍去，

2)当团21时，g(X)在区间［0,1］上递增，「送(X)mcix=g(1)=2m=5,

符合题意，

综上1

【点评】本题主要考查募函数的定义和性质，二次函数的性质，属于中档题.

考点卡片

1.函数的定义域及其求法

【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；

②根式（开偶次方）被开方式》0；

③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1:

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.（1）当函数是由解析式给出时，其定义

域是使解析式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确

定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然

数等）.（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这

几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在.（4）抽象函数的

定义域：①对在同一对应法则/下的量“x”“x+a”“x-a”所要满足的范围是一样的；②函

数g（X）中的自变量是X,所以求g（x）的定义域应求g（X）中的X的范围.

【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题.

2.奇函数、偶函数

【奇函数】

如果函数/（X）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x,都有f（-x）=-

/（尤），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0,0）对称.

解题方法点拨：

①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；

②若定义域不包括原点，那么运用/（X）=-/（-》）解相关参数；

③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数/（x）,

当x>0时，f（x）=7+x

那么当X<0时，-X>0,有/（-X）=（-X）2+（-x）=-f（x）—x1-x=^f（x）—-x1+x

命题方向：

奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题

方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况--求参数或者求函数的表达式.

【偶函数】

如果函数/（X）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有/（-X）=/

（X）,那么函数/（X）就叫做偶函数，其图象特点是关于），轴对称.

解题方法点拨：

①运用/（x）=f（-JC）求相关参数，y=axi+hj^+cx+d,那么a+c是多少？

②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数-

2）=0,周期为2,那么在区间（-2,8）函数与x轴至少有几个交点.

命题方向：

与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查

对偶函数性质的灵活运用.

3.有理数指数惠及根式

【根式与分数指数幕】

规定：an=垢(々>0,m,〃EN=n>1)

(a>0,in,〃€N*,n>\)

0的正分数指数事等于0,。的负分数指数幕没有意义

常考题型:

例1:下列计算正确的是（

B、qC、0(-3)4=3

空1-x-SO)

分析：直接由有理指数幕的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案.

解:,/（-1）0=1,

•••A不正确；

不正确;

7V(-3)4=V?=3,

C正确；

/x\22x

••ka)a2X-2

_=-=a

aa

不正确.

故选：C.

点评：本题考查了根式与分数指数累的互化，考查了有理指数基的运算性质，是基础的计算

题.

【有理数指数幕】

(1)累的有关概念：

m

①正分数指数哥：an=W((4>°，m,且〃>1)；

m11

②负分数指数幕：an='=_L(。>0,，*,〃6N*,且〃>1)；

a

③0的正分数指数累等于0,0的负分数指数塞无意义.

(2)有理数指数基的性质：

①(“>0,r,seQ)；

②(a，)s=ars(a>0,r,s€Q)；

(3)(ab)(a>0,b>0,rGQ).

常考题型：

例1：若“>0,且根，〃为整数，则下列各式中正确的是()

m

A、出二n豆B、C、(/)"=""〃D、14-

a•a-a

an—a0-n

分析：先由有理数指数基的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案.

解:A中,afn-i-an=cf1'n,故不成立；

8中，am-a"=am+n^am'n,故不成立;

C中，（〃"'）小,故不成立；

。中，l+a"=a°”，成立.

故选：D.

点评：本题考查有理数指数事的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质.

4.指数函数的图象与性质

【知识点的认识】

1、指数函数丫="（〃>0,且“W1）的图象和性质：

定义域R

值域（0,+8）

性质过定点（0,1）

当x>0时，y>l；当x>0时，OVyVl；

x<0时，0<y<lx<0时，y>\

在R上是增函数在R上是减函数

2、底数对指数函数的影响：

①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当〃>/时，底数越大，函数图象在第一象

限越靠近y轴：同样地，当时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴.

②底数对函数值的影响如图.

③当。>0,且aW/时，函数y="与函数y=（上尸的图象关于y轴对称.

a

3、利用指数函数的性质比较大小：

若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较:

若底数不同而指数相同，用作商法比较；

若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值.

5.指数函数的单调性与特殊点

【知识点归纳】

1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a

的取值范围即”>1,的情况.再讨论g(x)的增减，然后遵循同增、同减即为增，

一减一增即为减的原则进行判断.

2、同增同减的规律：

(l)y=〃如果。>1,则函数单调递增；

(2)如果OV“V1,则函数单调递减.

3、复合函数的单调性：

(1)复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，丫值也在不断的增大；

(2)复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的丫值

就在不断的减小，而内层函数的丫值就是整个复合函数的自变量X.因此，即当内层函数自

变量X的增大时，内层函数的y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，

又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的丫值就在增大.因此可得“同增”若复

合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量x的增大,

内层函数的y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量x不断增大，又因为外层函数

为减函数，所以整个复合函数的y值就在减小.反之亦然，因此可得“异减”.

6.指数函数的实际应用

【知识点归纳】

指数函数图象的应用：

函数的图象是直观地表示函数的一种方法.函数的很多性质，可以从图象上一览无余.数形

结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变可

得出一般函数的图象.利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调

性、方程解的个数、求值域或最值等问题.

7.指数式与对数式的互化

【知识点归纳】

$=N=logaN=b；

loga〃N=N

指数方程和对数方程主要有以下几种类型:

(1)/(x)=log/；log/(x)=b=f(x)=ab(定义法)

(2)=a8x><=>/(x)=g(x)；log«/(x)=log〃g(x)<^>f(x)=g(x)>0(同底法)

(3)c/(x)=b^，x)<=>/(x)\ogma=g(x)logmb；(两边取对数法)

(4)\0g(if(X)=10g/7g(X)OlOgc/(X)=——-——]0gg(x)；(换底法)

log.aba

(5)Alog2x+Blogax+C=0(A(〃)2+Bav+C=0)(设1=logax或/=〃)(换元法)

a

8,对数的运算性质

【知识点的认识】

对数的性质：①@1°与"=空②logaaN=N（。＞0且a于I）.

1T

logo（MN）=log“M+log“N；log«—=log«Af-\ogaN；

log"""=nlogt/M；l°g"—logaAf.

9.对数值大小的比较

【知识点归纳】

1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较.

2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1,-1,0）进行比较

3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行

比较.（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）

10.对数函数的图象与性质

【知识点归纳】

对数函数的性质

10gaX（a>l）