（全国卷II）高考数学（第三模拟）调研卷 理（含解析）-人教版高三全册数学试题

一、选择题：共12题1．已知全集U={1,2,3,4,5},∁UA={1,2},则集合A的真子集的个数为A.8 B.7 C.6 D.32．若复数z满足(1+i)z=2i(i是虚数单位),则在复平面内,复数z对应的点的坐标为A.(1,1) B.(1,2) C.(1,-1) D.(-1,1)3．命题“存在φ0∈R,使得函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象关于点(,0)对称”的否定是A.存在φ0∈R,使得函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象都不关于点(,0)对称B.对任意的φ∈R,函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象都不关于点(,0)对称C.对任意的φ∈R,函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象都关于点(,0)对称D.存在φ0∈R,使得函数f(x)=tan(πx+φ0)的图象关于点(,0)不对称4．已知平面向量a,b满足b=(-,1),b·(a-b)=-3,a为单位向量,则向量b在向量a方向上的投影为A.4 B.1 C.-4 D.-105．已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上的点到直线l的距离的最小值为A. B. C.1 D.36．设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2=3,S3-S1=6,则a6=A.16 B.32 C.35 D.467．已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图完全相同,则该几何体的体积是A.π B.3π C.2π D.8．已知x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+y的最大值为2a+6,最小值为2a-2,则实数a的取值范围是A.[-1,1]

B.(0,1]

C.[-1,0)

D.[-1,0)∪(0,1]9．已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的部分图象如图所示,A、B两点之间的距离为10,且f(2)=0,若将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称,则t的最小值为A.1 B.2 C.3 D.410．如图所示,在边长为2的正方形ABCD中,圆心为B,半径为1的圆与AB、BC分别交于E、F,则阴影部分绕直线BC旋转一周形成几何体的体积等于A.π B.6π C. D.4π11．已知数列{an}满足(3-an+1)(3+an)=9,且a1=3,则数列{}的前6项和S6=A.6 B.7 C.8 D.912．已知函数f(x)=|lnx|-ax(x>0,0<a<1)的两个零点是x1,x2,则A.0<x1x2<1 B.x1x2=1 C.1<x1x2<e D.x1x2>e二、填空题：共4题13．执行如图所示的程序框图,若输出的结果是,则整数N=.

14．设m∈N且0≤m<5,若192016+m能被5整除,则m=.

15．已知定义在(0,+∞)上的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log3x]=4,则函数f(x)的图象在x=处的切线的斜率为.

16．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若△AOB的面积S△AOB=,则p=.

三、解答题：共8题17．已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin2B-2sin2A=sin2C,tan(A+B)=.(1)求sinC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.18．为了解某校高三甲、乙两个小组每天的平均运动时间,经过长期统计,抽取10天的数据作为样本,得到甲、乙两组每天的平均运动时间(单位:min)的茎叶图如图所示.(1)假设甲、乙两个小组这10天的平均运动时间分别为t1,t2,方差分别为,.(i)比较t1,t2的大小;(ii)比较,的大小(只需写出结果);(2)设X表示未来3天内甲组同学每天的平均运动时间超过30min的天数,以茎叶图中平均运动时间超过30min的频率作为概率,求X的分布列和数学期望.19．如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,∠ABC=60°,四边形BEFD是矩形,且BE=BA,平面BEFD⊥平面ABCD.(1)求证:AE⊥CF;(2)求二面角A-EF-C的平面角的余弦值.20．在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上的非坐标轴上的点,且4kOA·kOB+1=0(kOA,kOB分别为直线OA,OB的斜率).(1)证明:+,+均为定值;(2)判断△OAB的面积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.21．已知函数f(x)=x2+mx+lnx.(1)若函数f(x)不存在单调递减区间,求实数m的取值范围;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),且m≤-,求f(x1)-f(x2)的最小值.22．如图,E为圆O的直径AB上一点,OC⊥AB交圆O于点C,延长CE交圆O于点D,圆O在点D处的切线交AB的延长线于点F.(1)证明:EF2=FA·FB;(2)若AD=2BD,BF=2,求圆O的直径.23．在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并取相同的长度单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ-)=m(m∈R).(1)求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程;(2)若圆C上到直线l的距离为1的点有3个,求m的值.24．已知函数f(x)=|x|+|x-a|的最小值为3.(1)求实数a的值;(2)若a>0,求不等式f(x)≤5的解集.参考答案1.B【解析】本题考查集合的补运算、真子集的概念.求解时先求出集合A,再计数即可.注意试题所求的是真子集的个数.由全集U={1,2,3,4,5},∁UA={1,2}知,A={3,4,5},所以集合A的子集有8个,真子集有7个.

2.A【解析】本题考查复数的除法运算及其几何意义,属于基础题.求解时先求出复数z的代数形式,再找复数z在复平面内对应的点.解法一由(1+i)z=2i得,z==i(1-i)=1+i,故在复平面内,复数z对应的点的坐标为(1,1),选A.解法二设z=a+bi(a,b∈R),由(1+i)z=2i得,a-b+(a+b)i=2i,所以a-b=0,且a+b=2,解得a=b=1,所以z=1+i,故在复平面内,复数z对应的点的坐标为(1,1),选A.

3.B【解析】本题考查特称命题的否定,属于基础题.所给命题是特称命题,因此其否定一方面要把“特称”改“全称”,另一方面要否定结论,故其否定应该为“对任意的φ∈R,函数f(x)=tan(πx+φ)的图象都不关于点(,0)对称”.

4.B【解析】本题考查向量的数量积以及投影的求法,属于基础题.解题时,根据坐标求出向量b的模及向量a,b的数量积,然后求投影.因为b=(-,1),b·(a-b)=-3,所以|b|=2,a·b=1.又a为单位向量,则向量b在向量a方向上的投影为=1.

5.A【解析】由题意知,圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径,即-.

6.B【解析】本题主要考查等比数列的通项公式等知识,意在考查考生的基本运算能力.熟练掌握等比数列的通项公式是解决此类问题的关键.设等比数列{an}的公比为q,由S2=3,S3-S1=6,得a1+a2=3,a2+a3=6,则q==2,代入a1+a1q=3得a1=1,所以an=2n-1,a6=25=32.

7.D【解析】本题考查几何体的三视图与直观图、柱体的体积公式等.由三视图可知,该几何体是一个半径分别为2和的同心圆柱,即大圆柱内挖掉了小圆柱.两个圆柱的高均为1,所以该几何体的体积为4π×1-()2π×1=,选D.

8.A【解析】本题考查线性规划的相关知识.求解时先根据约束条件画出可行域,再根据题意列出不等式组进行求解.画出可行域如图中阴影部分所示,易知A(2,6),B(2,-2),C(-2,2),由于z=ax+y的最大值为2a+6,最小值为2a-2,故,从而-1≤a≤1,故选A.

9.B【解析】本题考查三角函数的图象与性质以及三角函数图象的平移变换等.首先利用函数图象确定函数解析式中各个参数的取值,然后根据平移后函数的性质确定平移的单位长度.由图可设A(x1,3),B(x2,-3),所以|AB|==10,解得|x1-x2|=8,所以T=2|x1-x2|=16,故=16,解得ω=.所以f(x)=3sin(x+φ),由f(2)=0得3sin(+φ)=0,又-≤φ≤,所以φ=-.故f(x)=3sin(x-),将f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-t)=3sin[(x-t)-]=3sin[x-(t+)].由题意得,函数g(x)的图象关于y轴对称,所以t+=kπ+(k∈Z),解得t=8k+2(k∈Z),故正数t的最小值为2,选B.

10.B【解析】本题考查旋转体的体积的求解等,考查考生的空间想象能力和基本的运算能力.由旋转体的定义可知,阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥.该圆柱的底面半径R=BA=2,母线长l=AD=2,故该圆柱的体积V1=π×22×2=8π,半球的半径为1,其体积V2=π×13=,圆锥的底面半径为2,高为1,其体积V3=π×22×1=,所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成几何体的体积V=V1-V2-V3=6π.

11.B【解析】本题考查数列的通项公式及前n项和,考查考生的运算求解能力,属于中档题.解题时,通过(3-an+1)(3+an)=9可知数列{}为等差数列,计算即得结论.因为(3-an+1)(3+an)=9-3an+1+3an-an+1an=9,所以3an+1-3an=-an+1an,两边同时除以3an+1an得-=-,即+.又a1=3,所以数列{}是以为首项,为公差的等差数列,所以Sn=n+·,故S6==7.

12.A【解析】本题考查基本初等函数的图象与性质、函数零点的概念等,考查考生的数形结合思想.求解时将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题进行求解.因为f(x)=|lnx|-ax=0⇔|lnx|=ax,作出函数y=|lnx|,y=ax的图象如图所示,不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2,从而lnx1<0,lnx2>0,因此|lnx1|==-lnx1,|lnx2|==lnx2.故lnx1x2=lnx1+lnx2=-<0,所以0<x1x2<1.

13.15【解析】本题考查算法等基础知识,重点考查程序框图的阅读与应用.本题的算法事实上刻画的是裂项相消法求和.通解当k=1时,S=,当k=2时,S=++-,当k=3时,S=++-,当k=4时,S=++-,……当k=14时,S=++-,当k=15时,S=++-,此时输出S,由题意知框图中N=15.优解由程序框图可知,输出的S=++…+=1-,令1-,解得N=15.

14.4【解析】本题考查二项式定理在解决数学问题中的应用.求解问题的关键是通过建立19与5的数量关系以及运用二项式定理将该关系式展开.由题意得192016+m=(-1+20)2016+m=×200×(-1)2016+×20×(-1)2015+×202×(-1)2014+…+×202016×(-1)0+m=5M+1+m,其中M∈N*,又5M+1+m能被5整除,0≤m<5,故m=4.

15.1【解析】本题考查函数解析式的求解、导数的几何意义,考查考生分析问题、解决问题的能力.由题意,设f(x)-log3x=m>0,则f(x)=log3x+m,由f[f(x)-log3x]=4可得f(m)=log3m+m=4,即m=34-m,解得m=3,所以f(x)=log3x+3,f'(x)=,从而f'()=1,即所求切线的斜率为1.

16.1【解析】本题考查了抛物线的方程和性质、直线与抛物线的位置关系等.解题的思路是先利用|AF|=4|FB|得到直线l的斜率,从而得到AB的长以及点O到直线AB的距离,再通过面积建立关于p的方程,即可求解.抛物线y2=2px的焦点F(,0),准线x=-.如图,过A,B作准线的垂线AA',BB',垂足分别为A',B'.过点B作BH⊥AA',交AA'于H,则|BB'|=|HA'|.设|FB|=t,则|AF|=4t,∴|AH|=|AA'|-|A'H|=4t-t=3t.又|AB|=5t,∴在Rt△ABH中,cos∠A'AB=,∴tan∠A'AB=.则可得直线AB的方程为y=(x-),由得8x2-17px+2p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=+p=.又点O到直线AB的距离为d=|OF|sin∠A'AB=.∴S△AOB=,又S△AOB=,故p2=1,又p>0,∴p=1.

17.(1)在△ABC中,0<A<π,0<B<π,由tan(A+B)==tan(B+),得A=. 从而由2sin2B-2sin2A=sin2C得2sin2B-1=sin2C,即cos2B+sin2C=0.将B=-C代入上式,化简得tanC=2,从而sinC=. (2)由(1)知,cosC=.所以sinB=sin(A+C)=sin(+C)=. 由正弦定理知c=b,又bcsinA=3,所以b·b·=3,故b=3.【解析】本题主要考查两角和的三角公式、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数之间的关系、正弦定理等基础知识,考查考生对基础知识的掌握程度和运算求解能力.【备注】在新课标全国卷Ⅱ中,解答题第一题往往是数列或三角,而三角的考查一般与三角形有关,重点考查三角形中的三角恒等变换,三角函数的基础知识在解三角形中的应用,正、余弦定理等.复习时要重点把握三角恒等变换、三角函数的图象和性质、解三角形三大主流题型.

18.(1)(i)由已知得,t1=(2×10+5×20+3×30+5+2+2+6+3+2+1+5+1+2)=23.9,t2=(3×10+2×20+3×30+5+8+3+5+5+2+5+0+1+3)=19.7,所以t1>t2. (ii)由茎叶图可知,甲组的数据较集中,乙组的数据较离散,所以. (2)由茎叶图可知,样本中甲组同学每天的平均运动时间超过30min的人数为3,所以频率为=0.3.由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B(3,0.3),所以P(X=0)=×0.30×0.73=0.343,P(X=1)=×0.31×0.72=0.441,P(X=2)=×0.32×0.71=0.189,P(X=3)=×0.33×0.70=0.027, 所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.【解析】本题考查平均数和方差的大小比较,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.(1)(i)由茎叶图分别求出t1,t2的值,进而比较大小;(ii)由茎叶图得到甲组的数据较集中,乙组的数据较离散,由此能比较,的大小.(2)由题意得X的所有可能取值,分别求出相应的概率,进而得分布列和数学期望.【备注】新课标全国卷Ⅱ中,概率与统计解答题往往将统计与概率结合在一起考查,大都与频率分布直方图、茎叶图和离散型随机变量的分布列有关,复习时应熟练掌握统计的基础知识和基本思想,熟悉统计数据的处理方法,准确理解各种分布图表的意义,掌握常见概率模型的计算,牢记数学期望和方差的计算公式.

19.(1)解法一连接AC,分别取EC,EF,BD的中点为G,M,N,连接GM,GN,MN,则GM∥FC,GN∥AE,如图1.由题意,易证BE⊥AB,不妨设AB=1,则GM=GN=,MN=BE=1,由勾股定理的逆定理知GM⊥GN. 故AE⊥CF. 解法二不妨设AB=1,则·=(+)·(+)=·+·=-1+1=0.因此AE⊥CF. 解法三如图2,将原几何体补成直四棱柱,则依题意,其侧面ABEG为正方形,对角线AE,BG显然垂直,故AE⊥CF. 解法四连接AC,根据题意易证AB⊥AC,BE⊥平面ABCD,如图3,建立空间直角坐标系,不妨设AB=1,则A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,,0),F(-1,,1),所以=(1,0,1),=(-1,0,1),从而·=(1,0,1)·(-1,0,1)=0,故AE⊥CF. (2)连接AC,根据题意易证AB⊥AC,BE⊥平面ABCD,如图3,建立空间直角坐标系,不妨设AB=1,则A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,,0),F(-1,,1),所以=(1,0,1),=(-1,,1),=(1,-,1),=(-1,0,1),设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,且n1·=0,得,取x1=,则y1=2,z1=-,得平面AEF的一个法向量为n1=(,2,-),同理可求得平面CEF的一个法向量为n2=(,2,). 记二面角A-EF-C的平面角为α,由图可知,α为锐角,则cosα=.【解析】本题考查线线垂直的证明、二面角余弦值的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.【备注】立体几何解答题主要围绕线面位置关系的证明以及空间角的计算展开,在线面位置关系中,垂直关系是核心,也是新课标高考命题的热点,空间角主要考查二面角,可利用传统法和向量法求解.

20.(1)依题意,x1,x2,y1,y2均不为0,则由4kOA·kOB+1=0,得+1=0,化简得y2=-,因为点A,B在椭圆上,所以+4=4①,+4=4②, 把y2=-代入②,整理得(+4)=16.结合①得=4,同理可得=4,从而+=4+=4,为定值,++=1,为定值. (2)S△OAB=|OA|·|OB|sin∠AOB=··=··==|x1y2-x2y1|. 由(1)知=4,=4,易知y2=-,y1=或y2=,y1=-,S△OAB=|x1y2-x2y1|=|+2|==1,因此△OAB的面积为定值1.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等.(1)可通过已知条件“4kOA·kOB+1=0”以及椭圆上点的坐标关系确定x1,y1,x2,y2之间的数量关系,进而进行定值的证明;(2)先求出三角形面积的表达式,通过合理变形,再结合点在椭圆上进行求解.

21.(1)依题意,x>0,且f'(x)=x+m+. 记g(x)=x2+mx+1,①若Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2,则g(x)≥0恒成立,f'(x)≥0恒成立,符合题意;②若Δ=m2-4>0,即m>2或m<-2,当m>2时,x2+mx+1=0有两个不等的负根,符合题意,当m<-2时,x2+mx+1=0有两个不等的正根,则在两根之间函数f(x)单调递减,不符合题意.综上可得m≥-2. (2)由题意得x1,x2为g(x)=x2+mx+1的两个零点,由(1)得x1+x2=-m,x1x2=1,则f(x1)-f(x2)=+mx1+lnx1-(+mx2+lnx2)=(-)+m(x1-x2)+lnx1-lnx2=(-)-(x1+x2)(x1-x2)+lnx1-lnx2=ln-(-)=ln-·=ln-(-). 记=t,由x1<x2且m≤-知0<t<1,且f(x1)-f(x2)=lnt-(t-),记φ(t)=lnt-(t-),则φ'(t)=<0,故φ(t)在(0,1)上单调递减. 由m≤-知(x1+x2)2≥,从而+≥,即≥,故t+≥,结合0<t<1,解得0<t≤,从而φ(t)的最小值为φ()=-ln2,即f(x1)-f(x2)的最小值为-ln2.【解析】本题考查函数的单调性、极值,导数在研究函数性质中的应用.第(1)问对m分情况讨论来求解;第(2)问可先对f(x1)-f(x2)进行变形,再将问题转化为单变量函数问题来解决.【备注】利用导函数的符号判断函数的单调性,进而求解函数的极值与最值及含参问题的讨论一直是近几年高考的重点,尤其是含参数的函数的单调性是近几年命题的热点.导数与函数、不等式的综合问题多涉及恒成立与含参问题的求解,主要方法是利用导数将原问题转化为函数的单调性和最值问题.

22.(1)由题意得,OC=OD,所以∠OCE=∠ODE,又OC⊥AB,FD是圆O的切线,所以∠COE=∠ODF=90°,故∠OEC=∠EDF,又∠OEC=∠FED,所以∠FED=∠FDE,所以FD=FE. 由切割线定理得,FD2=FA·FB,故EF2=FA·FB. (2)由于FD是切线,所以∠FDB=∠A,又∠DFB=∠AFD,所以△FBD∽△FDA.