16.3 二次根式的运算（解析版）

16.3二次根式的运算1.会进行二次根式的加减运算2.掌握二次根式乘除法运算的法则，会进行二次根式的乘除运算3.理解分母有理化的意义,会寻找合适的有理化因式将分母有理化4.掌握二次根式的运算顺序,会进行二次根式的加、减、乘、除混合运算5.通过解简单的实际问题以及解一元一次方程和一元一次不等式体会二次根式的运用.在学习过程中体会类比、化归的数学思想知识点一二次根式的加减运算二次根式加减运算的步骤一化：将各个二次根式化成最简二次根式二判：找出同类二次根式三合并：合并同类二次根式根号外的因式相加减,根指数与根号内的被开方数不变（1）二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式（1）二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式（2）在二次根式的加减运算中，化成最简二次根式后，不是同类二次根式的不能合并，直接保留在结果中.（3）整式加减运算中的运算律、去括号法则、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用.即学即练（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：12-2【答案】3【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．【详解】解：12=2=2=33【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的性质．掌握二次根式的性质和二次根加减运算法则是解题的关键．二次根式的加减运算可类比整式加减中的合并同类项,根号外的因式进行加减运算要加括号.二次根式的加减运算可类比整式加减中的合并同类项,根号外的因式进行加减运算要加括号.原式中如果有括号,要先去括号，再用加法的交换律、结合律将同类二次根式合并.2.二次根式的乘法法则两个二次根式相乘被开方数相乘,根指数不变.符号表示为（1）（1）中已隐舍了的条件,因为只有当都是非负数时,才有意义；（2）二次根式相乘的结果必须化成最简二次根式；（3）推广公式：即学即练（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）计算:(1)8×(2)-5【答案】(1)20(2)-【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】（1）解：8===206（2）-=-15=-15=-【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．知识点三二次根式的除法法则两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.符号表示为（1）（1）中已隐舍了的条件,如果都是负数时，虽然有意义，但是在实数范围内无意义，如果=0，则无意义；（2）推广公式1：（3）推广公式2：即学即练1-4【答案】-【分析】根据二次根式除法直接计算即可.【详解】解：原式=-=-=-【点睛】本题是对二次根式计算的考查，熟练掌握二次根式除法和化简是解决本题的关键.即学即练2（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）计算：248【答案】2【分析】把括号内的每一项都除以3，再化简，相加即可．【详解】解：2=2=2=8=2；【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键．二次根式相除,根号前的系数除以系数的商作为商的系数，被开方数除以被开方数的商作为商的被开方数.知识点四分母有理化分母有理化的概念把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.3.有理化因式（1）分母有理化时，分子、分母所乘的代数式叫做分母的有理化因式，分母有理化的关键是确定分母的有理化因式;（2）两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.常见的互为有理化因式的形式有:常见的互为有理化因式的形式有:与互为有理化因式，与互为有理化因式,与互为有理化因式。即学即练（2022秋·上海静安·八年级校考期中）计算：27【答案】4【分析】利用二次根式的混和运算法则即可求解．【详解】解：原式=3=3=【点睛】本题考查二次根式的混和运算．掌握相关运算法则是解题关键．知识点五二次根式的混合运算二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除的混合运算，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点:（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算的顺序类似，先乘除，再加减，有括号的先算括号里面的;（2）在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则仍然适用，如:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、去括号法则等都适用;（3）若结果是二次根式，则必须化为最简二次根式.即学即练（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：75【答案】7【分析】先根据二次根式的性质，完全平方公式和分母有理化化简，再计算加减即可．【详解】解：原式=5=5=7【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握分母有理化和二次根式混合运算的法则是解题的关键．题型一解含二次根式的方程例1（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）解方程：2x+2【答案】x=【分析】按照移项、合并同类项、把系数化为1进行求解即可．【详解】解：2x+2∴3x+∴3+∴x======5∴方程的解为x=5【点睛】本题考查了解方程，涉及二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键．举一反三1解方程：2-【答案】x=2【分析】先去括号，然后再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可．【详解】解：2去括号得：2-移项合并同类项得：3+未知数系数化为1得：x=26【点睛】本题主要考查解一元一次方程，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算．举一反三2（2022春·山东烟台·八年级统考期中）小明在解方程24-x-8-x=2时采用了下面的方法：由(24-x-8-x)(24-x+8-x)=(24-x)2【答案】x=【分析】参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可．【详解】解：∵(=(x而x2∴x2两式相减得2x2+10两边平方得到x2∴x=±39，经检验【点睛】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．举一反三3（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）小明在解方程24-x-由(24-x-8-x)(24-x+8-x)=(24-x)2-请你学习小明的方法，解下面的方程：(1)解方程x2(2)解方程4x【答案】(1)x=(2)x=3【分析】（1）仿照题意求解即可；（2）仿照题意求解即可．【详解】（1）解：x2+42=x2+42=x=32∵x2∴x2+42-∴x2∴x∵x2∴x=±经检验x=±∴方程x2+42+（2）解：4x2=4=4=8x，∵4x2+6x∴4x2+6x∴4x∴4x∵(4∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1，∴2x=6，解得x=3，经检验x=3是原方程的解，∴方程4x2+6x【点睛】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，求平方根的方法解方程，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键．题型二解含二次根式的不等式（组）例2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）不等式3x-3x<6的解集是【答案】x>-3【分析】根据一元一次不等式的解法进行计算即可求解．【详解】解：3x即3∵3-∴x>∴x>-故答案为：x>-【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三1（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）不等式2x+2<3x【答案】x>23+2【分析】先移项，再合并，即可求解．【详解】解：2x+2<∴2x即2-∴x>-即x>23故答案为：x>23【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．举一反三2（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）不等式2x-5<3x的解集是【答案】x<10+53/【分析】根据移项、合并同类项、把x系数化为1，然后把分母有理化，即可求出解集．【详解】解：2x移项，可得：2x-合并同类项，可得：2-系数化1，可得：x<5分母有理化，可得：x<5∴不等式2x-5<3故答案为：x<10+5【点睛】本题考查了解一元一次不等式、二次根式分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型三利用乘法公式巧解二次根式混合运算例3（2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习）已知a=7+2，b=7【答案】6【分析】先求出a+b和ab的值，再分解因式，最后代入求出答案即可．【详解】解：∵a=7+2，∴a+b=7+2+7∴a=ab=3=67【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、提公因式法分解因式、求代数式的值，能求出a+b和ab的值是解此题的关键．举一反三1（2023春·安徽六安·八年级校考期中）计算：(1)318(2)25【答案】(1)2(2)-【分析】（1）先化简各二次根式，再用二次根式加减法计算括号内的，最后用二次根式除法法则计算即可；（2）先运用平方差与完全平方公式计算，再合并即可．【详解】（1）解：3===8=2；（2）解：2==20=20=-【点睛】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和使用平方差与完全平方公式简便计算是解题的关键．举一反三2（2022秋·山东烟台·八年级校考开学考试）计算：(1)27(2)5(3)(【答案】(1)3(2)25(3)3【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则即可解答；（2）根据二次根式的混合运算法则即可解答；（3）根据二次根式的混合运算法则即可解答．【详解】（1）解：27=3=3（2）解：5=5=25（3）解：(=6=3．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算法则，二次根式的混合运算法则，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．题型四二次根式之分母有理化例4（2023春·河南新乡·八年级统考期中）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们会碰上如23，25，①23=2×3③23类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．(1)化简：36=______，27=______(2)计算：11+【答案】(1)62；147(2)97【分析】（1）仿照例题的解法依次化简即可；（2）按照第三种方法化简，进而即可求解．【详解】（1）解：36=27=25-故答案为：62；147；（2）解：1=3-=【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握平方差公式进行分母有理化是解题的关键．举一反三1（2023春·安徽铜陵·八年级统考期末）观察下列各式：2+13+4+……依据以上呈现的规律，计算：1【答案】9【分析】先把12【详解】解：12===100=10-=9．【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是找出规律，使运算简便．举一反三2（2023春·河南商丘·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．例：化简12+解：12+请回答下列问题．(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①16+5=__________；(2)应用：化简13(3)拓展：13+1+15【答案】(1)①6-5(2)17(3)2n+1【分析】（1）①分子分母都乘以6-5可得答案；②分子分母都乘以（2）把分母中的二次根号去掉，再合并同类二次根式即可；（3）把分母中的二次根号去掉，再结合分配律，合并同类二次根式即可；【详解】（1）解：①16②111（2）1===177（3）1===2n+1【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的运算中的规律探究，熟练的分母有理化是解本题的关键．题型五已知条件式，化简求值例5（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知a+b=-4,ab=1,则aab+b【答案】-14【分析】根据已知的等式可知a,b为负数，再根据分式的运算得到aab+b【详解】∵a+b=∴a,b为负数，∴aab=-(ab故填：-14.【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知分式的运算及乘方公式的运用.举一反三1（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）设a为3+5-3-5的小数部分，b为6+33【答案】6【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算即可．【详解】∵3+====1+12=2，且1＜∴a=2∵6+3====232=6，且2∴b=6∴2=6故答案为：6-【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化，二次根式的加减运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化是解题的关键．举一反三2已知a2b=2400,ab2=5760,求【答案】26【分析】先把两等式相乘和相加可得ab＝240，ab（a＋b）＝8160，则可计算出a＋b＝34，再根据完全平方公式变形得到a2+b【详解】解：∵a2b＝2400，ab2＝5760，∴a3b3＝2400×57600＝2403，a2b＋ab2＝2400＋5760，∴ab＝240，ab（a＋b）＝8160，∴a＋b＝8160240∴a2+b2故填：26.【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形及整式的运算法则.题型六已知字母的值，化简求值例6（2022秋·上海静安·八年级校考期中）化简求值x2-2x+1【答案】1x，【分析】根据完全平方公式、平方差公式、分式的运算性质、二次根式的运算性质计算即可求得答案．【详解】原式====当x=5原式=1【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式、分式的运算、二次根式的运算，牢记分式乘除及加减的运算法则是解题的关键．举一反三1（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）化简并求值：已知x=23-1【答案】(x-【分析】将x的值分子分母同时乘以3+1化简，把所求式子配方变形，将x【详解】解：∵x=2∴x2【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，完全平方公式，以及配方法的应用，是一道技巧性较强的试题．举一反三2（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）先化简再求值：x-2xy+yx-y÷1x+2【答案】x【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．【详解】解：原式=＝x=x-当x=1y=1原式=3【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．题型七二次根式的比大小问题例7（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）比较大小：5665；12-312+3．（填“>”“<【答案】<>【分析】①将56、65平方之后可得562=150，6【详解】解：①∵562=150∴150<180，∴56故答案为<；②∵12-3∴2+3∴2+3∴12故答案为>．【点睛】本题考查了二次根式大小比较的方法，二次根式的性质，分母有理化，掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．举一反三1（2023春·江苏南京·八年级校联考期末）比较大小：52+3（填“>”、“<”或“=【答案】<【分析】将两数平方，根据结果比较大小．【详解】解：52=5，∵5+26∴5<故答案为：<．【点睛】本题考查了实数的大小比较，涉及了二次根式的运算，解题的关键是灵活运用平方法进行比较．举一反三2若a=2020×2022-2020×2021,b=20232-4×2022,c=20212+1，则aA．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a【答案】A【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．【详解】解：∵a=2020×∴a2∵b=20232-∴b2c2∵20202<2021∵a、b、c都是大于0的实数，∴c>b>a，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．题型八二次根式的探究规律题例8（2023春·吉林松原·八年级统考期中）观察下面的运算，完成下列各题的解答．(1)判断下列各式是否成立（成立的画√，不成立的画×）；2+23=23+38=34+415=45+524=5(2)根据（1）判断的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围；(3)请说明你所发现式子的正确性．【答案】(1)√；√；√；√(2)n+nn(3)见解析【分析】（1）各式计算得到结果，即可作出判断；（2）根据（1）得出的规律写出即可；（3）验证得出的规律即可．【详解】（1）解：√；√；√；√；故答案为：√；√；√；√；（2）解：根据题意得：n+nn2（3）解：等式左边n+n∴n+nn2【点睛】本题是对二次根式化简的考查，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键．举一反三1已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：S=p(p-a)(p-b)(p-c)，其中S表示三角形的面积，a,b,c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p=我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在ΔABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求ΔABC的面积；（2）计算（1）中ΔABC的BC边上的高．【答案】（1）66；（2）【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；（2）根据三角形面积公式S=1【详解】解：（1）p=5+6+7所以S=9答：ΔABC的面积是6（2）BC边上的高=2S答：BC边的高是26故答案为（1）66；（2）2【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．举一反三2（2023春·北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当a>0、b>0时，ab与a+b的大小关系下面是小单的深究过程：①具体运算，发现规律：当a>0、特例1：若a+b=2，则2ab特例2：若a+b=3，则2ab特例3：若a+b=6，则2ab②观察、归纳，得出猜想：当a>0、b>0时，③证明猜想：当a>0、∵a-∴a+b≥2ab+a+b≥2ab∴2ab当且仅当a=b时，2ab请你利用小华发现的规律解决以下问题：(1)当x＞0时，x+1x的最小值为(2)当x＜0时，-x-2x的最小值为(3)当x＜0时，求【答案】(1)2(2)2(3)-【分析】（1）直接由题中规律即可完成；（2）当x<0时，-x>0（3）原式x2+2x+6x变形为x+6x+2，由【详解】（1）解：当x>0时，x，由题中规律得：x+1当且仅当x=1x，即x=1时，∴当x＞0时，x+1故答案为：2；（2）解：当x<0时，-x>0由题中规律得：-x当且仅当-x=-2x，即∴当x＜0时，-x-2故答案为：22（3）解：∵x2∴当x<0时，-x>0∴(-当且仅当-x=-6x，即∵(-∴x+6∴x+6∴x2当且仅当x=-6时，x2∴当x<0时，x2+2x+6x【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意．一、单选题1．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列各式中是-ayA．ay+bx B．bx-ay【答案】B【分析】利用平方差公式，进行计算即可解答．【详解】观察各选项，只有B选项中有一项与所给式子中一项的符号相同，另一项符号相反，-===-故选：B【点睛】本题主要考查运用平方差公式对式子有理化，解题的关键是熟练运用平方差公式．2．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）下列运算中，正确的是（

）A．23+42=65C．27÷3=3 【答案】C【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则，计算即可判定．【详解】解：A、23和4B、-3C、27÷D、41故选：C【点睛】本题考查了二次根式的相关运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．3．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）小明作业本上有以下四道题：①16a4=4a2；②5a⋅10a=52A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根据二次根式的性质可判断①，根据二次根式的乘法运算可判断②，根据二次根式的性质和乘法可判断③，根据同类二次根式的定义可判断④．【详解】解：16a5a·因为a>0，则a13a与2a不是同类二次根式，不能合并，所以④不正确．故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和运算，分别将各项化简是解题的关键．4．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）等式x2-1=A．x≥1 B．x≥-1 C．x≥1或x≤-1 D【答案】A【分析】根据二次根式的乘法法则ab=a⋅b成立的条件为【详解】解：根据题意，可得x+1≥解不等式组，得x≥所以，等式x2-1故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．5．（2022秋·上海普陀·八年级统考期中）下列等式中，一定成立的是（）A．a2=a B．a2=a C．【答案】A【分析】运用二次根式的性质、二次根式的乘法运算依次判断即可．【详解】解：A、a2B、当a<0时，a2C、a2D、当a<0、b<0时，ab=故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键．二、填空题1．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知a=2-5则a的倒数为【答案】-【分析】根据分母有理化，倒数的定义即乘积为1的两个数互为倒数，计算即可．【详解】∵a=2-∴a的倒数为1=-故答案为：-2【点睛】本题考查了倒数，分母有理化，熟练掌握定义，灵活进行分母有理化是解题的关键．2.（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：5-xy÷【答案】-【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x和y的符号，根据二次根式的除法法则计算即可．【详解】解：由题意可知，-xy≥0∴x≤0，原式=5故答案为：-5y【点睛】此题考查二次根式的除法运算，解题关键在于掌握运算法则．3．（2022秋·上海·八年级校考期中）若x-1=5，则x-12-4【答案】9-4【分析】把x-1=5【详解】解：把x-1=552故答案为：9-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4.（2022秋·上海松江·八年级校考期中）已知x=13+22，则x【答案】-【分析】根据题意可得x=3-22，1x【详解】解：∵x=1∴x=3-22∴x====8+8=-故答案为：-【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．二、解答题1．（2023