三角函数与和弦和谐度浅谈

三角函数与和弦和谐度浅谈北京市第五中学傅自然研究目的和谐的重要性有些和弦是否和谐不好分辨用数学方法分析和弦频率声音的本质是波一定的音高对应一定的频率两个不同音的频率的比值，称为这两个音的频率比和弦的和谐程度与频率比有关——数学与音乐间的桥梁律制

律制

十二平均律修改综合新的频率比纯律十二平均律十二平均律最早是由我国明朝音乐理论家朱载堉提出的。这种律制将八度按等比数列划分为十二份，因为高一个八度音的频率是原来八度音频率的二倍，所以两个半音间的频率比为2，即每相邻两个半音间的频率比为2。纯律纯律最早是由毕达哥拉斯提出的。这种律制以2：1，3：2，4：3这三个比值分别作为CC1，CG，CF的频率比，并在此基础上推出其余各音之间的频率比。新的频率比DEFGABC19:85:44:33:227:1615:82:1C9:832:274:33:227:1616:9D16:1532:274:33:28:5E9:85:445:323:2F9:85:44:3G9:832:27A16:15B化简和弦数个音同时发出，形成和弦有些和弦和谐程度相同总结规律：周期性可移性重组不变性去掉和谐程度相同的和弦什么和弦是和谐的？感觉上的和谐和弦、不和谐和弦

分析对比判定和弦是否和谐的标准和弦的表示法正弦函数相叠加表示和弦声音的本质是波用正弦函数来表示单音二和弦设两分音最简频率比为a：b（a<b）的二和弦可表示为f(x)=sinax+sinbx图像特征频率比第一、二组一周期内波峰数为b一周期内sinax与sinbx交点数为2b第三、四组一周期内sinax与f(x)交点数为2b一周期内sinbx与f(x)交点数为2a第五、六组CG、CF频率比之和1.417，CB、BC1频率比之和1.471一周期内sinax+sinbx与sinbx+sin2ax交点数为4a二和弦和谐度用频率比之和表示和弦的和谐度图像差别大与a、b有关频率比之和和谐不和谐小大二和弦三、四和弦音乐角度数学角度三和弦、四和弦和谐度和谐度定义二和弦的和谐度为和谐程度相同频率比不同的两个和弦的频率比之和。三和弦、四和弦的和谐度为二和弦和谐度值的和。

乐曲分类选取感情色彩对比鲜明的两类进行比较欢庆、喜悦《春节序曲》、《傣家欢庆泼水节》《拉德斯基进行曲》悲伤、哀怨《二泉映月》、《吉普赛之歌》春节序曲旋律Eξ=2.277886Dξ=2.011927伴奏Eξ=4.427083Dξ=0.19605

傣家欢庆泼水节旋律Eξ=2.289974Dξ=1.721063伴奏Eξ=4.342149Dξ=0.088967

拉德斯基进行曲旋律Eξ=2.29286Dξ=1.719593伴奏Eξ=4.555883Dξ=0.330908

欢快乐曲特点有一个常用的和弦，数学期望、方差偏小，应用的和弦和谐、单一、集中特例：拉德斯基进行曲结论适用于大部分音乐作品。二泉映月旋律Eξ=2.62571Dξ=2.728873伴奏Eξ=4.731396Dξ=0.460474

吉普赛之歌旋律Eξ=3.111084Dξ=2.747952伴奏Eξ=4.976477Dξ=0.541851

忧伤乐曲的特点没有一个常用和弦，数学期望、方差偏大。忧伤的乐曲包含着人们复杂的心情，感情强烈，变化较大，应用的和弦复杂、丰富、平均。

结论欢乐乐曲：应用的和弦和谐、单一、集中忧伤乐曲：应用的和弦较为复杂、丰富、平均。参考文献

Trudi

HammelGarlandandCharityVaughanKahn,《MathandMusic》,USA:DaleSeymourPublications,1995《BasicZ12AnalysisofMusicalChords》姜杰《实用音乐知识》北京日报出版社，1988唐林,陶纯，张永德《音乐物理学导论》中国科技大学出版社,1991人教版高中《物理》教材李遇秋，张自强，杨文涛，姜杰，任士荣，闪源昌，杨国立《音乐考级教程》（业余）手风琴/2（四至六级）华文出版社，1993李遇秋，张自强，杨文涛，姜杰，任士荣，闪源