八一学校高三年级十月月考数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京市八一学校2021届高三年级十月月考试卷一､选择题1.已知集合，，则（)A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为,，所以。故选：C.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题。2。已知向量,.若，则实数的值为()A. B。2 C。 D。【答案】D【解析】分析】由向量平行的坐标表示求解即可。【详解】,,解得故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数的值,属于基础题.3。在下列函数中,定义域为实数集的偶函数为（)A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，结合定义域,即可得出答案.【详解】对A项，令,定义域为，,则函数为奇函数,故A错误；对B项，令,定义域为，，则函数为偶函数，故B正确；对C项，令，,则函数不是偶函数，故C错误；对D项,定义域为，故D错误；故选：B【点睛】本题主要考查了判断函数的定义域和奇偶性，属于中档题。4.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列"的（)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C。充分必要条件 D。既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时,是递增数列，但是不成立，所以选D。考点：等比数列5.为得到的图象，只需要将的图象（)A。向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D。向右平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位;故选D．考点：三角函数的图像变换．6.在中,,，，则的面积为（）A。10 B.15 C。20 D。30【答案】B【解析】【分析】先求出,再求出，最后求的面积即可.【详解】解：在中,，由正弦定理：,因为,所以，因为,，，所以,故选:B。【点睛】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数关系、是中档题.7。已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是(）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】求导，分别对，分类讨论,确定的单调性，根据题意，列出不等式，即可得出答案.【详解】当时，，即函数在区间上单调递增，不符合题意当时,，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增要使得函数在区间上不是单调函数，则解得故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围,属于中档题。8.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（)A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】先利用函数的零点转化成方程的根、函数图像的交点问题，再数形结合即得结果.【详解】由函数有两个零点,即方程有两个根,即函数与有两个交点,作图如下:恒过，旋转过程中，在直线和之间时有两个交点，故。故选：B。【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根、函数图像的交点之间的等价转化，考查了数形结合思想，属于中档题。9.在中，，，点在边上，且，则的取值范围是（）A。 B。 C. D。【答案】A【解析】【分析】以的中点为原点，过垂直于的直线为轴，为轴，建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求解。【详解】以的中点为原点，过垂直于的直线为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图：则,,设，，，，,则由，得，化简，所以，由，因为，所以，所以，所以的取值范围为.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题。10。已知集合满足：(ⅰ），;（ⅱ），若且,则；（ⅲ)，若且，则。给出以下命题:①若集合中没有最大数,则集合中有最小数；②若集合中没有最大数,则集合中可能没有最小数；③若集合中有最大数，则集合中没有最小数;④若集合中有最大数，则集合中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是()A。①③ B.②③ C.③④ D。①④【答案】B【解析】【分析】根据并集和交集的结果可知；由条件（ⅱ）（ⅲ)可知两集合的元素以为分界，可确定集合的构成;当集合有最大数时，根据有理数的特点可知大于的有理数无最小数,知③正确;当集合无最大数时，若中的为有理数或无理数，此时集合可能最小数为或无最小数，知②正确。【详解】若,则集合为所有小于等于的有理数的集合，集合为所有大于等于的有理数的集合无限接近,即集合为所有大于的有理数的集合当集合有最大数，即有最大值时,大于的有理数无最小数，可知③正确;当集合无最大数，即时,为集合中的最小数；也可能为无理数,则，集合中无最小数,可知②正确故选【点睛】本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用;本题的解题关键是明确有理数的特点:无最大数也无最小数;本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高要求。二､填空题11。已知复数,则______.【答案】【解析】【分析】根据复数的模长的定义直接进行计算即可.【详解】∵复数，∴。故答案为：.【点睛】本题考查复数的模的概念及求法,属于基本题。首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路,如。其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为12。设是等差数列,且,，则的通项公式为__________．【答案】【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后,代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列的公差为,【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差(公比)问题,虽有一定量的运算，但思路简洁,目标明确：二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用。13。已知向量、的夹角为，，,则___________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积计算得出的值，进而可求得的值.【详解】，因此,。故答案：。【点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度。14。已知函数（为常数）．若，则________；若函数存在最大值,则的取值范围是________．【答案】（1）。（2）。【解析】【分析】（1)分别在和两种情况下求得，利用求得；(2）当时，求导得;当时，可知时，不存在最大值，不符合题意;当时，可得在上的单调性，得到；分别在、和三种情况下验证时函数的最大值，可得时，，从而得到结果.【详解】（1）当时，,满足题意；当时，,不合题意；（2）当时，①若,则在上单调递减此时，当时，，当时，,不合题意②若，则时,；时,在上单调递增,在上单调递减此时,当时，若，则当时,，不合题意若，,此时，满足题意若，则，此时，满足题意综上所述:时，存在最大值故答案为;【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题;本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调性，进而得到最值取得的情况,从而分析得到结果.15。年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年)的衰变规律满足（表示碳原有的质量）,则经过年后，碳的质量变为原来的________;经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至,据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）【答案】（1)。（2）.【解析】【分析】（1）根据衰变规律，令，代入求得；（2）令，解方程求得即可。【详解】当时，经过年后，碳的质量变为原来的令，则良渚古城存在的时期距今约在年到年之间故答案为；【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题,考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.三､解答题16。已知等差数列的前n项和为，，。（1)求数列的通项公式；(2）若等比数列满足，且公比为q，从①;②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和。【答案】（1);（2)答案见解析。【解析】【分析】（1）设等差数列的d,根据求和公式可得，又，即可得解;（2）根据为等差数列，为等比数列,则：，分组求和即可得解.【详解】（1）设等差数列的公差为d,又因为，且,所以，故，所以；（2）由（1）可知，，又，所以。若选择条件①，可得，；若选择条件②,可得，;若选择条件③，可得,.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本能量的运算，考查了数列的分组求和法,有一定的计算量，属于中档题.17.在中，，，。（1）求大小；（2）若是的中点，求的长。【答案】（1）；（2).【解析】【分析】(1）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用正弦定理即可求解.（2）利用余弦定理可得，由，再利用向量模的求解即可求解。【详解】解：（1）∵在中，，,，∴，∵由正弦定理，可得,又，可得为锐角，∴.(2)∵在中，由余弦定理，可得，可得:,∴解得或（舍去)，∵是的中点，∴,两边平方可得：,∴，即的长为.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题。18.已知函数.（1）求的最小正周期；（2)求的单调递增区间；(3）对于任意都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）;（2)；（3）。【解析】【分析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f（x）的最小正周期T；（2）利用整体代入法求得函数的单调递增区间；（3）原问题等价于的最大值小于零，根据在区间上的最大值列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）因为，.所以的最小正周期。(2）由(1）知.又函数的单调递增区间为(Z)。由,，得，。所以的单调递增区间为.（3）因为，所以.所以.所以。当，即时，的最大值为，又因为对于任意恒成立，所以，即。所以的取值范围是。【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间、最值的求法，属于中档题。19。设函数．（)若，求函数的单调区间．（）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．（）过坐标原点作曲线的切线,证明：切点的横坐标为．【答案】(）单调减区间为，单调增区间为．（）（)见解析【解析】试题分析：（1）当时，求出函数的导函数，分别令和，解出不等式得单调区间；(2）函数在区间上是减函数,即对任意恒成立，利用分离参数法可得最后结果;（3）设切点为，对函数进行求导,根据导数的几何意义得，根据切线过原点,可得斜率为，两者相等化简可得,先证存在性，再通过单调性证明唯一性.试题解析:(）当时，，,令，则,令，则，∴函数的单调减区间为，单调增区间为．（)，∵在区间上是减函数，∴对任意恒成立，即对任意恒成立，令,则,易知在上单调递减,∴,∴．（）设切点为，，∴切线的斜率,又切线过原点，,∴，即,∴，存在性，满足方程，所以是方程的根唯一性，设,则,∴在上单调递增,且,∴方程有唯一解,综上，过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为．点睛：本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由，得函数单调递增，得函数单调递减；函数单调递减等价于恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键,也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解。20.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,证明：;（Ⅲ）判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)证明见解析；（Ⅲ)函数在定义域内不是单调函数．理由见解析【解析】【分析】根据解析式可确定函数定义域并求得（Ⅰ）求得和，根据导数几何意义可知切线斜率，从而得到切线方程；（Ⅱ）将所证不等式转化为；令，通过导数求得函数单调性,可得,即，从而证得结论；（Ⅲ）令，通过导数可知单调递减；利用零点存在定理可知在内存在零点，从而得到的符号，进而得到单调性,说明不是单调函数.【详解】由题意得：函数的定义域为，（Ⅰ），在点处的切线方程为:即（Ⅱ）当时，欲证,即证，即证令，则．当变化时，变化情况如下表：↗极大值↘函数的最大值为,故（Ⅲ）函数在定义域内不是单调函数．理由如下：令,在上单调递减,存在，使得当时，，从而，所以函数在上单调递增；当时，，从而，所以函数在上单调递减故函数在定义域内不是单调函数【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间.21.已知无穷数列满足：，，，．记(表示个实数中的最大值）．（Ⅰ）若，，,求,的可能值;(Ⅱ）若，，求满足的的所有值;（Ⅲ）设是非零整数,且互不相等,证明：存在正整数，使得数列中有且只有一个数列自第项起各项均为．【答案】（Ⅰ