三角函数与解三角形

数学(文科A)§3.5正弦定理与余弦定理、解三角形的应用问题

1.正弦定理(1)正弦定理:

=

=

=2R(R为三角形外接圆的半径).(2)正弦定理变形:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.余弦定理(1)余弦定理:c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,特殊的,当C=

时,a2+b2=c2(勾股定理).(2)余弦定理变形:cosA=

,cosB=

,cosC=

.3.三角形的面积(1)S△=

ah(h是边a上的高).(2)S△=

absinC=

bcsinA=

acsinB.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选1.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且(a+b+c)(b+c-a)=3b

c,则∠A的大小为

(

)(A)

π.

(B)

π.

(C)

π.

(D)

.【解析】由已知得:(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc,∴cosA=

=

,∴∠A=

.【答案】D考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=60°,a=

,b=1,则c等于

(

)(A)1.

(B)2.(C)

-1.

(D)

.【解析】∵

=

,∴sinB=

.又a>b,∴A>B,故B=30°,∴C=90°,故c=2.【答案】B考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选3.(2009年·广东)已知△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若a=c=

+

且∠A=75°,则b等于

(

)(A)2.

(B)4+2

.(C)4-2

.

(D)

-

.【解析】由a=c,得∠A=∠C=75°,∴∠B=180°-75°-75°=30°,由正弦定理得

=

,解得b=

×sin30°=2.【答案】A考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选4.(2009年·湖南)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则

的值等于

,AC的取值范围为

.【解析】在锐角△ABC中,

=

,

=

,

=

,∴

=2.∵B=2A,∴C=180°-A-B=180°-3A.又△ABC为锐角三角形,∴2A<90°,0<180°-3A<90°,解得30°<A<45°,故

<cosA<

,即AC=2cosA∈(

,

).【答案】2

(

,

)考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例1

(1)在△ABC中,若

=a,

=b,

=c,且a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状是

(

)(A)锐角三角形.

(B)直角三角形.(C)等腰直角三角形.

(D)等边三角形.(2)若P是△ABC内的一点,

=

(

+

),则△ABC的面积与△ABP的面积之比为

(

)(A)2.

(B)3.

(C)

.

(D)6.(3)过△ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E.若

=x

,

=y

,xy≠0,则

+

的值为

(

)题型1三角形中的向量问题(A)4.

(B)3.

(C)2.

(D)1.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选【分析】(1)关键是利用a+b+c=0;(2)确定P点的位置即可确定面积之比;(3)可利用特殊位置可以省去大量运算.【解析】(1)∵a+b+c=0,故b=-a-c.由a·b=b·c得b·(a-c)=0,即得-(a+c)(a-c)=0,∴c2=a2,即|a|=|c|,同理|b|=|a|,∴△ABC为等边三角形.(2)延长AP交BC于D,则D为BC的中点,且

=

(

+

)=

,考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选故

=

,故P为△ABC的重心,∴S△ABC∶S△ABP=3.(3)用特殊位置法:设直线与BC平行,则可知x=

,y=

,∴

+

=3.【答案】(1)D

(2)B

(3)B

点评:三角形中的平面向量题,除了要灵活运用平面向量运算法则(平行四边形法则,三角形法则)外,还要灵活运用三角形中的和

、差、倍、分等数量关系.在解题中要特别注意运用重心等特殊

点及特殊三角形,采用“特殊位置法”解题.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练1

(1)如图,设P、Q为△ABC内的两点,且

=

+

,

=

+

,则△ABP的面积与△ABQ的面积比为

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.(2)在△ABC中,O为中线AM上一动点,若AM=2,则

·(

+

)的最小值是

.(3)已知

=a,

=b,a·b=|a-b|=2,当△AOB面积取最大值时,a与b的夹角为

.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选(1)如图,设

=

,

=

,则

=

+

.由平行四边形法则,知NP∥AB,所以

=

=

,【解析】考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选同理可得

=

,故

=

.(2)如图设|OA|=x,则|

|=2-x,

·(

+

)=

·2

=2|

|·|

|·cosπ=-2x(2-x)=2x2-4x=2(x-1)2-2,又∵0<x<2,∴

·(

+

)的最小值为-2.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选(3)如图所示,设a与b的夹角为θ,∴a·b=|a|·|b|·cosθ=2,∴cosθ>0,由|a-b|=2,得|a|2+|b|2-2a·b=4,∴|a|2+|b|2=8,∴8=|a|2+|b|2≥2|a|·|b|=

,∴cosθ≥

,∴0<θ≤

,∴S△AOB=

|a|·|b|·sinθ=tanθ≤

,等号成立时a与b的夹角θ=

.【答案】(1)B

(2)-2

(3)

考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例2

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=2,c=2

.(1)若C=

,求A的大小;(2)若A=

,求b的值.【分析】第(1)问是已知两边及一边(较大边)的对角,求另一边的对

角,可用正弦定理来求得较小角的正弦值,进而可求得角的大小;第

(2)问是已知两边及一边(较小边)的对角,此时利用较大角的正弦值

来求角时,注意要讨论.题型2正弦定理的应用考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选得sinA=

=

,又a<c,∴A<C,∴A=

.(2)由

=

,得sinC=

=

,得C=

或

.当C=

时,B=

,可得b=4;当C=

时,B=

,此时得b=2.

点评:已知两边及其中一边的对角解三角形时,有可能一解,也有可能两解,要注意对解的情况进行讨论,讨论时一是根据所求

的角(或边)是不是较小(大)角;二是求得的正弦值是否小于1,根据

这些关系来确定解的情况.【解析】(1)由正弦定理

=

,考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

变式演练2

(2009年·山东)已知函数f(x)=2sinxcos2

+cosxsinφ-sinx(0<φ<π)在x=π处取最小值.(1)求φ的值;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=1,b=

,f(A)=

,求角C.【解析】(1)f(x)=2sinx·

+cosxsinφ-sinx=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ).∵f(x)在x=π时取最小值,考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选∴sin(π+φ)=-1,故sinφ=1.∵0<φ<π,∴φ=

.(2)由(1)知f(x)=sin(x+

)=cosx,∵f(A)=cosA=

,且A为△ABC的内角,∴A=

.由正弦定理得sinB=

=

,又b>a,∴当B=

时,C=π-A-B=π-

-

=

;当B=

时,C=π-A-B=π-

-

=

.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例3在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足b2=a2+c2+ac.(1)求角B的度数;(2)若b=

,a+c=5(a>c),求cosA的值.【分析】比较已知条件b2=a2+c2+ac与余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可求得cosB的值,即可求得角B;第(2)问由已知角B及边b,再结合a+c的值,利用余弦定理可求得a,c的值,即可求得cosA的值.【解析】(1)∵b2=a2+c2+ac,由余弦定理得cosB=

=

=-

,∴B=120°.题型3余弦定理的应用考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选(2)由b2=a2+c2+ac,得b2=(a+c)2-ac,即19=25-ac,∴ac=6,解联立方程

得

或

(舍去).由余弦定理得cosA=

=

.

点评:余弦定理其直接应用有两个方面:一是已知三边(或三边的关系)可用余弦定理求角;二是已知两边及一角求第三边.应用

过程中注意对定理公式的逆用和变用.值得指出的是在求三角形

内角时,一般要优先考虑运用余弦定理,因为这样可避免讨论.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选【解析】由已知

=

=

,∴sinAcosB=2sinC·cosA-sinBcosA,∴sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=2sinCcosA,∴sinC=2sinCcosA,∴cosA=

,即A=60°,又∵

=

,不妨令b=(

+1)k,c=2k,由a2=b2+c2-2bc·cosA得a=

k,由正弦定理:sinC=

=

.又c<a,∴C<A,∴C=45°,

变式演练3在△ABC中,

=

,

=

,求A,B,C.∴B=180°-A-C=75°,故A=60°,B=75°,C=45°.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例4在△ABC中,2

(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,其外接圆半径为

.(1)求∠C;(2)求△ABC面积的最大值.【分析】(1)中利用正弦定理将角的关系化为边的关系,然后用余

弦定理求∠C.(2)中利用(1)的条件,将△ABC的面积表示为∠A(或∠B)的函数,再

求其最值.【解析】(1)由已知△ABC外接圆半径R=

,又∵2

(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,题型4解三角形中综合问题考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选∴2

(

-

)=(a-b)·

,∴a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,∴cosC=

=

,∴∠C=60°.(2)S=

absinC=

×2

sinA×2

sinB·sin60°=2

sinAsinB=2

sinAsin(120°-A)=3sinAcosA+

sin2A=

sin2A-

cos2A+

=

sin(2A-30°)+

.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选∴当2A=120°即A=60°时,Smax=

,∴△ABC面积的最大值为

.

点评:有关三角形的问题中有口诀“三角形中三角题,正弦余弦加面积”.关键是正确选用正弦定理(或余弦定理)及对定理公式的各种应用,特别是公式的各种变形,注意把已知条件或所求式子的形式往正弦定理、余弦定理形式上进行转化.在解题时,要注意观察题设中条件的形式,这样可以快捷选择有关公式.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选(2)若m⊥p,边长c=2,角C=

,求△ABC的面积.【解析】(1)∵m∥n,∴asinA=bsinB,即a·

=b·

,其中R是三角形ABC外接圆半径,∴a=b.∴△ABC为等腰三角形.(2)由题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1),∴S=

absinC=

·4·sin

=

.

变式演练4

(2009年·上海)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例5

如图,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点A、B,观察对岸的点C,测得∠CAB=75°,∠CB

A=45°,且AB=100米.(1)求sin75°;(2)求该河段的宽度.【分析】这是一个有关解三角形的实际应用题,解题的关键是把

实际问题抽象成纯数学的解三角形.因此,选择(或构造)一个符合条

件的三角形是关键所在,本例中河宽BD就是△ABC边AB上的高.【解析】(1)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

×

+

×

=

.题型5解三角形的实际应用考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选(2)(法一)∵∠CAB=75°,∠CBA=45°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°,由正弦定理得

=

,∴BC=

.如图,过点B作BD垂直于对岸,垂足为D,则BD的长就是该河段的宽

度.在Rt△BDC中,∵∠BCD=∠CBA=45°,sin∠BCD=

,考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选∴BD=BCsin45°=

·sin45°=

×

=

(米).(法二)由正弦定理得

=

,∴AC=

.由面积公式得S△ABC=

AC·AB·sin75°=

·

·100·

.设河宽为h,则有S△ABC=

AB·h,考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选于是

·100·h=

·

·100·

,∴h=

(米).

点评:实际应用题的关键是灵活选用解题方法,本例中由于选用方法不同,形成不同解法,值得借鉴.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选(2009年·辽宁)如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°和30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B、D的距离.(计算结果精确到0.01km,

≈1.414,

≈2.449)

变式演练5

考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选【解析】在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,∴CD=AC=0.1,又∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线,∴BD=BA.在△ABC中,

=

,即AB=

=

,因此,BD=

≈0.33km,故B、D的距离约为0.33km.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例在△ABC中,若acosA=bcosB,则△ABC是

(

)(A)等腰三角形.(B)直角三角形.(C)等腰直角三角形.(D)等腰三角形或直角三角形.【错解】(法一)当a=b时,易验证条件成立,所以△ABC是等腰三角形,故选A.(法二)∵acos

A=bcos

B,∴

=

,则由正弦定理得:

=

,考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选∴

=

⇒2sinAcosA=2sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B,A+B=

,从而△ABC是等腰直角三角形.故选C.【剖析】错解一中,由正弦值相等而得角的关系式,应注意角可以相等,也可以不相等(如互补),不能遗漏;用答案验证条件时,注意一般是排除错误的选项,保留正确的选项,直至最后只剩下一项时即为正确答案.错解二中,将“或”错误地理解为“且”使问题错解了.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选【正解】∵acosA=bcosB,∴

=

,则由正弦定理得:

=

,∴

=

⇒2sinAcosA=2sinBcosB,即sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=

,从而△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D.

考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选正弦、余弦定理是应用十分广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角形与几何产生联系,如立体几何中

的空间角与空间距离计算问题最后都可转化为解三角形问题,运用这两个定理公式时,注意公式在应用中的灵活处理.图象的平移注意区分平移前的坐标、平移后的坐标及平移向量的坐标及它们的关系式.对解三角形型的实际应用题,要注意对条件开放拓展,注意探究性问题的训练与思考.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选1.在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是

(

)(A)b=20,A=45°,C=80°.(B)a=30,c=28,B=60°.(C)a=14,b=16,A=45°.(D)a=12,c=15,A=120°.【解析】由三角形全等定理排除A、B,选项C中,bsinA<a<b,有两

解,选项D中,∠C为锐角,故选C.【答案】C一、选择题考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选2.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若a,b,c成等差数列,

∠B=30°,△ABC的面积为

,则b等于

(

)(A)

.

(B)1+

.(C)

.

(D)2+

.【解析】∵a、b、c成等差数列,∴a+c=2b,∴a2+c2+2ac=4b2.又S△ABC=

=

acsinB,∴ac=6.∴a2+c2=4b2-12,∴cosB=

=

=

,解得:b2=4+2

,b=1+

.【答案】B考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选3.在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”成立的

(

)(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】由正弦定理知,角大则边大,边大则正弦大,反之也成立,故

是充要条件.【答案】C考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选4.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若△A

BC的面积S=a2-(b-c)2,则tan

等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)1.【解析】S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=-2bc·cosA+2bc,又S=

bcsinA,∴1-cosA=

sinA,∴2sin2

=

sin

cos

,∴tan

=

.【答案】B考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比

数列,且c=2a,则cosB等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac.又c=2a,∴cosB=

=

=

=

.【答案】B考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选6.已知△ABC为钝角三角形,∠B>90°,a=2x-5,b=x+1,c=4,则实数x的

取值范围是

.【解析】由

解得

<x<4.【答案】(

,4)二、填空题考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选7.在△ABC中,a=2bcosC且sinB=2sinAcosC,则△ABC的形状是

.【解析】∵a=2bcosC=2b·

,∴b2=c2,∴b=c.又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC,∴sin(A-C)=0,∴A=C,∴A=B=C,∴△ABC为正三角形.【答案】正三角形考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选8.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆

+

=1上,则

=

.【解析】

=

=

=

.【答案】

考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选9.某人朝正东方向走了x米后,向左转150°,然后朝新方向走了30米,

结果他离出发点的距离为10

米,那么x=

米.【解析】由已知画图知:△ABC中,AB=x,BC=30,AC=10

,∠ABC=30°.由余弦定理得:(10

)2=302+x2-30

x,解得x=10

或x=20

.【答案】10

或20

考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选10.(2009年·全国Ⅱ)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A-C)+cosB=

,b2=ac,求B.【解析】由cos(A-C)+cosB=

及B=π-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=

,∴cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=

,∴sinAsinC=

.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,故sin2B=

,sinB=

或sinB=-

(舍去),三、解答题于是B=

或B=

.又由b2=ac知b≤a或b≤c,∴B=

.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选11.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a=4,b+c=5,ta

nA+tanB=-

+

tanAtanB,求sinA.【解析】∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB),∴tan(A+B)=-

,∴A+B=120°,C=60°,∴c2=a2+b2-2abcosC=16+b2-4b.又∵b+c=5,∴b=

,c=

,由

=

得,sinA=

.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选12.已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c,角B、C和面积S

满足条件:S=a2-(b-c)2和sinB+sinC=

(a,b,c为角A,B,C所对的边).(1)求sinA;(2)求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由S=

bcsinA=2bc-(b2+c2-a2)=2bc-2bccosA,得

sinA=2-2cosA,即

=

=

=tan

,考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选进而有sinA=

.(2)∵

=

=2R=12,∴b=12sinB,c=12sinC,∴S=

bcsinA=

sinBsinC≤

(

)2=

×

=

.考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选

例1在△ABC中,边a、b、c的对角分别为A、B、C,且sin2A+sin2C-sinA·sinC=sin2B.(1)求角B的大小;(2)求2cos2A+cos(A-C)的取值范围.【解析】(1)△ABC中,由正弦定理得sinA=

,sinB=

,sinC=

.代入已知式,可得

+

-

=

,即a2+c2-b2=ac.由余弦定理,cosB=

=

=

,考点整合基础训练典例导练考径避陷方法技巧名校押题1~66~910~12例题备选又B∈(0,π),∴B=

.(2)△ABC中,A+B+C=π,又B=

,∴A+C=

,∴C=

-A,A-C=2A-

,∴2cos2A+cos(A-C)=2cos2A+cos(2