17.2 一元二次方程的解法（原卷版）

17.2一元二次方程的解法学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；2.运用开平方法解形如x²=p或(x+n)²=p(p≥0)的方程.3.了解配方法的概念.4.掌握解一元二次方程的方法解决有关问题.5.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系.重点：掌握解一元二次方程的方法解决有关问题.难点：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.2.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系.知识点一直接开平方法解一元二次方程1.直接开平方法利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.方程x²=p的根一般的，对于可化为x2=p(I)的方程，(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，；(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根；(3)当p<0时，因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)无实数根.归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法即学即练利用直接开平方法解下列方程：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式.知识点二配方法解一元二次方程1.配方法把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。2.可化为(x+n)²=p的形式的一元二次方程的根一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）.①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，；②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n；③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.学生：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？老师：移项时需注意改变符号.1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：一移：常数项且二次项系数化为1；二配：成完全平方公式[配上一次项系数2三写：成(x+n)2=p；四直：接开平方法解方程.即学即练1试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.即学即练2应用配方法求最值.(1)2x2－4x+5的最小值；(2)－3x2+6x-7的最大值.【总结】ax²+bx+c(a，b，c均为常数)型代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x+m)²+n的形式来解决.即学即练3若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状.类别解题策略1.完全平方式中的求参如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负)对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.3.利用配方构成非负式的和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.知识点三因式分解法解一元二次方程1.因式分解法通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2.用因式分解法解一元二次方程的理论依据如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0,即若ab=0,则a=0或b=0.3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0;(2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积；(3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；(4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.4.几种常见的用因式分解法求解的方程(1)形如x²+bx=0的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或x+b=0,即x1=0,x形如x²-a²=0的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即x1=-a,x形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)²=0,则①x+a=0,即x1=x2=-a;②x-a=0,即x1形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程，将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即x1=-a,x即学即练用因式分解法解下列方程：(1)；(2)知识点四十字相乘法1.十字相乘法整式的乘法(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+整式的乘法两个一次二项式相乘的积一个二次三项式反过来，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)如果二次三项式x2+px+q中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.2.十字相乘法步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式即学即练1解：分解因式得（x+7）（x-1）=0∴x+7解：分解因式得（x+7）（x-1）=0∴x+7=0，或x-1=0.∴x1=-7,x2=1.xxxx7-1（x+7）（x-1）=0简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.即学即练2解下列方程：(1)x2-5x+6=0；(2)x2+4x-5=0；(3)(x+3)(x-1)=5；(4)2x2-7x+3=0.用因式分解法解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程中有没有公因式，提取公因式后能否转化为一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单.知识点五公式法解一元二次方程1.求根公式解一元二次方程时，先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.2.公式法用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.注意：：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式,然后当Δ=b²－4ac≥0时,才可以用求根公式.3.一元二次方程求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程，推导过程如下：移项，得ax2+bx=－c，二次项系数化为1，得x2+x=，配方，得x2+x+()2=()2，即(x+)2=.当Δ=b2－4ac时，.4.用公式法解一元二次方程的一般步骤1.变形：化已知方程为一般形式；2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b2－4ac的值；4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac<0，则方程没有实数根.b²-4ac（△）的取值与根的个数之间的关系Δ=b2－4ac>0有两个不等的实数根Δ=b2－4ac=0有两个相等的实数根Δ=b2－4ac＜0没有实数根公式法内容根的判别式Δ=b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（b2－4ac值）；四判（方程根的情况）；五代（代求根公式计算）即学即练用公式法解下列方程：．．．(4)．一、解法选择基本思路:1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；3.化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法.系数含根式时也可选公式法.二、一元二次方程的各种解法及适用类型.一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法(ax+m)2=n(a≠0，n≥0)配方法x2+px+q=0(p2-4q≥0)公式法ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)因式分解(ax+m)(bx+n)=0(ab≠0)题型一解一元二次方程直接开平方法例1（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）把二次方程x2-4xy+4y举一反三1（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）如果关于x的方程ax2-2x2举一反三2（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）方程4x4=题型二解一元二次方程配方法例2（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）用配方法解方程：2举一反三1（2022秋·上海静安·八年级校考期中）用配方法解方程：2举一反三2（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程x2A．4 B．8 C．16 D．64题型三配方法的应用例3（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）已知x为实数，若x2+1x2举一反三1（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）-13x举一反三2（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）用一根长为20厘米的绳子，围成一个面积为y平方厘米的长方形，则y的值不可能是（）A．30 B．20 C．16 D．10题型四公式法解一元二次方程例4（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）解关于x的方程：k2举一反三1（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）解方程：4xx-1举一反三2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）在实数范围内分解因式：2x2题型五因式分解法解一元二次方程例5（2023春·上海虹口·八年级上外附中校考期末）方程x2=27x举一反三1（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程：x-12举一反三2（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）方程x4﹣16＝0的根是．题型六换元法解一元二次方程例6（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）用换元法解方程x2-12x-4xx2举一反三1（2023春·上海闵行·八年级统考期末）用换元法解方程xx+1-x+1x+3=0A．y2+3y-1=0 BC．y2+y-3=0 D．举一反三2（2023春·上海长宁·八年级统考期末）已知方程xx2-1+x2-1题型七一元二次方程的根与系数的关系例7（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）若方程x2-3x+m=0有一根是A．1 B．2 C．-1 D．-2举一反三1（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-ba举一反三2（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）已知α，β是方程x2-7x+8=0的两个根，α>β，不解方程，利用根与系数的关系求单选题1.（2017秋·上海浦东新·八年级统考期中）用配方法解方程x2+4x+2=0，下列配方正确的是（A．x-22=2 B．x+22=2 C．2．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）关于的一元二次方程x2+(a-1)x+a2-1=0的一个根是0A．1或-1 B．-1 C．1 D．13．（2019秋·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期中）方程4x-12=1的根为（A．x1=x2=14 B．x1=x二、填空题1.（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）方程-1+1-2x2=02．（2021秋·上海金山·八年级校考期中）一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是．3．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如x2+x=0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1=0(a，b是常数，a>0)是“差1方程”设t=10a-4．（2019秋·上海·七年级上海市张江集团中学校考期中）已知a，b，c满足a-b=8，ab+c2+16=0，则三、解答题1.（2023秋·上海青浦·八年