高二数学(选修-人教B版)-排列(1)-教案

教案教学基本信息课题排列1学科数学学段：高中年级高二教材书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3（B版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007年4月教学目标及教学重点、难点教学目标：1.通过实例，抽象得出排列概念，体会排列概念的形成过程.2.以具体问题为载体，经历求排列数的过程，获得排列数公式及求解的经 验.3.通过排列、排列数概念的学习过程，体验化归与转化、由特殊到一般的 数学思想；培养学生有序、全面地思考习惯.教学重点、难点：重点：理解排列、排列数的概念，从简单排列问题计数过程归纳排列数公式难点：排列概念的理解教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习引入两个基本计数原理：（1）分类加法计数原理：完成一件事情，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.看一个具体例子：一个科技小组中有3名女同学，5名男同学.从中任选一名同学参加学科竞赛，共有____种不同的选派方法.（2）分步乘法计数原理完成一件事情，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.看一个具体例子：一个科技小组中有3名女同学，5名男同学。若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有______种不同的选派方法.复习两个基本计数原理，为后面做铺垫概念形成问题1从这个数字中,取出个不同的数字排成一个三位数,一共可以得到多少个不同的三位数?利用上一节课我们学过的两个基本计数原理，你能解决这个问题吗？要完成“从四个不同的数字中选出三个，排到三个不同位置”这件事，需要分成三步。第一步：从四个数字中取出一个放到第一个位置；第二步：从剩下的三个数字中取出一个放到第二个位置；第三步：从剩下的两个数字中取出一个放到第三个位置。由分步乘法原理，共个一般的，把被取对象称为元素，那么上面的问题就抽象为：从四个不同的元素中，任取三个按照一定顺序排成一列，有多少种不同的排法？问题2有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里，有多少种不同的方法?要完成“从三个不同的小球中选出两个，放到两个不同的盒子中”这件事，需要分成两步。第一步：从三个小球中取出一个放到第一个盒子中；第二步：从剩下的两个小球中取出一个放到第二个盒子中。由分步乘法原理，共个探究：这两个问题情境都有哪些共同点？ 都是从若干个不同元素中，选取出一些，并按照一定顺序排列，顺序不同，表示的完成方式不同。引入新概念： 从个不同元素中，任取（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。辨析：（1）被取的元素互不相同 （2）不重复选取，即取出的元素互不 相同 （3）有序 （4）一个排列，就是完成这件事的一 个方法；不同的排列就是完成这件 事的不同的方法 （5）两个排列相同的条件： ①元素完全相同 ②元素的排列顺序也相同引入新概念：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出个元素的排列数，用符号表示。辨析：排列数是数，不指向具体的排列例如问题1中，我们要完成的就是“从四个不同的数字中选出三个，排成一列”这件事，那么123就是它的一个排列，也就是完成这件事的一个方法，类似的，321也是它的一个排列，123和321是两个不同的三位数，因此，它们是两个不同的排列，是完成这件事的两种不同的方法。只有当所选数字完全一样，且其排列顺序也一样时，表示同一个三位数，代表同一个排列。排列数表示所有符合要求的排列的个数，由分步乘法原理可知，则共有24个排列，它们是：123,124,132,134,142,143；213,214,231,234,241，243；312,314,321,324,341,342；412,413,421,423,431,432.再如问题2中，我们要完成的是“从三个不同的小球中选出两个，放到两个不同的位置”这件事，甲盒中放红球乙盒中放黄球，就是它的一个排列，也就是完成这件事的一个方法，甲盒中放黄球乙盒中放红球，也是它的一个排列，排列数表示所有符合要求的排列的个数，由分步乘法原理知。通过实际事例的分析和抽象，将实际问题转化为数学问题，并从中归纳地得出排列的概念排列的常见形式1：从个不同元素中，任取（）个元素，按照一定的顺序排成一列通过分析，让学生明确红甲黄乙，和黄甲红乙是完成这件事的两种方式排列的常见形式2：从个不同元素中，任取（）个元素，放到个不同的位置通过类比，归纳得出排列的概念实际问题中，判断“是否与顺序有关”，可通过交换其中两个元素的顺序后，是否对结果有影响来判断回到具体问题，加深对排列与排列数的理解和区分排列数公式推导探究：排列数的计算公式 一般的，完成“从个不同元素中，任取（）个元素，按照一定的顺序排成一列”这件事，可以分成步来完成。第1步，从个元素中任选一个占据第一个位置，共有种填法；第2步，从余下的个元素中任选一个占据第二个位置，共有种填法；第3步，从余下的个元素中任选一个占据第三个位置，共有种填法；……第步，从前一步余下的个元素中任选一个占据第个位置，共有种填法．根据乘法分步计数原理，得到排列数公式其中，。公式特征分析：右边第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个正整数相乘。练习：计算（1）（2）（3）（4）特别地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．这时在排列数公式中，，即有正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示．所以个不同元素的全排列数公式可以写成借助阶乘，我们可以将排列数公式进行下面的简化变形，因此，排列数公式还可写成一个规定：为了使上面的公式在m=n时也能成立，我们规定．分析：排列数公式的两种形式该如何选取，较小时，用连乘形式；，较大时，可利用阶乘形式在科学计算器上进行计算，或排列数中含有字母进行证明、变形时，利用阶乘形式，有利于发现相互之间的关系。利用分步乘法原理得到排列数公式简化书写，引入阶乘，感受数学简洁美例题例1求证下列各式解：（1）从个不同的元素中选出个，排在个不同的位置，可以分为两步完成，第一步从个不同的元素中选出个，排在第一个位置，第二步，从剩下的个不同的元素中选出个，排在剩下的不同的个位置。（2）从个不同的元素中选出个，排在个不同的位置，可以分为两步完成，第一步从个不同的元素中选出个，排在第个位置，第二步，从剩下的个不同的元素中选出个，排在剩下的不同的个位置。例2判断下列问题中，哪个是排列问题？是排列问题的，指出其排列数并计算（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘的积（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除的商解：（1）、（3）不是，（2）和（4）是。（2）从10各不同的元素中任取2个，排在不同的位置。（4）从5各不同的元素中任取2个，排在不同的位置。例3从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？解：从3个不同元素中，任取2个元素，按照一定的顺序排成一列，例4某年全国足球中超联赛共有12个队参加，每队都要与其他其它各队在主客场分别比赛一次，共进行了多少场比赛？解：从12各不同的元素中任取2个，排在不同的位置。例5某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：先按照旗子的面数进行分类，分为挂1面、2面和3面旗子三类。1面：，2面：，3面：，分类相加，则共可以表示种信号。例6由1,2,3,4,5,6这六个数字可组成多少个：（1）三位数？（2）没有重复数字的三位数？（3）没有重复数字的，末位数字是5的三位数？解：（1）题目让求由1,2,3,4,5,6这六个数字可组成多少个三位数，1,2,3,4,5,6均满足百位不为0的要求，只要求是三位数，因此，同一个数字可以重复出现，本问不是排列。分三步完成：第一步从1,2,3,4,5,6这六个数字中任选一个，填到百位上，共6种填法；第二步从1,2,3,4,5,6这六个数字中任选一个，填到十位上，共6种填法；第三步从1,2,3,4,5,6这六个数字中任选一个，填到个位上，共6种填法.由分步乘法计数原理，共可以组成个三位数.(2)“从6个不同的数字中，选出3个，并按照一定的顺序排列”这件事，可以抽象为“从6个不同的元素中，任取3个，排成一列”，其排列数为.(3)由1,2,3,4,5,6这六个数字，要组成没有重复数字的，末位数字是5的三位数，只需从除5以外的5个不同数字中，任取两个，填到百位和十位，其排列数为.进行严格的代数证明后，再从两个基本原理来进行理解新知识的辨析，加深对排列的理解，能计算简单的排列问题总结1.本节课你学到了什么？排列、排列数、排列数公式、全排列、阶乘2.你是如何获得这些知识的？从特殊到一般，化归与转化，类比归纳；3.通过本节课的学习，谈谈你的体会.在乘法原理的基础上，抽象出一种新的计数模型——排列，综合运用两个计数原理做到不重不漏，实际生活中的实际问题可以抽象为数学问题进行研究，感受数学的简洁之美让学生通过小结，反思学习过程，体会数学思想作业某小组6个人排队照相留念．若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？解：分两排照相实际上与排成一排照