专题2.14 有理数章末八大题型总结（拔尖篇）（华东师大版）（原卷版）

专题2.14有理数章末八大题型总结（拔尖篇）【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1数轴中的新定义问题】 1【题型2数轴中的动点问题】 2【题型3绝对值中的最值问题】 4【题型4分类讨论多绝对值问题】 5【题型5有理数中的规律探究】 6【题型6有理数中的对折问题】 9【题型7幻方的应用】 10【题型8有理数的实际应用】 12【题型1数轴中的新定义问题】【例1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为-6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是M,N的美好点，而点P就不是N,M的美好点．(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则是[，]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）(2)若点M、P表示的数分别为-4、-2，且P是M,N的美好点，则点N为．(3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为-10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为P,Q的美好点？【变式1-1】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b-20232，如：1⊗2=1+2-2023材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，-2=-2，(1)2⊗6=______，-ππ=______(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1【变式1-2】（2023春·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．(1)若点A表示数-3，点B表示数3，下列各数，-1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B(2)点A表示数-10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．【变式1-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是A，B的三倍点，不是B，A的三倍点．若数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为(1)直接写出A、(2)若点C是A，B的三倍点，求点(3)若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、【题型2数轴中的动点问题】【例2】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是-18，-8，8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数-18，8大于-18，用8--18．用式子表示为：

(1)填空：AB=______，BC=______．(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒0≤t≤19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）．【变式2-1】（2023春·吉林·七年级校联考期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足a+20+（1）求点A与点B在数轴上对应的数a和b；（2）现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒.①若点P和点Q相遇于点C,求点C在数轴上表示的数；②当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值.【变式2-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，P是数轴上的一个动点．(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；(2)已知线段OB上有点C且BC=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数；(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P能移动到与A或B重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?

【变式2-3】（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于AB处，向右行驶.乙动车位于CD处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为BC；甲、乙两动车长度相等，速度均为80米/秒.A、B、C、(1)b=______，BC间的距离是______米，AC间的距离是______米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于100米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好M、N同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t【题型3绝对值中的最值问题】【例3】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数-5的点与原点的距离可记作|-5-0|=|-5|=5；表示数-5的点与表示数-2的点的距离可记作|-5-(-2)|=|-3|=3．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b．则A，回答下列问题：(1)数轴上表示-3和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示-2和3的两点之间的距离是_____________；(2)数轴上表示x与-2的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；(3)①找出所有使得|x+1|+|x-2|=3的整数x；②求|x+3|+|x-1|的最小值．【变式3-1】（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知数轴的单位长度为1．（1）如果点A，B表示的数的绝对值相等，求点C表示的数．（2）如果点B，D表示的数是互为相反数，求点A表示的数．（3）若点A为原点，在数轴上有一点F，当BF=3时，求点F表示的数．（4）如果点A，B，C，D，E五个点表示的数分别为a，b，c，d，e，记s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|，求s的最小值．【变式3-2】（2023春·浙江宁波·七年级余姚市梨洲中学校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a-b，若a>b，则可化简为AB=a-b(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为______；(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则m-2+m+5(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a-d=12， b-d=7(4)若b=a，c=12a【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：a表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而5=5-0，即5-0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：5+3=5--3表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，如果A、B两点之间的距离为2，那么x=．（3）x+2可以理解为数轴上表示x和的两点之间的距离．（4）x-2+x-3可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两点的距离之和．x+2+x-1可以理解为数轴上表示x的点到表示（5）x-2+x-3最小值是，x+2+【题型4分类讨论多绝对值问题】【例4】（2023春·浙江金华·七年级校联考期中）已知a,b表示两个非零的实数，则aa+bA．2 B．–2 C．1 D．0【变式4-1】（2023春·广东惠州·七年级校考期中）若ab<0，则aa-【变式4-2】（2023春·江西宜春·七年级宜春市第三中学校考期中）若ab≠0，a+b≠0，则|a|a+【变式4-3】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）满足x-1+x+3=4的整数xA．2 B．3 C．4 D．5【题型5有理数中的规律探究】【例5】（2023春·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算19+192+19探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算12第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；……第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+1根据第n次分割图可得等式：12探究二：计算13第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，……第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+2根据第n次分制图可得等式：23两边同除2，得13探究三：计算14(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)解决问题．计算19(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．(1)根据第n次分割图可得等式：___________．(2)所以，19+(3)拓广应用：计算9-19+【变式5-1】（2023·广东东莞·七年级东莞市东华初级中学校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（

）A．2001 B．4039 C．8124 D．16304【变式5-2】（2023春·全国·七年级期中）观察下面算式的演算过程：1+11×31+13×5……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：1+15×7=______________．

1+12n×(2n+2)=_________________（2）根据规律计算：(1+1【变式5-3】（2023春·江苏泰州·七年级泰兴市洋思中学校联考期中）（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18=，②如果欲求1+2+3+4+⋯+n的值，可令S=1+2+3+4+...+n将①式右边顺序倒置，得S=n+...+4+3+2+1由②加上①式，得2S=；∴S=_________________；由结论求1+2+3+4+⋯+55=___________；（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18=，②为了求1+3+32+33+……+32018的值，可令即1+3+32仿照以上推理，计算1+5+【题型6有理数中的对折问题】【例6】（2023春·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．

(1)折叠纸条使数轴上表示-1的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_________；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是_________；(2)如图2，点A、B表示的数分别是-2、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，那么点C表示的数是_________；(3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．【变式6-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可能是【变式6-2】（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴左右对折纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”．（1）操作一：左右对折纸面，使1对应的点与-1对应的点重合，则-3对应的点与_____对应的点重合；（2）操作二：左右对折纸面，使-1对应的点与3对应的点重合，回答以下问题：①对折中心点对应的数为__________，对折后5对应的点与数_________对应的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，通过计算求A、B两点对应的数分别是多少？（3）操作三：已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，对折中心点C对应的数是c，此时点A与点B对折重合，那么a，b，c三数满足的关系式为__________．【变式6-3】（2023春·江西吉安·七年级统考期中）小聪在复习过程中，发现数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例：如图1，线段AB=4-2=2，线段CB=4-(-2)=6，线段AC=2-(-2)=4，线段CD=-2-(-4)=2结论：数轴上任意两点表示的数分别为：a，b（b>a），则这两点间的距离为：b-a（即：较大的数减去较小的数）.尝试应用：（1）若数轴上点E，点F代表的数分别是－3，－1，则EF=______.（2）把一条数轴在数m处对折，表示－9和3两数的点恰好互相重合，此时m=______.（3）数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，另一个点表示的数为n，则n=______.问题解决：（4）如图2，点A表示数x，点B表示－2，点C表示2x+8且BC=4AB，问点A和点C分别表示什么数？为什么？（5）上述（4）的条件下，图2所示的数轴上，是否存在满足条件的点D，使用DA+DC=3DB？若存在，请直接写出D所表示的数，若不存在，请说明理由？（点D不与点A，点B，点C重合）【题型7幻方的应用】【例7】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）阅读下面材料，并完成相应任务．幻方相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．

(1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；(2)请将-7，-5，-3，-1，3，5，【变式7-1】（2023春·河南濮阳·七年级统考阶段练习）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求x，y的值，并将空格补充完整．【变式7-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列各组中的九个数不满足三阶幻方要求的（

）A．－2，－1，0，1，2，3，4，5，6 B．2，3，4，5，6，7，8，9，10C．3，6，9，12，15，18，21，24，27 D．4，6，7，10，12，14，16，18，20【变式7-3】（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（

）A．-4 B．-3 C．3 D．4【题型8有理数的实际应用】【例8】（2023·上海·六