专题06 数轴上动点相距问题（解析版）

专题06数轴上动点相距问题类型一一个动点相距问题1．如图，数轴上点A、B表示的点分别为-6和3.（1）若数轴上有一点P，它到A和点B的距离相等，则点P对应的数字是________（直接写出答案）（2）在上问的情况下，动点Q从点P出发，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左移动，是否存在某一个时刻，Q点与B点的距离等于

Q点与A点的距离的2倍？若存在，求出点Q运动的时间，若不存在，说明理由．【答案】（1）-1.5；（2）存在这样的时刻，点Q运动的时间为0.5秒或4.5秒．【解析】【分析】（1）根据同一数轴上两点的距离公式可得结论；（2）分两种情况：当点Q在A的左侧或在A的右侧时，根据Q点与B点的距离等于Q点与A点的距离的2倍可得结论；【详解】解：（1）数轴上点A表示的数为-6；点B表示的数为3；∴AB=9；∵P到A和点B的距离相等，∴点P对应的数字为-1.5.（2）由题意得：设Q点运动得时间为t，则QB=4.5+3t，QA=分两种情况：①点Q在A的左边时，4.5+3t=2，t=0.5，②点Q在A的右边时，4.5+3t=2，t=4.5，综上，存在这样的时刻，点Q运动的时间为0.5秒或4.5秒．【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论．2．如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）线段BA的长度为；（2）当t＝3时，点P所表示的数是；（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；（4）在运动过程中，当PB＝2时，求运动时间t．【答案】（1）5；（2）6；（3）当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，当5＜t≤10时，动点P所表示的数是20﹣2t；（4）1.5或3.5或6.5或8.5．【解析】【分析】（1）根据B是线段OA的中点，即可得到结论；（2）根据已知条件即可得到结论；（3）分两种情况讨论：①当0≤t≤5时，②当5＜t≤10时，即可得到结论；（4）分两种情况讨论：①当0≤t≤5时，②当5＜t≤10时，根据线段的和差即可得到结论．【详解】（1）∵B是线段OA的中点，∴BAOA=5．故答案为5；（2）当t=3时，点P所表示的数是2×3=6．故答案为6；（3）分两种情况讨论：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t；②当5＜t≤10时，动点P所表示的数是20﹣2t；（4）①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t．∵PB=2，∴|2t﹣5|=2，∴2t﹣5=2，或2t﹣5=﹣2，解得：t=3.5，或t=1.5；②当5＜t≤10时，动点P所表示的数是20﹣2t．∵PB=2，∴|20﹣2t﹣5|=2，∴20﹣2t﹣5=2，或20﹣2t﹣5=﹣2，解得：t=6.5，或t=8.5．综上所述：所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同得出等式方程求出是解题的关键．3．如图，已知点A距离数轴原点2个单位长度，且位于原点左侧，将点A先向右平移10个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点B，点P是数轴上的一个动点．（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；（2）当点P在数轴上移动，满足时，求P点表示的数；（3）动点P从数轴上某一点出发，第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，……①若在原点处，按以上规律移动，则点P第n次移动后表示的数为__________；②若按以上规律移动了次时，点P在数轴上所表示的数恰是，则动点P的初始位置K点所表示的数是___________．【答案】（1）数轴见解析，A、B之间的距离为6；（2）2或10；（3）①（-1）n•n；②4【解析】【分析】（1）根据数轴的定义得到点A和点B表示的数，从而得到A、B之间的距离；（2）设点P表示的数为x，表示出PA和PB，令PA=2PB，得到方程，解之即可；（3）①根据点P前几次表示的数找出规律即可得出结论；②设动点P的初始位置K点所表示的数是m，根据①中所得规律，列出方程即可求出m值．【详解】解：（1）∵点A距离数轴原点2个单位长度，且位于原点左侧，∴点A表示的数为-2，将点A先向右平移10个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到点B，∴点B表示的数为：-2+10-4=4，数轴如下：A、B之间的距离为：4-（-2）=6；（2）设点P表示的数为x，∴PA=，PB=，∵PA=2PB，∴，若点P在点A左侧，，解得：x=10，不符合；若点P在A、B之间，，解得：x=2；若点P在点B右侧，，解得：x=10，综上：点P表示的数为2或10；（3）①∵在原点处，第一次移动后点P表示的数为0-1=-1，第二次移动后点P表示的数为0-1+3=2，第三次移动后点P表示的数为0-1+3-5=-3，第四次移动后点P表示的数为0-1+3-5+7=4，...∴第n次移动后点P表示的数为：（-1）n•n；②设动点P的初始位置K点所表示的数是m，由①可得：第n次移动后点P表示的数为：m+（-1）n•n，∵移动了2n+1次时，点P在数轴上所表示的数恰是3-2n，∴m+（-1）2n+1•（2n+1）=3-2n，即m-（2n+1）=3-2n，解得：m=4，即点P的初始位置K点所表示的数是4．【点睛】本题考查了数轴，两点之间的距离，数字型规律，一元一次方程，解题的关键是注意分类讨论和数形结合思想的运用，同时要善于总结规律．4．已知A，B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且，P是数轴上的一个动点．（1）在数轴上标出A，B的位置，并求出A，B两点之间的距离．（2）若PB表示点P与点B之间的距离，PA表示点P与点A之间的距离，当P点满足时，直接写出点P对应的数．（3）动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…①在这个移动过程中，点P和与A能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由．②写出点P移动第n（n是自然数）次后所对应的数．【答案】（1）数轴表示见解析，A，B两点之间的距离为12；（2）P对应的数是4或20；（3）①点P第12次移动后，能够与点A重合；说明见解析；②【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性确定a，b的值，得到点A，B表示的数，进而求出AB之间的距离；（2）设点P表示的数为x，若，可分两种情况，①当点P在点A与点B之间时，二是点P在点A的右侧，表达出PB和PA，列出方程即可解答；（3）①分别计算出点P前几次运动后表示的数，找出规律，即可得出点P可以与点A重合；②由①的计算过程即可得出关于n的代数式表示点P表示的数．【详解】解：（1）∵，∴，∴a=8，b=-4，∴A，B在数轴上对应的数分别为8，-4，数轴表示如下图所示：A，B两点之间的距离为8-（-4）=12（2）若，设点P表示的数为x，则①当点P在点A与点B之间时，PA=8-x，PB=x-(-4)∴x-(-4)=2(8-x)解得:x=4，∴点P表示的数为4；②当点P在点A的右侧时，PA=x-8，PB=x-(-4)，x-(-4)=2(x-8)解得：x=20综上所述，P对应的数是4或20；（3）①点P第一次移动后表示的数是：-4-1=-5；点P第二次移动后表示的数是：-5+3=-4+2=-2；点P第三次移动后表示的数是：-2-5=-4-3=-7，点P第四次移动后表示的数是：-7+7=-4+4=0，……∵-4+12=8，∴点P第12次移动后，能够与点A重合；②由①可知，点P第n次移动后表示的数是：．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了绝对值的非负性以及数轴上两点之间的距离，熟知数轴上各点与全体实数一一对应及数轴上两点之间的距离是解题的关键．类型二两个动点相距问题5．如图，数轴上点对应的有理数为12，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，点以每秒2个单位长度的速度从原点出发，且、两点同时向数轴正方向运动．设运动时间为秒．（1）当时，、两点对应的有理数分别为__________，___________，点与点的距离为__________个单位长度；（2）当点在点的左侧且点与点的距离为8个单位长度时，求的值．【答案】（1）14，4，10；（2）t=20【解析】【分析】（1）根据点P、Q的运动方向、速度和时间，即可得出当t＝2时，P、Q两点对应的有理数，二者做差即可求出线段PQ的长度；（2）根据PQ＝8，结合运动时间为t时P、Q两点对应的有理数，即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（１）∵2×2=4，12+2×1=14∴当t=2时，P、Q两点对应的有理数分别是14、4∴PQ=14-4=10故答案为：14，4，10．（2）当运动秒时，、两点对应的有理数分别为，因为点与点的距离为8个单位长度，且点在点的左侧，所以，解得．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．6．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为4，点B到点C的距离为8，如图所示．（1）若以点B为原点，则点C所表示的数是，若以点C为原点，则点A所表示的数是；（2）若原点O在点C的左侧，且点C到原点O的距离为4，设点A，B，C所对应的数的和是m，求m的值；（3）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点C移动，动点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动几秒后，P，Q两点间的距离为2？【答案】（1），；（2）；（3）秒或秒时，两点间的距离为2【解析】【分析】（1）根据题意以及数轴的性质，求解即可；（2）根据题意，可以写出点表示的数，然后将它们相加即可得到m的值；（3）根据题意分三种情况，然后分别列出相应的方程，再求解即可．【详解】解：（1）由题意可得，以点B为原点，则点C所表示的数是，若以点C为原点，则点A所表示的数是；故答案为，（2）若原点O在点C的左侧，且点C到原点O的距离为4，则点表示的数为，点表示的数为则；故答案为（3）当点和点相遇之前，设秒后，两点间的距离为2，则，解得；当点和点相遇之后且点未到终点时，设秒后，两点间的距离为2，则，解得；当点到达终点且点未到终点时，设秒后，两点间的距离为2，则，解得；由上可得，秒或秒时，两点间的距离为2．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离以及动点问题，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程，利用分类讨论的方法求解．7．如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．(1)数轴上点B表示的数是______；(2)运动1秒时，点P表示的数是______；(3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，请完成填空：①当点P运动______秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动______秒时，点P与点Q的距离为8个单位长度．【答案】(1)(2)0(3)①5；②1或9【解析】【分析】（1）点向左移动时，用点表示的数减去移动的距离，即可得到移动后点表示的数，利用点移动规律解答；（2）用6减去点P移动的距离即可得到点P表示的数；（3）①设点P运动t秒时，列方程6-6t=-4-4t，求解即可；②设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，根据当Q在P点左边时，当P在Q的左边时，分别列方程求解．(1)解：点B表示的数为6-10=-4，故答案为：-4；(2)解：点P表示的数为，故答案为：0；(3)解：①设点P运动t秒时，由题意得：6-6t=-4-4t，解得：t=5，∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇，故答案为：5；②设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，由题意得：当Q在P点左边时，4x+10-6x=8，解得：x=1，当P在Q的左边时，6x-（4x+10）=8，解得：x=9．故答案为：1或9．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，动点与一元一次方程，正确理解点的运动及表示点运动前后的数是解题的关键．8．如图，数轴上点对应的数为16，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，点以每秒3个单位长度的速度从原点出发，且，两点同时向数轴正方向运动．设运动时间为秒．（1）填空：当时，，两点对应的数分别为__________，___________，的长为__________．（2）当时，求的值．【答案】（1）18，6，12；（2）3.5或12.5．【解析】【分析】（1）当时，利用路程=速度时间，分别解得，两点的运动路程，再结合数与数轴的对应关系解题；（2）当运动秒时，两点对应的数分别为，，分类讨论：①当点在点的右侧时或②当点在点的左侧时，分别计算，结合一元一次方程知识解题即可．【详解】解：（1）当时，两点对应的数分别是18，6，．故答案为：18，6，12；（2）当运动秒时，两点对应的数分别为，，①当点在点的右侧时，因为，所以，解得；②当点在点的左侧时，因为，所以，解得，综上所述，当时，的值为3.5或12.5.【点睛】本题考查数轴上的动点问题，涉及一元一次方程的应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为10和16．点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为ts．(1)当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝_____，AQ＝_____；(2)当t＝8时，求PQ的长；(3)当PQ＝AB时，求t的值．【答案】(1)6﹣t，10﹣2t(2)PQ=2(3)t=13或7【解析】【分析】（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；（2）先求出当t=8时，P点对应的有理数为10+8=18，Q点对应的有理数为2×8=16，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ=|2t﹣（10+t）|=|t﹣10|，根据PQ=12AB列出方程，解方程即可．(1)∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，∴BP=16﹣（10+t）=6﹣t，AQ=10﹣2t．故答案为6﹣t，10﹣2t；(2)当t=8时，P点对应的有理数为10+8=18，Q点对应的有理数为2×8=16，所以PQ=18﹣16=2；(3)∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，∴PQ=|2t﹣（10+t）|=|t﹣10|，∵PQ=AB，∴|t﹣10|=3，解得t=13或7．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（3）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．10．如图，数轴上A、B两点对应的数分别为6和10．点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒．（1）线段AB的长度是_______，点Q对应的数是_______；（2）当点P、Q重合时，求t的值；（3）当时，求t的值．【答案】（1）4，6+t；（2）t=3；（3）当时，t的值为秒或秒．【解析】【分析】（1）根据A、B两点表示的数，求出AB的长即可，然后根据Q的运动情况，得到Q表示的数即可；（2）分别表示出P、Q两点运动的距离，然后根据它们相遇时，P多走的距离为OA的长即可求解；（3）分P追上Q之前和之后两种情况讨论求解即可.【详解】解：（1）数轴上A、B两点对应的数分别为6和10∴AB=10-6=4∵Q从A点出发，以每秒1个单位长度沿数轴正方向运动∴运动的距离=t∴Q表示的数为：6+t；（2）∵PQ两点重合∴P多走的距离为OA的长∴3t-t=6解得t=3（3）当P追上Q之前，∵，，∴解得当当P追上Q之后∵，，∴解得或（舍去）综上：当时，t的值为或【点睛】本题主要考查了数轴上点的运动问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿负方向运动，动点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿负方向运动，动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动，到达原点后立即按原速反方向运动，三点同时出发，出发时间为（秒）．（1）点在数轴上所表示的数分别为：____________，____________；（2）当两点重合时，求此时点在数轴上所表示的数；【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间即可求解；（2）根据题意求出Q、N相遇的时间，再把t的值代入P即可解答；【详解】解（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q两点在数轴上所表示的两个数分别为.（2）时，点所表示的数为；时，点做表示的数为.解得：，当时，；当时，.此时点在数轴上所表示的数为或.【点睛】此题考查一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离．正确进行分类讨论是解题的关键．12．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2．已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题：（1）如果点A表示数﹣5，将点A向右移动6个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；（2）如果点A表示数a，将A点向左移动10个单位长度，再向右移动70个单位长度，终点B表示的数是50，那么a＝，到A、B两点距离相等的点表示的数为；（3）在（2）的条件下，若电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度？【答案】（1）1，6；（2）-10，20；（3）25秒或35秒或5秒或7秒【解析】【分析】（1）根据“左减右加”的规律即可求出点B表示的数，利用“大数减小数”即可求出两数间的距离；（2）根据“左减右加”的规律a-10+70=50，即可求出a的值，到A、B两点距离相等的点为A、B两点中间的点，利用规律“两数相加除以2”即可求出；（3）设当运动x秒时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度，分析电子蚂蚁Q的运动方向：向左运动时两只蚂蚁的位置分别为-10-4t和50-6t；向右运动时两只蚂蚁的位置分别为-10+4t和50-6t，再利用“大数减小数”求出两数间的距离为10即可；【详解】（1）终点B表示的数是-5+6=1，A、B两点间的距离是1-（-5）=6；（2）依题意有a-10+70=50，解得a=-10；

A、B两点中间的点表示的数为（-10+50）÷2=20；（3）设当它们运动x秒时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度，电子蚂蚁Q向左运动，依题意有（-10-4t）-（50-6t）=10，解得t=35；或（50-6t）-（-10-4t）=10，解得t=25；电子蚂蚁Q向右运动，依题意有（-10+4t）-（50-6t）=10，解得t=7；或（50-6t）-（-10+4t）=10，解得t=5．故当它们运动25秒或35秒或5秒或7秒时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度25秒或35秒或5秒或7秒【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离以及一元一次方程的应用，能正确的用数轴上的点表示有理数是解题的关键．类型三三个动点相距问题13．已知数轴上两点A，B对应的数分别是，4，P、M、N为数轴上的三个动点，点M从B点出发速度为每秒2个单位，点N从A点出发速度为M点的2倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．(1)线段之间的距离为________个单位长度．(2)若点M向左运动，同时点N向右运动，求多长时间点M与点N相遇？(3)若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？【答案】(1)14(2)秒(3)7秒或1.5秒【解析】【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求出答案；（2）设运动时间为t秒时，点M与点N相遇，列方程解答；（3）点M、N、P运动的时间为y秒时，根据点P到点M、N的距离相等，分两种情况列方程求解．(1)解：AB=4-(-10)=14，故答案为：14；(2)解：设运动时间为t秒时，点M与点N相遇．2t+22t＝146t＝14t＝；当运动时间为秒时，点M与点N相遇．(3)解：点M、N、P运动的时间为y秒时，点P到点M、N的距离相等，①（2y+4）－y＝4y－10－yy＝7②2y+4－y＝y－(4y－10)y＝1.5∴当点M、N、P运动时间为7S或1.5S时，点P到点M，N的距离相等．【点睛】此题考查了有理